Дифференциальная геометрия кривых

Пусть $\alpha (s)$ — замкнутая плоская кривая. Определим диаметр $d_\alpha$ кривой $\alpha (s)$ как

Теперь предположим, что кривизна $k(s) \geq 1$ для всех $s$.

Пусть $\alpha$ — регулярная $C^\infty$-кривая в $\mathbb {R}^{3}$ с нигде не обращающейся в нуль кривизной. Предположим, что вектор нормали $N(t)$ пропорционален радиус-вектору; то есть $N(t) = c(t)\alpha (t)$ для всех $t$, где $c$ — гладкая функция. Определите все такие кривые.

Поверхность $S \subset \mathbb {R}^{3}$ называется трижды линейчатой, если в каждой точке $p \in S$ можно найти три открытых отрезка прямых $L_1, L_2, L_3$, лежащих на $S$, такие что $L_1 \cap L_2 \cap L_3 = \{ p\}$. Определите все трижды линейчатые поверхности.

Пусть $\gamma : (a,b) \to \mathbb {R}^{3}$ — гладкая кривая с $\left|\gamma '\right| = 1$, кривизной $k$ и кручением $\tau$, оба нигде не обращающиеся в нуль. Обозначим репер Френе через $\{ T, N, B\}$. Предположим, что существует единичный вектор $a \in \mathbb {R}^{3}$ такой, что

Покажите, что если $\gamma$ — геодезическая на конусе $z = \sqrt{x^2+y^2}$, $(x,y) \in \mathbb {R}^{2} \setminus \{ (0,0)\}$, то $\gamma$ пересекает себя не более конечного числа раз.

Пусть $\gamma : (a,b) \to \mathbb {R}^{3}$ — $C^\infty$-кривая, параметризованная натуральным параметром, с кривизной и кручением $k(s)$ и $\tau (s)$. Предположим $k(s) \neq 0$, $\tau (s) \neq 0$ для всех $s \in (a,b)$, и пусть $T$ и $N$ обозначают единичные векторы касательной и нормали к $\gamma$. Кривая $\gamma$ называется кривой Бертрана, если существует регулярная кривая $\bar\gamma : (a,b) \to \mathbb {R}^{3}$ такая, что для каждого $s \in (a,b)$ нормали кривых $\gamma$ и $\bar\gamma$ в точке $s$ совпадают. В этом случае $\bar\gamma$ называется сопряжённой кривой Бертрана для $\gamma$, и мы можем записать $\bar\gamma (s) = \gamma (s) + rN(s)$ для некоторого $r = r(s) \in \mathbb {R}$. (Заметим, что $s$ может не быть натуральным параметром для $\bar\gamma$.)

Пусть $x(s)$ — кривая в $\mathbb {R}^{3}$, параметризованная натуральным параметром. Предположим, что $\tau (s) \neq 0$ и $k'(s) \neq 0$ для всех $s$. Покажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы $x(s)$ лежала на сфере, является

Пусть $M \subset \mathbb {R}^{3}$ — тор, полученный вращением окружности $\{ (0, y, z) : (y-2)^2 + z^2 = 1\}$ вокруг оси $z$, и пусть $c(t) = (2\cos t, 2 \sin t, 1)$ («верхняя окружность»). Является ли эта кривая геодезической на $M$? Объясните без длинных вычислений.

Пусть $\gamma : [0,1] \to \mathbb {R}^{3}$ — $C^\infty$-кривая с $\left|\gamma '\right| = 1$ и нигде не обращающейся в нуль кривизной. Предположим, что кручение $\tau \equiv 0$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — положительная гладкая функция. Пусть $M$ — поверхность в $\mathbb {R}^{3}$, полученная вращением графика $\{ (x, f(x)) : x \in \mathbb {R}\}$ функции $f$ в плоскости $xz$ вокруг оси $x$. Охарактеризуйте через $f$ множество тех $x$, для которых $\dfrac {1}{f(x)}$ является главной кривизной $M$ в точке $(x, 0, f(x))$.

