Вычисление объемов

Нарисовать тело, объем которого равен интегралу $\displaystyle V=\int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{1-x} (x^{2}+y^{2})\, dy$.

Изобразить объемы, выражаемые следующими двойными интегралами:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=1+x+y$, $z=0$, $x+y=1$, $x=0$, $y=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $x+y+z=a$, $x^{2}+y^{2}=R^{2}$, $x=0$, $y=0$, $z=0$ $(a \geq R\sqrt{2})$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $y=x^{2}$, $y=1$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=\cos x\cos y$, $z=0$, $\left|x+y\right| \leq \pi /2$, $\left|x-y\right| \leq \pi /2$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=\sin \dfrac {\pi y}{2x}$, $z=0$, $y=x$, $y=0$, $x=\pi$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=xy$, $x+y+z=1$, $z=0$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $z^{2}=xy$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=x+y$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=2xy$, $z=0$ $(x>0, y>0)$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $x^{2}+y^{2}=x$, $x^{2}+y^{2}=2x$, $z=0$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2} \geq a\left|x\right|$ $(a>0)$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}-az=0$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$, $z=0$ $(a>0)$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=e^{-(x^{2}+y^{2})}$, $z=0$, $x^{2}+y^{2}=R^{2}$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=c\cos \dfrac {\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2a}$, $z=0$, $y=x\tg \alpha$, $y=x\tg \beta$ $(a>0, c>0, 0 \leq \alpha <\beta \leq 2\pi )$.

Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $z=x+y$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z^{2}}{c^{2}}$ $(z \geq 0)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=-1$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z}{c}$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}+\dfrac {z}{c}=1$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z^{2}=xy$, $x+y=a$, $x+y=b$ $(0<a<b)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z=x^{2}+y^{2}$, $xy=a^{2}$, $xy=2a^{2}$, $y=\dfrac {x}{2}$, $y=2x$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z=xy$, $x^{2}=y$, $x^{2}=2y$, $y^{2}=x$, $y^{2}=2x$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z=c\sin \dfrac {\pi xy}{a^{2}}$, $z=0$, $xy=a^{2}$, $y=\alpha x$, $y=\beta x$ $(0<\alpha <\beta ;\ x>0)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z=x^{3/2}+y^{3/2}$, $z=0$, $x+y=1$, $x=0$, $y=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z}{c}=1$, $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2/3}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{2/3}=1$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z=c\arctg \dfrac {y}{x}$, $z=0$, $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=a\arctg \dfrac {y}{x}$ $(y \geq 0)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $z=ye^{-xy/a^{2}}$, $xy=a^{2}$, $xy=2a^{2}$, $y=m$, $y=n$, $z=0$ $(0<m<n)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\dfrac {x^{n}}{a^{n}}+\dfrac {y^{n}}{b^{n}}+\dfrac {z^{n}}{c^{n}}=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$ $(n>0)$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметры предполагаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{n}+\left(\dfrac {z}{c}\right)^{m}=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$ $(n>0, m>0)$.