Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $z=2x^{2}+2y^{2}$, $y=x$, $y=x^{2}$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=x+y$, $z=xy$, $x+y=1$, $x=0$, $y=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x+y=\pm a$, $x-y=\pm a$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $az=x^{2}+y^{2}$, $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $(a>0)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $az=a^{2}-x^{2}-y^{2}$, $z=a-x-y$, $x=0$, $y=0$, $z=0$ $(a>0)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=6-x^{2}-y^{2}$, $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам, вычислить объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az$, $x^{2}+y^{2} \leq z^{2}$.

Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам, вычислить объем, ограниченный поверхностью $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}-z^{2})$.

Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам, вычислить объем, ограниченный поверхностью $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}=3xyz$.

Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам, вычислить объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2}$, $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ $(z \geq 0)$ $(0<a<b)$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\dfrac {x}{h}$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{c^{2}}$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z}{c}$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{4}}{c^{4}}=1$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}+\dfrac {z^{4}}{c^{4}}=1$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}\right)^{2}=\dfrac {x}{h}+\dfrac {y}{k}$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}\right)^{2}=\dfrac {x}{h}-\dfrac {y}{k}$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}\right)^{4}=\dfrac {xyz}{abc}$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}+\left(\dfrac {z}{c}\right)^{2}=1$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}+\sqrt{\dfrac {z}{c}}=1$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\sqrt[3]{\dfrac {x}{a}}+\sqrt[3]{\dfrac {y}{b}}+\sqrt[3]{\dfrac {z}{c}}=1$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2/3}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{2/3}+\left(\dfrac {z}{c}\right)^{2/3}=1$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z=x^{2}+y^{2}$, $z=2(x^{2}+y^{2})$, $xy=a^{2}$, $xy=2a^{2}$, $x=2y$, $2x=y$ $(x>0, y>0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $x^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+z^{2}=b^{2}$, $x^{2}-y^{2}-z^{2}=0$ $(x>0)$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}=\dfrac {a^{6}z^{2}}{x^{2}+y^{2}}$.

Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\dfrac {z}{h} \cdot e^{-\dfrac {z^{2}/c^{2}}{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}+z^{2}/c^{2}}}$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью $\dfrac {\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}}{\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}}=\dfrac {2}{\pi }\arcsin \left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}\right)$, $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}=1$, $x=0$, $x=a$.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}=\ln \dfrac {\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}=\dfrac {z}{c}}{\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}}$, $x=0$, $z=0$, $\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}=0$, $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}=1$.

В каком отношении делит объем шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4az$ поверхность $x^{2}+y^{2}+az=4a^{2}$?

Найти объем и поверхность тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}=az$, $z=2a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $(a>0)$.

Найти объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями

если

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

если

Найти объем тела, ограниченного поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{n}+\dfrac {z^{2n}}{c^{2n}}=\dfrac {z}{h}\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{n-2}$ $(n>1)$.

Найти объем тела, расположенного в положительном октанте пространства $Oxyz$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ и ограниченного поверхностями $\dfrac {x^{m}}{a^{m}}+\dfrac {y^{n}}{b^{n}}+\dfrac {z^{p}}{c^{p}}=1$ $(m>0, n>0, p>0)$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.