Элементы теории поля

Найти величину и направление градиента поля $u=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+xy+3x-2y-6z$ в точках:

Пусть $u=xy-z^{2}$. Найти величину и направление $\operatorname {grad}u$ в точке $M(-9,12,10)$.

Чему равна производная $\dfrac {\partial u}{\partial l}$ в направлении биссектрисы координатного угла $xOy$?

В каких точках пространства $Oxyz$ градиент поля $u=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$:

Дано скалярное поле $u=\ln \dfrac {1}{r}$, где $r=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}$. В каких точках пространства $Oxyz$ имеет место равенство $\left|\operatorname {grad}u\right|=1$?

Построить поверхности уровня скалярного поля $u=\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+8)^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-8)^{2}}$.

Найти поверхность уровня, проходящую через точку $M(9,12,28)$. Чему равен $\max u$ в области $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 36$?

Найти угол $\varphi$ между градиентами поля $u=\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ в точках $A(1,2,2)$ и $B(-3,1,0)$.

Пусть дано скалярное поле $u=\dfrac {z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Построить поверхности уровня и поверхности равного модуля градиента поля.

Найти $\inf u$, $\sup u$, $\inf \left|\operatorname {grad}u\right|$, $\sup \left|\operatorname {grad}u\right|$ в области $1<z<2$.

С точностью до бесконечно малых высших порядков найти расстояние в точке $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ между двумя бесконечно близкими поверхностями уровня $u(x,y,z)=c$ и $u(x,y,z)=c+\Delta c$, где $u(x_{0},y_{0},z_{0})=c$ $(\operatorname {grad}u(x_{0},y_{0},z_{0}) \neq 0)$.

Доказать формулы:

Вычислить:

Найти $\operatorname {grad}f(r)$, где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Найти $\operatorname {grad}(\overrightarrow {c}\overrightarrow {r})$, где $\overrightarrow {c}$ — постоянный вектор и $\overrightarrow {r}$ — радиус-вектор из начала координат.

Найти $\operatorname {grad}\left\{ \left|\overrightarrow {c} \times \overrightarrow {r}\right|^{2}\right\}$ ($\overrightarrow {c}$ — постоянный вектор).

Доказать формулу $\operatorname {grad}f(u,v)=\dfrac {\partial f}{\partial u}\operatorname {grad}u+\dfrac {\partial f}{\partial v}\operatorname {grad}v$.

Доказать формулу $\nabla^{2}(uv)=u\nabla^{2}v+v\nabla^{2}u+2\nabla u\nabla v$, где

Доказать, что если функция $u=u(x,y,z)$ дифференцируема в выпуклой области $\Omega$ и $\left|\operatorname {grad}u\right| \leq M$, где $M$ — постоянная, то для любых точек $A$, $B$ из $\Omega$ имеем:

где $\rho (A,B)$ — расстояние между точками $A$ и $B$.

Для функции $u=u(x,y,z)$ выразить $\operatorname {grad}u$:

Найти производную поля $u=\dfrac {x^{4}}{a^{4}}+\dfrac {y^{4}}{b^{4}}+\dfrac {z^{4}}{c^{4}}$ в данной точке $M(x,y,z)$ в направлении радиуса-вектора $\overrightarrow {r}$ этой точки.

В каком случае эта производная будет равна величине градиента?

Найти производную поля $u=1/r$, где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, в направлении $l\left\{ \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \right\}$.

В каком случае эта производная равна нулю?

Найти производную поля $u=u(x,y,z)$ в направлении градиента поля $v=v(x,y,z)$.

В каком случае эта производная будет равна нулю?

Написать в ортах векторное поле $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {c} \times \operatorname {grad}u$, если

Определить силовые линии векторного поля $\overrightarrow {a}=x\overrightarrow {i}+y\overrightarrow {j}+2z\overrightarrow {k}$.

Доказать непосредственным вычислением, что дивергенция вектора $\overrightarrow {a}$ не зависит от выбора прямоугольной координатной системы.

Доказать, что $\displaystyle \operatorname {div}\overrightarrow {a}(M)=\lim_{d(S) \to 0} \frac{1}{V}\iint \limits_{S} a_{n}\, dS$, где $S$ — замкнутая поверхность, окружающая точку $M$ и ограничивающая объем $V$, $n$ — внешняя нормаль к поверхности $S$, $d(S)$ — диаметр поверхности $S$.

