Несобственные двойные и тройные интегралы

Исследовать на сходимость несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2}>1} \frac{\varphi (x,y)}{(x^{2}+y^{2})^{p}}\, dx\, dy$.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{dx\, dy}{(1+\left|x\right|^{p})(1+\left|y\right|^{q})}$.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{0 \leq y \leq 1} \frac{\varphi (x,y)}{(1+x^{2}+y^{2})^{p}}\, dx\, dy$.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{\left|x\right|+\left|y\right|>1} \frac{dx\, dy}{\left|x\right|^{p}+\left|y\right|^{q}}$ $(p>0, q>0)$.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{x+y>1} \frac{\sin x\sin y}{(x+y)^{p}}\, dx\, dy$.

Доказать, что если непрерывная функция $f(x,y)$ неотрицательна и $S_{n}$ $(n=1,2,\ldots )$ — какая-нибудь последовательность ограниченных и замкнутых областей, исчерпывающая область $S$, то

где левая часть имеет или не имеет смысла одновременно с правой.

Показать, что

тогда как

($n$ — натуральное число).

Показать, что интеграл

расходится, хотя повторные интегралы

сходятся.

Вычислить интеграл (параметры положительны) $\displaystyle \iint \limits_{\substack {xy>1 \\ x>1}} \frac{dx\, dy}{x^{p}y^{q}}$.

Вычислить интеграл (параметры положительны) $\displaystyle \iint \limits_{\substack {x+y>1 \\ 0 \leq x \leq 1}} \frac{dx\, dy}{(x+y)^{p}}$.

Вычислить интеграл (параметры положительны) $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2}<1} \frac{dx\, dy}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$.

Вычислить интеграл (параметры положительны) $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2}>1} \frac{dx\, dy}{(x^{2}+y^{2})^{p}}$.

Вычислить интеграл (параметры положительны) $\displaystyle \iint \limits_{y>x^{2}+1} \frac{dx\, dy}{x^{4}+y^{2}}$.

Вычислить интеграл (параметры положительны) $\displaystyle \iint \limits_{0 \leq x \leq y} e^{-(x+y)}\, dx\, dy$.

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } e^{-(x^{2}+y^{2})}\, dx\, dy$.

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } e^{-(x^{2}+y^{2})}\cos (x^{2}+y^{2})\, dx\, dy$.

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } e^{-(x^{2}+y^{2})}\sin (x^{2}+y^{2})\, dx\, dy$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } e^{ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+1}\, dx\, dy$, где $a<0$, $ac-b^{2}>0$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}>1} e^{-(x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2})}\, dx\, dy$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } xye^{-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+2\varepsilon \frac{x}{a}\frac{y}{b}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)}\, dx\, dy$ $(0<\left|\varepsilon \right|<1)$.

Исследовать на сходимость несобственный двойной интеграл от разрывной функции $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } \frac{dx\, dy}{x^{2}+y^{2}}$, где область $\Omega$ определяется условиями: $\left|y\right| \leq x^{2}$; $x^{2}+y^{2} \leq 1$.

Исследовать на сходимость несобственный двойной интеграл от разрывной функции $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 1} \frac{\varphi (x,y)}{(x^{2}+xy+y^{2})^{p}}\, dx\, dy$.

Исследовать на сходимость несобственный двойной интеграл от разрывной функции $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{\left|x\right|+\left|y\right| \leq 1} \frac{dx\, dy}{\left|x\right|^{p}+\left|y\right|^{q}}$ $(p>0, q>0)$.

Исследовать на сходимость несобственный двойной интеграл от разрывной функции $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \int \limits_{0}^{a} \int \limits_{0}^{a} \frac{\varphi (x,y)}{\left|x-y\right|^{p}}\, dx\, dy$.

Исследовать на сходимость несобственный двойной интеграл от разрывной функции $(0<m \leq \left|\varphi (x,y)\right| \leq M<+\infty )$: $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 1} \frac{\varphi (x,y)}{(1-x^{2}-y^{2})^{p}}\, dx\, dy$.

Доказать, что если 1) функция $\varphi (x,y)$ непрерывна в ограниченной области $a \leq x \leq A$, $b \leq y \leq B$; 2) функция $f(x)$ непрерывна на сегменте $a \leq x \leq A$ и 3) $p<1$, то интеграл

сходится.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 1} \ln \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\, dx\, dy$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{a} dx \int \limits_{0}^{x} \frac{dy}{\sqrt{(a-x)(x-y)}}$ $(a>0)$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } \ln \sin (x-y)\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена прямыми $y=0$, $y=x$, $x=\pi$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq x} \frac{dx\, dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$.

Исследовать на сходимость тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{x^{2}+y^{2}+z^{2}>1} \frac{\varphi (x,y,z)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{p}}\, dx\, dy\, dz$, где $0<m \leq \left|\varphi (x,y,z)\right| \leq M<+\infty$.

Исследовать на сходимость тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1} \frac{\varphi (x,y,z)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{p}}\, dx\, dy\, dz$, где $0<m \leq \left|\varphi (x,y,z)\right| \leq M<+\infty$.

Исследовать на сходимость тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|>1} \frac{dx\, dy\, dz}{\left|x\right|^{p}+\left|y\right|^{q}+\left|z\right|^{r}}$ $(p>0, q>0, r>0)$.

Исследовать на сходимость тройной интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{a} \int \limits_{0}^{a} \int \limits_{0}^{a} \frac{f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz}{\left([y-\varphi (x)]^{2}+[z-\psi (x)]^{2}\right)^{p}}$, где $0<m \leq \left|f(x,y,z)\right| \leq M<+\infty$, а $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ — непрерывные функции на сегменте $[0,a]$.

Исследовать на сходимость тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{\substack {\left|x\right| \leq 1 \\ \left|y\right| \leq 1 \\ \left|z\right| \leq 1}} \frac{dx\, dy\, dz}{\left|x+y-z\right|^{p}}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} \frac{dx\, dy\, dz}{x^{p}y^{q}z^{r}}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{x^{2}+y^{2}+z^{2}>1} \frac{dx\, dy\, dz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1} \frac{dx\, dy\, dz}{(1-x^{2}-y^{2}-z^{2})^{p}}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\, dx\, dy\, dz$.

Вычислить интеграл

где $\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij}x_{i}x_{j}$ $(a_{ij}=a_{ji})$ — положительно определенная квадратичная форма.