Банк задач по математике

Задача 7.2.1

Если у матрицы $A$ размера $n \times n$ все элементы по модулю не больше $1$ , то $\left|\operatorname {det}\left(A\right)\right| \leq n^{n/2}$ .

Квадратная матрица $H$ называется матрицей Адамара, если все её элементы равны $\pm 1$ и $H \cdot H^{T} = nE_{n}$ , где $n$ — порядок матрицы $H$ и $E_{n}$ — единичная матрица.

?

Задача 7.2.2

Постройте матрицу Адамара $n \times n$ для

?

(1)

$n = 2$ ;

(2)

$n = 4$ ;

(3)

$n = 8$ ;

(4)

$n = 16$ ;

(5)

$n = 12$ .

Задача 7.2.3

(1)(2)(3)(4)

?

(1)

У матрицы Адамара любые два столбца ортогональны.

(2)

Матрица является матрицей Адамара тогда и только тогда, когда её элементы равны $\pm 1$ и любые две строки ортогональны.

(3)

Для матриц Адамара достигается верхняя оценка в теореме Адамара 7.2.1. (Название матрицы Адамара получили благодаря этому результату.)

(4)

Если существует матрица Адамара $n \times n$ и $n > 2$ , то $n$ делится на $4$ .

Примечание.

?

Гипотеза. Матрица Адамара $n \times n$ существует для любого числа $n$ , делящегося на $4$ .

Гипотеза не доказана даже для некоторых чисел, меньших $1000$ ; а именно: для $668, 716, 892$ .

Задача 7.2.4

(1)(2)

Для решения этой и следующей задачи (7.2.5) потребуются простейшие свойства квадратичных вычетов; см. [GIM, § 9], [Vi, § 5], [ZSS, п. 3.3].

Для простого числа $p$ обозначим $S_{d} = S_{p,d} := \sum \limits_{j \in \mathbb {Z}_{p}} \dbinom {j(j+d)}{p}$ (это сумма символов Лежандра).

?

(1)

Докажите, что $S_{d}$ не зависит от $d \neq 0$ .

(2)

Найдите $S_{d}$ для каждого $d \in \mathbb {Z}_{p}$ .

Задача 7.2.5

(1)(2)(3)(4)

Для решения этой задачи (наряду с предыдущей, 7.2.4) потребуются простейшие свойства квадратичных вычетов; см. [GIM, § 9], [Vi, § 5], [ZSS, п. 3.3].

Постройте матрицу Адамара $n \times n$ для

?

(1)

$n = 2a$ , если существует матрица Адамара $a \times a$ ;

(2)

$n = ab$ , если существуют матрицы Адамара $a \times a$ и $b \times b$ ;

(3)

$n = p+1$ , где $p$ — простое число вида $4k-1$ ;

(4)

$n = 2p+2$ , где $p$ — простое число вида $4k+1$ .

Задача 7.2.6

Матрица Адамара называется нормализованной, если у неё первая строчка и первый столбец состоят из одних единиц.

Нарисуйте все нормализованные матрицы Адамара порядков $1; 2; 4$ .

?

Задача 7.2.7

(1)(2)

Адамаровость матрицы сохраняется при следующих преобразованиях:

?

(1)

умножение строчки или столбца на $-1$ ;

(2)

перестановка строчек или столбцов местами.

Матрицы Адамара, получаемые друг из друга применением некоторого числа преобразований (1) и (2), называются эквивалентными.

Задача 7.2.8

(1)(2)

?

(1)

Какие из матриц из задачи 7.2.6 эквивалентны?

(2)

Любая матрица Адамара эквивалентна некоторой нормализованной.

Количество классов эквивалентности: для порядков $1, 2, 4, 8, 12$ — $1$ , $16$ — $5$ , $20$ — $3$ , $24$ — $60$ , $28$ — $487$ , $32$ — больше миллиона.

Задача 7.2.9

Для любых ли матриц Адамара $H$ и $H'$ матрицы $H \otimes H'$ и $H' \otimes H$ эквивалентны? Здесь тензорное произведение $\otimes$ определено в указании к задаче 7.2.5 (1, 2).

?

Задача 7.2.10

Матрица Адамара $H$ , построенная при помощи конструкции (Пейли) из задачи 7.2.5 (4), эквивалентна матрице $H^{T}$ .

?

Задача 7.2.11

Существует ли матрица Адамара $H$ , не эквивалентная матрице $H^{T}$ ?

?