Найти дивергенцию поля $\overrightarrow {a}=\dfrac {-\overrightarrow {i}x+\overrightarrow {j}y+\overrightarrow {k}z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ в точке $M(3,4,5)$. Чему приближенно равен поток $\Pi$ вектора $\overrightarrow {a}$ через бесконечно малую сферу $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}=\varepsilon^{2}$?

Найти

Доказать, что:

Найти $\operatorname {div}(\operatorname {grad}u)$.

Найти $\operatorname {div}[\operatorname {grad}f(r)]$, где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

В каком случае $\operatorname {div}[\operatorname {grad}f(r)]=0$?

Вычислить:

Вычислить $\operatorname {div}[f(r)\overrightarrow {c}]$, где $\overrightarrow {c}$ — постоянный вектор.

Найти $\operatorname {div}[f(r)\overrightarrow {r}]$. В каком случае дивергенция этого вектора равна нулю?

Найти:

Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси $Oz$ против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найти дивергенцию вектора скорости $\overrightarrow {v}$ и вектора ускорения $\overrightarrow {w}$ в точке $M(x,y,z)$ пространства в данный момент времени.

Найти дивергенцию гравитационного силового поля, создаваемого конечной системой притягивающих центров.

Найти выражение дивергенции плоского вектора $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}(r,\varphi )$ в полярных координатах $r$ и $\varphi$.

Выразить $\operatorname {div}\overrightarrow {a}(x,y,z)$ в ортогональных криволинейных координатах $u$, $v$, $w$, если $x=f(u,v,w)$, $y=g(u,v,w)$, $z=h(u,v,w)$. Как частный случай получить выражение $\operatorname {div}\overrightarrow {a}$ в цилиндрических и сферических координатах.

Доказать, что:

Найти:

Найти величину и направление $\operatorname {rot}\overrightarrow {a}$ в точке $M(1,2,-2)$, если $\overrightarrow {a}=\dfrac {y}{z}\overrightarrow {i}+\dfrac {z}{x}\overrightarrow {j}+\dfrac {x}{y}\overrightarrow {k}$.

Найти ($\overrightarrow {c}$ — постоянный вектор):

Доказать, что $\operatorname {div}(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b})=\overrightarrow {b}\operatorname {rot}\overrightarrow {a}-\overrightarrow {a}\operatorname {rot}\overrightarrow {b}$.

Найти:

Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси $l\left\{ \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \right\}$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найти ротацию вектора линейной скорости $\overrightarrow {v}$ в точке пространства $M(x,y,z)$ в данный момент времени.

Найти выражение ротации плоского вектора $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}(r,\varphi )$ в полярных координатах $r$ и $\varphi$.

Выразить $\operatorname {rot}\overrightarrow {a}(x,y,z)$:

Найти поток вектора $\overrightarrow {r}$:

Найти поток вектора $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {i}yz+\overrightarrow {j}xz+\overrightarrow {k}xy$:

Найти поток радиуса-вектора $\overrightarrow {r}$ через поверхность $z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $(0 \leq z \leq 1)$.

Найти поток вектора $\overrightarrow {a}=x^{2}\overrightarrow {i}+y^{2}\overrightarrow {j}+z^{2}\overrightarrow {k}$ через положительный октант сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$.

Найти поток вектора $\overrightarrow {a}=y\overrightarrow {i}+z\overrightarrow {j}+x\overrightarrow {k}$ через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями $x=0$, $y=0$, $z=0$, $x+y+z=a$ $(a>0)$.

Проверить результат, применяя формулу Остроградского.

Найти поток вектора $\overrightarrow {a}=x^{3}\overrightarrow {i}+y^{3}\overrightarrow {j}+z^{3}\overrightarrow {k}$ через сферу $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$.

Доказать, что поток вектора $\overrightarrow {a}$ через поверхность $S$, заданную уравнением $\overrightarrow {r}=\overrightarrow {r}(u,v)$ $((u,v) \in \Omega )$, равен

где $a_{n}=\overrightarrow {a}\overrightarrow {n}$ и $\overrightarrow {n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$.

Найти поток вектора $\overrightarrow {a}=m\overrightarrow {r}/r^{3}$ ($m$ — постоянная) через замкнутую поверхность $S$, окружающую начало координат.

Найти поток вектора $\displaystyle \overrightarrow {a}(\overrightarrow {r})=\sum_{i=1}^{n} \operatorname {grad}\left(-\frac{e_{i}}{4\pi r_{i}}\right)$, где $e_{i}$ — постоянные и $r_{i}$ — расстояния точек $M_{i}$ (источники) от переменной точки $M(\overrightarrow {r})$, через замкнутую поверхность $S$, окружающую точки $M_{i}$ $(i=1,2,\ldots ,n)$.

