Подсолнухи

Подсолнухом с $k$ лепестками и ядром $Y$ называют такой набор множеств $\left\{ F_{1},\ldots ,F_{k}\right\}$, что $\left|F_{i} \cap F_{j}\right| = Y$ при $i \neq j$ и все множества $F_{i} \setminus Y$ непусты. Например,

• попарно непересекающиеся множества образуют подсолнух с пустым ядром;

• одномерные векторные подпространства (п. 7.1) образуют подсолнух с одноэлементным ядром;

• множества $X_{p}$ всех рациональных дробей с фиксированным простым знаменателем $p$ образуют подсолнух с бесконечным ядром.

Большая часть задач этого раздела взята из книги [J].

Слабой $\Delta$-системой называется такой набор множеств $S_{1},\ldots ,S_{k}$, что $\left|S_{i} \cap S_{j}\right|$ одинаковы при всех $i \neq j$. Очевидно, что подсолнух является слабой $\Delta$-системой. Обратное неверно. Однако есть следующая теорема.

Теорема Деза. Если $\mathscr {F}$ — слабая $\Delta$-система из $s$-элементных множеств и $\left|\mathscr {F}\right| \geqslant s^{2}-s+2$, то $\mathscr {F}$ — подсолнух.

Доказательство теоремы достаточно сложное.

Покажем, что приведённая оценка точна.

Общая часть множеств $S_{1},\ldots ,S_{k}$ — это объединение $\bigcup_{i \neq j}(S_{i} \cap S_{j})$ всех их попарных пересечений.

Цветком с $k$ лепестками и ядром $Y$ называется такой набор $\mathscr {F}$ множеств, что каждое из них содержит $Y$ и не существует с.о.п. из $k-1$ элемента для набора $\left\{ S \setminus Y : S \in \mathscr {F}\right\}$.