Приложения двойных интегралов к механике

Найти массу квадратной пластинки со стороной $a$, если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и равна $\rho_{0}$ в центре квадрата.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми $ay=x^{2}$, $x+y=2a$ $(a>0)$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$, $x=0$, $y=0$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ $(x>0, y>0)$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной петлей кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{3}=\dfrac {xy}{c^{2}}$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$ $(x>0, y>0)$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой $r=a(1+\cos \varphi )$, $\varphi =0$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$, $y=0$.

Найти координаты центра тяжести круглой пластинки $x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$, если плотность ее в точке $M(x,y)$ пропорциональна расстоянию точки $M$ от точки $A(a,0)$.

Определить кривую, описываемую центром тяжести переменной площади, ограниченной кривыми:

Найти моменты инерции $I_{x}$ и $I_{y}$ относительно осей координат $Ox$ и $Oy$ площади ($\rho =1$), ограниченной кривыми $\dfrac {x}{b_{1}}+\dfrac {y}{h}=1$, $\dfrac {x}{b_{2}}+\dfrac {y}{h}=1$, $y=0$ $(b_{1}>0, b_{2}>0, h>0)$.

Найти моменты инерции $I_{x}$ и $I_{y}$ относительно осей координат $Ox$ и $Oy$ площади ($\rho =1$), ограниченной кривыми $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$, $x=0$, $y=0$ $(0 \leq x \leq a)$.

Найти моменты инерции $I_{x}$ и $I_{y}$ относительно осей координат $Ox$ и $Oy$ площади ($\rho =1$), ограниченной кривой $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти моменты инерции $I_{x}$ и $I_{y}$ относительно осей координат $Ox$ и $Oy$ площади ($\rho =1$), ограниченной кривой $x^{4}+y^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$.

Найти моменты инерции $I_{x}$ и $I_{y}$ относительно осей координат $Ox$ и $Oy$ площади ($\rho =1$), ограниченной кривыми $xy=a^{2}$, $xy=2a^{2}$, $x=2y$, $2x=y$ $(x>0, y>0)$.

Найти полярный момент

площади $S$, ограниченной кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Найти центробежный момент инерции $I_{xy}$ однородной фигуры, ограниченной кривыми $ay=x^{2}$, $ax=y^{2}$ $(a>0)$.

Доказать формулу $I_{l}=I_{l_{0}}+Sd^{2}$, где $I_{l}$, $I_{l_{0}}$ — моменты инерции фигуры $S$ относительно двух параллельных осей $l$ и $l_{0}$, из которых $l_{0}$ проходит через центр тяжести фигуры и $d$ — расстояние между этими осями.

Доказать, что момент инерции плоской области $S$ относительно прямой, проходящей через ее центр тяжести $O(0,0)$ и составляющей угол $\alpha$ с осью $Ox$, равен

где $I_{x}$ и $I_{y}$ — моменты инерции области $S$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ и $I_{xy}$ — центробежный момент:

Найти момент инерции правильного треугольника со стороной $a$ относительно прямой, проходящей через центр тяжести треугольника и составляющей угол $\alpha$ с его высотой.

Определить силу давления воды на боковую стенку $x \geq 0$ цилиндрического сосуда $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $z=0$, если уровень воды $z=h$.

Шар радиуса $a$ погружен в жидкость постоянной плотности $\delta$ на глубину $h$ (считая от центра шара), где $h \geq a$. Найти силу давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шаровой поверхности.

Прямой круговой цилиндр, радиус основания которого равен $a$, а высота $b$, целиком погружен в жидкость плотности $\delta$ так, что центр его находится на глубине $h$ под поверхностью воды, а ось цилиндра составляет угол $\alpha$ с вертикалью. Определить силу давления жидкости на нижнее и верхнее основания цилиндра.

Определить силу притяжения однородным цилиндром $x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$, $0 \leq z \leq h$, материальной точки $P(0,0,b)$, если масса цилиндра равна $M$, а масса точки равна $m$.

Распределение давления тела на площадку смятия

дается формулой $p=p_{0}\left(1-\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)$.

Определить среднее давление тела на эту площадку.

Луг, имеющий форму прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, равномерно покрыт скошенной травой с плотностью, равной $p$ кгс/м${}^{2}$. Какую минимальную работу надо затратить, чтобы собрать все сено в центре луга, если работа по транспортировке груза $P$ кгс на расстояние $r$ равна $kPr$ $(0<k<1)$.