Вычисление площадей поверхностей

Найти площадь части поверхности $az=xy$, заключенной внутри цилиндра $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Найти площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+z^{2}=a^{2}$, $y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Найти площадь части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, заключенной внутри цилиндра $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b \leq a)$.

Найти площадь части поверхности $z^{2}=2xy$, отсекаемой плоскостями $x+y=1$, $x=0$, $y=0$.

Найти площадь части поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, расположенной вне цилиндров $x^{2}+y^{2}=\pm ax$ (задача Вивиани).

Найти площадь части поверхности $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, заключенной внутри цилиндра $x^{2}+y^{2}=2x$.

Найти площадь части поверхности $z=\sqrt{x^{2}-y^{2}}$, заключенной внутри цилиндра $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Найти площадь части поверхности $z=\dfrac {1}{2}(x^{2}-y^{2})$, вырезанной плоскостями $x-y=\pm 1$, $x+y=\pm 1$.

Найти площадь части поверхности $x^{2}+y^{2}=2az$, заключенной внутри цилиндра $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$.

Найти площадь части поверхности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, вырезанной плоскостями $x+z=0$, $x-z=0$ $(x>0, y>0)$.

Найти площадь части поверхности $(x^{2}+y^{2})^{3/2}+z=1$, отсекаемой плоскостью $z=0$.

Найти площадь части поверхности $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}+\dfrac {2z}{c}=1$, вырезанной плоскостями $x=0$, $y=0$ и $z=0$.

Найти площадь части поверхности $\dfrac {x^{2}}{a}-\dfrac {y^{2}}{b}=2z$, вырезанной поверхностью $\dfrac {x^{3}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ $(z \geq 0)$.

Найти площадь части поверхности $\sin z=\sh x\cdot \sh y$, отсекаемой плоскостями $x=1$ и $x=2$ $(y \geq 0)$.

Найти поверхность и объем тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}=\dfrac {1}{3}z^{2}$, $x+y+z=2a$ $(a>0)$.

Найти площадь части сферы, ограниченной двумя параллелями и двумя меридианами.

Найти площадь части геликоида $x=r\cos \varphi$, $y=r\sin \varphi$, $z=h\varphi$, где $0<r<a$, $0<\varphi <2\pi$.

Найти площадь части поверхности тора $x=(b+a\cos \psi )\cos \varphi$, $y=(b+a\cos \psi )\sin \varphi$, $z=a\sin \psi$ $(0<a \leq b)$, ограниченной двумя меридианами $\varphi =\varphi_{1}$, $\varphi =\varphi_{2}$ и двумя параллелями $\psi =\psi_{1}$, $\psi =\psi_{2}$.

Чему равна поверхность всего тора?

Найти телесный угол $\omega$, под которым виден из начала координат прямоугольник $x=a>0$, $0 \leq y \leq b$, $0 \leq z \leq c$.

Вывести приближенную формулу для $\omega$, если $a$ велико.