Дифференциальная геометрия поверхностей

Пусть $M^2 \subset \mathbb {R}^{3}$ — поверхность, содержащая $x=0$. Предположим, что $\dfrac {\partial }{\partial x_1}$ и $\dfrac {\partial }{\partial x_2}$ касательны к $M$ в точке $x=0$, и что в этом базисе отображение Вайнгартена

Пусть $\alpha$ — кривая (вблизи $x=0$), получаемая пересечением $M$ с плоскостью $x_1x_3$.

Пусть $M = \{ (x,y,z) \in \mathbb {R}^{3} : z = 6 - (x^2+y^2)\}$ (параболоид вращения). $D = \{ (x,y,z) \in M : z > 2\}$, и $\omega = yz^2 \, dx + xz \, dy + x^2y^2 \, dz$. Ориентируйте $M$ и вычислите

Пусть $S$ — поверхность, диффеоморфная обычной 2-сфере. Предположим, существует $C^\infty$-метрика положительной кривизны на $S$, для которой существуют две простые замкнутые геодезические $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Покажите, что $\gamma_1$ и $\gamma_2$ должны пересекаться.

Пусть $D$ — диск $\{ (x,y) \in \mathbb {R}^{2} : x^2+y^2 < \tfrac 14\}$, и пусть $O = (0,0) \in D$. Пусть $(x_1,x_2) = (r,\theta )$ — обычные полярные координаты, и определим метрику на $D\setminus \{ O\}$ как

где $h(r,\theta ) = r^2[1 - 2r^2 + r^4\sin^2\theta ]^2$.

Пусть $H^2 = \{ (x,y) \in \mathbb {R}^{2}, y > 0\}$ — верхняя полуплоскость в $\mathbb {R}^{2}$, и пусть на $H^2$ задана риманова метрика $g$ такая, что

где $(x,y)$ — обычное скалярное произведение на $\mathbb {R}^{2}$.

Рассмотрим однополостный гиперболоид $S$: $x^2+y^2-z^2=4$.

Вычислите полную геодезическую кривизну окружности радиуса $r$ на сфере радиуса $R > r$.

Пусть $S$ — вложенная замкнутая поверхность в $\mathbb {R}^{3}$ с радиус-вектором $X(p)$ и единичным внешним вектором нормали $N(p)$ для $p \in S$. Для фиксированного (малого) $t$ определим поверхность $S_t$ как множество $S_t = \{ X(p) + tN(p) \in \mathbb {R}^{3} \mid p \in S\}$. Пусть $\kappa_1, \kappa_2$ — главные кривизны $S$ в точке $p$ относительно внешнего вектора нормали. Пусть $H_t$ — средняя кривизна $S_t$ в точке $X(p)+tN(p)$ относительно внешнего вектора нормали (средняя кривизна определяется как сумма двух главных кривизн). Покажите, что

Пусть $\lambda : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — гладкая функция с компактным носителем, и рассмотрим риманову поверхность, полученную снабжением $\mathbb {R}^{2}$ метрикой $g$ вида

для $\overrightarrow {v}, \overrightarrow {w} \in T_{(x,y)}\mathbb {R}^{2}$. Предполагая, что гауссова кривизна $K$ этой метрики всюду неотрицательна, используйте теорему Гаусса--Бонне, чтобы вывести, что на самом деле поверхность плоская.

Пусть $M^2 \subset \mathbb {R}^{3}$ — гладкая компактная поверхность такая, что $M^2 \subset \{ (x,y,z) : z \geq 0\}$. Предположим, что $M^2 \cap \{ (x,y,z) : z=0\}$ является гладкой кривой $\alpha (s)$, параметризованной натуральным параметром.

Пусть $(r(s), 0, z(s))$ — кривая единичной скорости в $\mathbb {R}^{3}$ с $r(s) > 0$. Рассмотрим поверхность вращения $(s,\theta ) \to (r(s)\cos \theta , r(s)\sin \theta , z(s))$. На этой поверхности вычислите ковариантные производные $\nabla_{\frac{\partial }{\partial \theta }}\frac{\partial }{\partial s}$ и $\nabla_{\frac{\partial }{\partial \theta }}\frac{\partial }{\partial \theta }$ через $\frac{\partial }{\partial \theta }$ и $\frac{\partial }{\partial s}$.

Пусть $M^2 \subset \mathbb {R}^{3}$ — вложенная компактная поверхность рода $\geq 1$. Покажите, что гауссова кривизна $M$ должна где-то на $M$ обращаться в нуль.

