Тройные интегралы

Вычислить тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} xy^{2}z^{3}\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностями $z=xy$, $y=x$, $x=1$, $z=0$.

Вычислить тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} \frac{dx\, dy\, dz}{(1+x+y+z)^{3}}$, где область $V$ ограничена поверхностями $x+y+z=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Вычислить тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} xyz\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Вычислить тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностью $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$.

Вычислить тройной интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностями $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, $z=1$.

Различными способами расставить пределы интеграции в тройном интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{1-x} dy \int \limits_{0}^{x+y} f(x,y,z)\, dz$.

Различными способами расставить пределы интеграции в тройном интеграле $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} dx \int \limits_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} dy \int \limits_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y,z)\, dz$.

Различными способами расставить пределы интеграции в тройном интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{1} dy \int \limits_{0}^{x^{2}+y^{2}} f(x,y,z)\, dz$.

Заменить тройной интеграл однократным: $\displaystyle \int \limits_{0}^{x} d\xi \int \limits_{0}^{\xi } d\eta \int \limits_{0}^{\eta } f(\zeta )\, d\zeta$.

Заменить тройной интеграл однократным: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{1} dy \int \limits_{0}^{x+y} f(z)\, dz$.

Найти $\displaystyle \int \limits_{a}^{A} dx \int \limits_{b}^{B} dy \int \limits_{c}^{C} f(x,y,z)\, dz$, если $f(x,y,z)=F'''_{xyz}(x,y,z)$ и $a,b,c,A,B,C$ — постоянные.

Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностью $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$.

Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} dx \int \limits_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} z^{2}\, dz$.

Перейти к сферическим координатам в интеграле $\displaystyle \iiint \limits_{V} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $x=y$, $x=1$, $y=0$, $z=0$.

Произведя соответствующую замену переменных, вычислить тройной интеграл

где $V$ — внутренность эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$.

Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} (x^{2}+y^{2})\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностями $x^{2}+y^{2}=2z$, $z=2$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} x^{2}\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ ограничена поверхностями $z=ay^{2}$, $z=by^{2}$, $y>0$ $(0<a<b)$, $z=\alpha x$, $z=\beta x$ $(0<\alpha <\beta )$, $z=h$ $(h>0)$.

Найти интеграл $\displaystyle \iiint \limits_{V} xyz\, dx\, dy\, dz$, где область $V$ расположена в октанте $x>0$, $y>0$, $z>0$ и ограничена поверхностями

$(0<a<b;\ 0<\alpha <\beta ;\ 0<m<n)$.

Найти среднее значение функции $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ в области $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x+y+z$.

Найти среднее значение функции $f(x,y,z)=e^{\sqrt{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}+z^{2}/c^{2}}}$ в области $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} \leq 1$.

Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл

где $a^{2}+b^{2}+c^{2}>R^{2}$.

Доказать, что если функция $f(x,y,z)$ непрерывна в области $V$ и

для любой области $\omega \subset V$, то $f(x,y,z) \equiv 0$ при $(x,y,z) \in V$.

Найти $F'(t)$, если:

Найти $\displaystyle \iiint \limits_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1} x^{m}y^{n}z^{p}\, dx\, dy\, dz$, где $m$, $n$ и $p$ — целые неотрицательные числа.

Вычислить интеграл Дирихле

$(p>0, q>0, r>0, s>0)$, где область $V$ ограничена плоскостями $x+y+z=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$, полагая