Пусть $\alpha (s) \subset \mathbb {R}^{3}$ — гладкая кривая, параметризованная натуральным параметром. Предположим, что радиус-вектор $\alpha (s)$ всегда является линейной комбинацией векторов бинормали и нормали $B(s), N(s)$ кривой $\alpha (s)$. Покажите, что $\alpha (s)$ не проходит через $O \in \mathbb {R}^{3}$.

Пусть $M^2 \subset \mathbb {R}^{3}$ — цилиндр $x^2+y^2=1$. Предположим, что кривая $\alpha (s) \subset M^2$ параметризована натуральным параметром.

Пусть $\Gamma$ — двумерное распределение в $\mathbb {R}^{3}$, определённое как

Назовём векторное поле нормали $v$ вдоль пространственной кривой $\gamma$ параллельным, если $v'$ всегда касательно к $\gamma$.

Пусть $M$ — поверхность в $\mathbb {R}^{3}$, и пусть $P$ — плоскость. Предположим, что $M$ и $P$ пересекаются ортогонально. Покажите, что кривая пересечения (параметризованная натуральным параметром) является геодезической на $M$.

Пусть $\alpha (s)$ — $C^2$-кривая в $\mathbb {R}^{3}$, параметризованная натуральным параметром. Предположим, что для некоторой функции $f(s)$, $\alpha ''(s) = f(s)\alpha (s)$. Что можно сказать о $f(s)$, $\alpha (s)$?

Предположим, что $\gamma (t)$ параметризует пространственную кривую с функцией кривизны $\rho (t)$. Определим новую кривую $\bar\gamma$, полагая для каждого $t \in \mathbb {R}$, $\bar\gamma (t) := c\gamma (t/c)$, где $c \in \mathbb {R}$ — произвольная фиксированная константа. Найдите функцию кривизны для этой новой кривой.

Пусть $\alpha : (a,b) \to \mathbb {R}^{3}$ — гладкая кривая с нигде не обращающейся в нуль кривизной.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — две регулярные кривые в $\mathbb {R}^{3}$. Кривая $\beta$ называется эвольвентой кривой $\alpha$, если для всех $t$ точка $\beta (t)$ лежит на касательной к $\alpha$ в точке $\alpha (t)$ и $\left\langle \alpha '(t), \beta '(t) \right\rangle = 0$. Покажите, что всякая эвольвента обобщённой винтовой линии $\alpha$ является плоской кривой. (Напомним, что $\alpha$ является обобщённой винтовой линией, если для некоторого постоянного вектора $u \neq 0$, $\left\langle u, \alpha '(s) \right\rangle = \text{const}$, где $s$ — натуральный параметр для $\alpha$.)

Предположим, что единичная нормаль к поверхности $M \subset \mathbb {R}^{3}$ постоянна вдоль регулярной кривой $\alpha \subset M$. Выведите, что в этом случае $\alpha$ — асимптотическая кривая, что она содержится в плоскости, и что гауссова кривизна $M$ обращается в нуль в каждой точке $\alpha$.

[Замечание: кривая на поверхности называется асимптотической, если её ускорение всюду касательно этой поверхности.]

Изобразите замкнутую регулярную плоскую кривую $\beta : [-\pi , \pi ] \to \mathbb {R}^{2}$ с $\beta (0) = (0,0)$ и $\beta '(0) = (1,0)$, если функция кривизны $k(s)$ кривой $\beta$ ($s =$ натуральный параметр) нечётна, удовлетворяет

и имеет следующий график. (Приложите объяснение к своему рисунку.)

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{2}$ — связное одномерное вещественно-аналитическое подмногообразие, не содержащееся в прямой. Докажите, что не всякая касательная к $X$ является битангентной — то есть неверно, что для всех $p \in X$ существует $q \neq p$ такое, что касательная к $X$ в точке $p$ совпадает с касательной к $X$ в точке $q$ как прямые в $\mathbb {R}^{2}$.