Банк задач по математике

Задача 1.8.1

(1)(2)(3)

?

(1)

Любую ли перестановку можно представить в виде композиции нескольких циклов длины 3?

(2)

Любую ли перестановку можно представить в виде композиции чётного числа транспозиций?

(3)

Игра в 15. В квадратной коробочке размера $4\times 4$ размещены 15 квадратных фишек размера $1\times 1$ с номерами $1,2,\ldots ,15$ , а одно место осталось свободным. Первоначально фишки расставлены так, как на рисунке справа. Можно ли, последовательно сдвигая фишки на свободное место, получить расстановку фишек на рисунке слева?

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & * \\ \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 15 & 14 & * \\ \end{array}

Задача 1.8.2

(1)(2)

Как зависит чётность цикла длины $n$

?

(1)

от порядка следования элементов цикла?

(2)

от $n$ ?

Задача 1.8.3

(1)(2)

?

(1)

Композиция чётной (нечётной) перестановки и транспозиции нечётна (чётна).

(2)

Как определить чётность композиции перестановок, зная чётность сомножителей?

Задача 1.8.4

(1)(2)(3)

Каждое из следующих условий равносильно чётности перестановки:

?

(1)

Перестановку можно представить в виде композиции чётного числа транспозиций.

(2)

Любое представление перестановки в виде композиции транспозиций содержит чётное их число.

(3)

Перестановку можно представить в виде композиции нескольких циклов длины 3.

Задача 1.8.5

(1)(2)

?

(1)

Каких перестановок $n$ -элементного множества больше: чётных или нечётных?

(2)

В какое минимальное количество транспозиций раскладывается перестановка $n$ -элементного множества, состоящая из $k$ непересекающихся циклов длины больше 1?

Задача 1.8.6

(1)(2)(3)

Перестановка $x$ порождается перестановками $p_1, p_2, \ldots , p_k$ , если $x = x_1x_2\ldots x_n$ , где для любого $1 \leqslant i \leqslant n$ найдётся такое $1 \leqslant j \leqslant k$ , что $x_i = p_j$ .

?

(1)

Множество всех чётных перестановок конечного множества порождается любой парой циклов (длины хотя бы 2 каждый), имеющих ровно один общий элемент и содержащих все элементы множества.

(2)

Если $nk$ чётно, $n>1$ , $k>1$ , то циклами $(1\ldots n)$ и $(n \ldots n+k-1)$ порождаются все перестановки множества $\mathscr {R}_{n+k-1}$ .

(3)

Если $nk$ нечётно, $n>1$ , $k>1$ , то циклами $(1\ldots n)$ и $(n\ldots n+k-1)$ порождаются все чётные перестановки множества $\mathscr {R}_{n+k-1}$ и только они.

Чётность перестановок