Вычисление площадей

Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=a^{2}$, $x+y=\dfrac {5}{2}a$ $(a>0)$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $y^{2}=2px+p^{2}$, $y^{2}=-2qx+q^{2}$ $(p>0, q>0)$.

Найти площадь, ограниченную кривой $(x-y)^{2}+x^{2}=a^{2}$ $(a>0)$.

Переходя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривыми $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$; $x^{2}+y^{2} \geq a^{2}$.

Переходя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривыми $(x^{3}+y^{3})^{2}=x^{2}+y^{2}$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Переходя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a(x^{3}-3xy^{2})$ $(a>0)$.

Переходя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривыми $(x^{2}+y^{2})^{2}=8a^{2}xy$; $(x-a)^{2}+(y-a)^{2} \leq a^{2}$ $(a>0)$.

Вводя обобщенные полярные координаты $r$ и $\varphi$ по формулам $x=ar\cos^{\alpha }\varphi$, $y=br\sin^{\alpha }\varphi$ $(r>0)$, где $a$, $b$ и $\alpha$ — надлежащим образом подобранные постоянные и $\dfrac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}=\alpha abr\cos^{\alpha -1}\varphi \sin^{\alpha -1}\varphi$, найти площадь, ограниченную кривой (параметры считаются положительными) $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {x}{h}+\dfrac {y}{k}$.

Вводя обобщенные полярные координаты $r$ и $\varphi$ по формулам $x=ar\cos^{\alpha }\varphi$, $y=br\sin^{\alpha }\varphi$ $(r>0)$, где $a$, $b$ и $\alpha$ — надлежащим образом подобранные постоянные и $\dfrac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}=\alpha abr\cos^{\alpha -1}\varphi \sin^{\alpha -1}\varphi$, найти площадь, ограниченную кривыми (параметры считаются положительными) $\dfrac {x^{3}}{a^{3}}+\dfrac {y^{3}}{b^{3}}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$; $x=0$, $y=0$.

Вводя обобщенные полярные координаты $r$ и $\varphi$ по формулам $x=ar\cos^{\alpha }\varphi$, $y=br\sin^{\alpha }\varphi$ $(r>0)$, где $a$, $b$ и $\alpha$ — надлежащим образом подобранные постоянные и $\dfrac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}=\alpha abr\cos^{\alpha -1}\varphi \sin^{\alpha -1}\varphi$, найти площадь, ограниченную кривой (параметры считаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$ $(x>0, y>0)$.

Вводя обобщенные полярные координаты $r$ и $\varphi$ по формулам $x=ar\cos^{\alpha }\varphi$, $y=br\sin^{\alpha }\varphi$ $(r>0)$, где $a$, $b$ и $\alpha$ — надлежащим образом подобранные постоянные и $\dfrac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}=\alpha abr\cos^{\alpha -1}\varphi \sin^{\alpha -1}\varphi$, найти площадь, ограниченную кривой (параметры считаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}-\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$ $(x>0, y>0)$.

Вводя обобщенные полярные координаты $r$ и $\varphi$, найти площадь, ограниченную кривой (параметры считаются положительными) $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{5}=\dfrac {x^{2}y^{2}}{c^{4}}$.

Вводя обобщенные полярные координаты $r$ и $\varphi$, найти площадь, ограниченную кривыми (параметры считаются положительными) $\sqrt[4]{\dfrac {x}{a}}+\sqrt[4]{\dfrac {y}{b}}=1$; $x=0$, $y=0$.

Произведя надлежащую замену переменных, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $x+y=a$, $x+y=b$, $y=\alpha x$, $y=\beta x$ $(0<a<b;\ 0<\alpha <\beta )$.

Произведя надлежащую замену переменных, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $xy=a^{2}$, $xy=2a^{2}$, $y=x$, $y=2x$ $(x>0; y>0)$.

Произведя надлежащую замену переменных, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y^{2}=2px$, $y^{2}=2qx$, $x^{2}=2ry$, $x^{2}=2sy$ $(0<p<q;\ 0<r<s)$.

Произведя надлежащую замену переменных, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $x^{2}=ay$, $x^{2}=by$, $x^{3}=cy^{2}$, $x^{3}=dy^{2}$ $(0<a<b;\ 0<c<d)$.

Произведя надлежащую замену переменных, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=ax^{p}$, $y=bx^{p}$, $y=cx^{q}$, $y=dx^{q}$ $(0<p<q;\ 0<a<b;\ 0<c<d)$.

Произведя надлежащую замену переменных, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}=1$, $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}=2$, $\dfrac {x}{a}=\dfrac {y}{b}$, $4\dfrac {x}{a}=\dfrac {y}{b}$ $(a>0, b>0)$.

Произведя надлежащую замену переменных, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2/3}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{2/3}=1$, $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2/3}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{2/3}=4$, $\dfrac {x}{a}=\dfrac {y}{b}$, $8\dfrac {x}{a}=\dfrac {y}{b}$ $(x>0, y>0)$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой $\dfrac {x^{2}}{\lambda }+\dfrac {y^{2}}{\lambda -c^{2}}=1$, где $\lambda$ принимает следующие значения: $\dfrac {1}{3}c^{2}$, $\dfrac {2}{3}c^{2}$, $\dfrac {4}{3}c^{2}$, $\dfrac {5}{3}c^{2}$ $(x>0, y>0)$.

Найти площадь, ограниченную эллипсом $(a_{1}x+b_{1}y+c_{1})^{2}+(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})^{2}=1$, где $\delta =a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \neq 0$.

Найти площадь, ограниченную эллипсами $\dfrac {x^{2}}{\ch^{2}u}+\dfrac {y^{2}}{\sh^{2}u}=c^{2}$ $(u=u_{1},u_{2})$ и гиперболами $\dfrac {x^{2}}{\cos^{2}v}-\dfrac {y^{2}}{\sin^{2}v}=c^{2}$ $(v=v_{1},v_{2})$ $(0<u_{1}<u_{2};\ 0<v_{1}<v_{2};\ x>0, y>0)$.

Найти площадь сечения поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz=a^{2}$ плоскостью $x+y+z=0$.

Найти площадь сечения поверхности $\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}+\dfrac {1}{z}=0$ плоскостью $z=1-2(x+y)$.