Рассмотрим тор вращения $T$, полученный вращением окружности $(x-a)^2+z^2=r^2$ вокруг оси $z$:

Параметризуйте этот тор, вычислите его функцию гауссовой кривизны $K$ и проверьте прямым вычислением, что $\int_T K \, dA = 0$.

Пусть

— кривая на $S^2 \subset \mathbb {R}^{3}$. Пусть $X_0 = \dfrac {\partial }{\partial x_2} \in T_{\left(\frac12,0,\frac{\sqrt3}{2}\right)} S^2$. Вычислите параллельный перенос $X_0$ вдоль $x(t)$.

Покажите, что для любой римановой метрики на $S^2$ с $\left|K\right| \leq 1$, где $K$ — гауссова кривизна, площадь $S^2$ не менее $4\pi$.

Дайте определение «геодезических» и охарактеризуйте (с доказательством):

Приведите пример (например, рисунок), показывающий, что связная поверхность может иметь две точки, не соединённые никакой геодезической. Каково обычное топологическое предположение, исключающее эту проблему?

Дайте определение «минимальной поверхности в $\mathbb {R}^{3}$» и докажите, что катеноид, полученный вращением графика $y = \cosh (x)$ вокруг оси $x$ в $\mathbb {R}^{3}$, является минимальным.

«Тор Клиффорда» в $S^3$ может быть параметризован с помощью карт вида

где $u$ и $v$ ограничены интервалами длины $< 2\pi$.

Пусть $f : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}$ — гладкая функция с критической точкой (например, минимумом или максимумом) в начале координат $x_1=x_2=0$.

Пусть $M$ — 2-мерное многообразие, гладко вложенное в $\mathbb {R}^{3}$, с единичной нормалью $n$.

Пусть $M$ — 2-мерное многообразие, гладко вложенное в $\mathbb {R}^{3}$, с единичной нормалью $n$. Предположим, что $M$ — граница ограниченного выпуклого открытого множества. Предположим, что $n$ — внешняя нормаль, и что гауссова кривизна $K$ поверхности $M$ всюду положительна. [Напомним, что $S \subseteq \mathbb {R}^{3}$ называется выпуклым, если для любых двух точек $S$ отрезок прямой, соединяющий эти точки, лежит в $S$. Вы можете без доказательства использовать тот факт, что $M$ лежит по одну сторону от каждой своей касательной плоскости.]

Пусть $M$ — 2-мерное многообразие, гладко вложенное в $\mathbb {R}^{3}$, с единичной нормалью $n$.

Вращая кривую $\gamma$, изображённую ниже, вокруг оси $x$, получаем поверхность вращения $M^2 \subset \mathbb {R}^{3}$. Вычислите $\int_M K \, dA$, где $K$ — гауссова кривизна, а $dA$ — форма площади на $M$. (Обязательно обоснуйте свой ответ.)

Поверхность $\Sigma^2$, погружённая в риманово многообразие $N$, называется линейчатой, если её можно параметризовать вблизи любой точки отображением $X : (0,1)^2 \to N$ таким, что для каждого фиксированного $v_0 \in (0,1)$ $u$-параметрическая кривая $X(u,v_0)$ является геодезической в $N$.

Пусть $\alpha : (0,1) \to \mathbb {R}^{3}$ — произвольная регулярная дуга (то есть $\alpha$ дифференцируема, и $\alpha '$ нигде не обращается в нуль). Пусть $T(u), N(u)$ и $B(u)$ — единичные векторы касательной, нормали и бинормали кривой $\alpha$ в точке $\alpha (u)$. Рассмотрим нормальную трубку радиуса $\varepsilon$ вокруг $\alpha$, то есть поверхность, заданную параметрически как $\phi (u,v) = \alpha (u) + \varepsilon \cos (v) N(u) + \varepsilon \sin (v) B(u)$.

Покажите, что эллипсоид $x^2+2y^2+3z^2=1$ не изометричен никакой сфере $x^2+y^2+z^2=r^2$.

Пусть $(f(v)\cos (u), f(v)\sin (u), g(v))$ — параметризация поверхности вращения $S \subset \mathbb {R}^{3}$, где $(u,v) \in (0,2\pi )\times (a,b)$. Если на $S$ задана индуцированная из $\mathbb {R}^{3}$ метрика, докажите, что следующее отображение из $S$ в $\mathbb {R}^{2}$ является локально конформным, где $\mathbb {R}^{2}$ снабжено стандартной евклидовой метрикой:

Пусть $S$ — гладкая поверхность в $\mathbb {R}^{3}$, заданная $r(u,v)$, где $r$ — радиус-вектор в $\mathbb {R}^{3}$, а $(u,v)$ — криволинейные координаты на $S$. Пусть $H$ и $K$ — соответственно средняя и гауссова кривизны $S$. Пусть $A$ и $B$ — соответственно точные верхние грани абсолютных значений $H$ и $K$ на $S$. Пусть $a$ — положительное число, а $n$ — единичный вектор нормали $S$. Рассмотрим поверхность $\tilde S$, заданную как $\rho (u,v) = r(u,v) + a n(u,v)$. Пусть $C$ — кривая на $S$, заданная как $u=u(t)$ и $v=v(t)$. Пусть $\tilde C$ — кривая на $\tilde S$, заданная как $t \to \rho (u(t),v(t))$. Покажите, что длина $\tilde C$ не менее длины $C$, умноженной на $1-a(A+\sqrt{A^2+4B})$.

Пусть $u \mapsto \rho (u)$ — гладкая кривая в $\mathbb {R}^{3}$. Пусть $S$ — поверхность в $\mathbb {R}^{3}$, заданная как $(u,v) \mapsto \rho (u) + v\rho '(u)$, где $\rho '(u)$ означает производную первого порядка $\rho (u)$ по $u$. Предположим, что два вектора $\rho '(u)$ и $\rho '(u) + v\rho ''(u)$ линейно независимы над $\mathbb {R}$ в точке $(u,v) = (u_0,v_0)$, где $\rho ''(u)$ означает производную второго порядка $\rho (u)$ по $u$. Проверьте непосредственно из определения гауссовой кривизны, что гауссова кривизна $S$ равна нулю в точке $(u,v) = (u_0,v_0)$.

Пусть $M^2 \subset \mathbb {R}^{3}$ — вложенная ориентированная поверхность, и пусть $S^2$ — единичная сфера. Гауссово отображение $G : M \to S^2$ определяется как $G(x) = N(x)$ для любой $x \in M$, где $N(x)$ — единичный вектор нормали $M$ в точке $x$. Пусть $h$ и $g$ обозначают индуцированные римановы метрики на $M$ и $S^2$ из $\mathbb {R}^{3}$ соответственно. Докажите, что если средняя кривизна $M$ равна нулю всюду, то гауссово отображение $G$ является конформным отображением из $(M,h)$ в $(S^2,g)$. (Напомним: если $(\Sigma_1,g_1)$, $(\Sigma_2,g_2)$ — два римановых многообразия, отображение $\phi : (\Sigma_1,g_1) \to (\Sigma_2,g_2)$ называется конформным, если $g_1 = \lambda \phi^*g_2$ для некоторой скалярной функции $\lambda$ на $\Sigma_1$.)

Пусть $f : [a,b] \to \mathbb {R}^{}_+$ — гладкая функция, и пусть $X \subset \mathbb {R}^{3}$ — поверхность вращения, образованная вращением $z=f(x)$ вокруг оси $x$.

Пусть $\gamma$ — геодезическая кривая на регулярной поверхности вращения $S \subset \mathbb {R}^{3}$. Пусть $\theta (p)$ обозначает угол, который кривая образует с параллелью в точке $p \in \gamma$, а $r(p)$ — расстояние до оси вращения. Докажите соотношение Клеро: $r\cos \theta = \text{const}$.

Пусть $F(x,y,z)$ — гладкая однородная функция степени $k$, то есть $F(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^k F(x,y,z)$. Докажите, что вдали от начала координат индуцированная метрика на конической поверхности $\Sigma = \{ (x,y,z) \mid F(x,y,z) = 0\}$ имеет гауссову кривизну, равную $0$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{3}$ — конус $x^2=y^2+z^2$, и пусть $Y$ — тор $(\sqrt{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1$, то есть тор, полученный вращением окружности $(x-2)^2+z^2-1=y=0$ вокруг оси $z$.

Пусть $\Sigma \subset \mathbb {R}^{3}$ — гладкое 2-мерное подмногообразие, и $n : \Sigma \to \mathbb {R}^{3}$ — гладкое отображение такое, что $n(p)$ — единичная нормаль к $\Sigma$ в точке $p$. Отождествим касательное расслоение $T\Sigma$ с подпространством пар $(p,v) \in \Sigma \times \mathbb {R}^{3}$ таких, что $\left\langle v, n(p) \right\rangle = 0$. Предположим теперь, что $t \to p(t)$ — гладко параметризованная кривая в $\mathbb {R}^{3}$, лежащая на $\Sigma$. Докажите, что эта кривая является геодезической тогда и только тогда, когда

Здесь $p'$ — производная отображения $t \to p(t)$, а $p''$ — вторая производная.