Доказать, что $\displaystyle \iint \limits_{S} \frac{\partial u}{\partial n}\, dS=\iiint \limits_{V} \nabla^{2}u\, dx\, dy\, dz$, где поверхность $S$ ограничивает тело $V$.

Количество тепла, протекающее в поле температуры $u$ за единицу времени через элемент поверхности $dS$, равно $dQ=-k\overrightarrow {n}\operatorname {grad}u\, dS$, где $k$ — коэффициент внутренней теплопроводности и $\overrightarrow {n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$. Определить количество тепла, накопленное телом $V$ за единицу времени. Используя скорость повышения температуры, вывести уравнение, которому удовлетворяет температура тела (уравнение теплопроводности).

Находящаяся в движении несжимаемая жидкость заполняет объем $V$. Предполагая, что в области $V$ отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение неразрывности

где $\rho =\rho (x,y,z)$ — плотность жидкости, $\overrightarrow {v}$ — вектор скорости, $t$ — время.

Найти работу вектора $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {r}$ вдоль отрезка винтовой линии $\overrightarrow {r}=\overrightarrow {i}a\cos t+\overrightarrow {j}a\sin t+\overrightarrow {k}bt$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

Найти работу поля $\overrightarrow {a}=\dfrac {1}{y}\overrightarrow {i}+\dfrac {1}{z}\overrightarrow {j}+\dfrac {1}{x}\overrightarrow {k}$ вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки $M(1,1,1)$ и $N(2,4,8)$.

Найти работу поля $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {i}e^{y-z}+\overrightarrow {j}e^{z-x}+\overrightarrow {k}e^{x-y}$ вдоль прямолинейного отрезка между точками $O(0,0,0)$ и $M(1,3,5)$.

Найти работу поля $\overrightarrow {a}=(y+z)\overrightarrow {i}+(z+x)\overrightarrow {j}+(x+y)\overrightarrow {k}$ вдоль кратчайшей дуги большого круга сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$, соединяющей точки $M(3,4,0)$ и $N(0,0,5)$.

Найти работу вектора $\overrightarrow {a}=f(r)\overrightarrow {r}$, где $f$ — непрерывная функция, вдоль дуги $AB$.

Найти циркуляцию вектора $\overrightarrow {a}=-y\overrightarrow {i}+x\overrightarrow {j}+c\overrightarrow {k}$ ($c$ — постоянная):

Найти циркуляцию $\Gamma$ вектора $\overrightarrow {a}=\operatorname {grad}\left(\arctg \dfrac {y}{x}\right)$ вдоль контура $C$ в двух случаях:

Дано векторное поле $\overrightarrow {a}=\dfrac {y}{\sqrt{z}}\overrightarrow {i}-\dfrac {x}{\sqrt{z}}\overrightarrow {j}+\sqrt{xy}\overrightarrow {k}$.

Вычислив $\operatorname {rot}\overrightarrow {a}$ в точке $M(1,1,1)$, приближенно найти циркуляцию $\Gamma$ поля вдоль бесконечно малой окружности

где $\cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta +\cos^{2}\gamma =1$.

Плоский установившийся поток жидкости характеризуется вектором скорости $\overrightarrow {w}=u(x,y)\overrightarrow {i}+v(x,y)\overrightarrow {j}$.

Определить: 1) количество жидкости $Q$, протекающее через замкнутый контур $C$, ограничивающий область $S$ (расход жидкости); 2) циркуляцию $\Gamma$ вектора скорости вдоль контура $C$. Каким уравнениям удовлетворяют функции $u$ и $v$, если жидкость несжимаема и поток безвихревой?

Показать, что поле

— потенциальное и найти потенциал этого поля.

Убедившись в потенциальности поля

найти работу поля вдоль пути, соединяющего в положительном октанте точки $M(1,1,3)$ и $N(2,4,5)$.

Найти потенциал гравитационного поля $\overrightarrow {a}=-\dfrac {m}{r^{3}}\overrightarrow {r}$, создаваемого массой $m$, помещенной в начале координат.

Найти потенциал гравитационного поля, создаваемого системой масс $m_{i}$ $(i=1,2,\ldots ,n)$, помещенных в точках $M_{i}$ $(i=1,2,\ldots ,n)$.

Доказать, что поле $\overrightarrow {a}=f(r)\overrightarrow {r}$, где $f(r)$ — однозначная непрерывная функция, является потенциальным. Найти потенциал этого поля.