Формула Остроградского

Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} x^{3}\, dy\, dz+y^{3}\, dz\, dx+z^{3}\, dx\, dy$, если гладкая поверхность $S$ ограничивает конечный объем $V$ и $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности $S$.

Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} yz\, dy\, dz+zx\, dz\, dx+xy\, dx\, dy$, если гладкая поверхность $S$ ограничивает конечный объем $V$ и $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности $S$.

Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} \frac{x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma }{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\, dS$, если гладкая поверхность $S$ ограничивает конечный объем $V$ и $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности $S$.

Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma \right)dS$, если гладкая поверхность $S$ ограничивает конечный объем $V$ и $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности $S$.

Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл

если гладкая поверхность $S$ ограничивает конечный объем $V$ и $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности $S$.

Доказать, что если $S$ — замкнутая простая поверхность и $l$ — любое постоянное направление, то

где $n$ — внешняя нормаль к поверхности $S$.

Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью $S$, равен

где $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности $S$.

Доказать, что объем конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью $F(x,y,z)=0$ и плоскостью $Ax+By+Cz+D=0$, равен

где $S$ — площадь основания конуса, расположенного в данной плоскости, и $H$ — его высота.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $z=\pm c$ и

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

и плоскостями: $x=0$ и $z=0$ $(a>0)$.

Найти объем тела, ограниченного тором

$(0<a \leq b)$.

Доказать формулу

С помощью формулы Остроградского вычислить поверхностный интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} x^{2}\, dy\, dz+y^{2}\, dz\, dx+z^{2}\, dx\, dy$, где $S$ — внешняя сторона границы куба $0 \leq x \leq a$, $0 \leq y \leq a$, $0 \leq z \leq a$.

С помощью формулы Остроградского вычислить поверхностный интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} x^{3}\, dy\, dz+y^{3}\, dz\, dx+z^{3}\, dx\, dy$, где $S$ — внешняя сторона сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

С помощью формулы Остроградского вычислить поверхностный интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} (x-y+z)\, dy\, dz+(y-z+x)\, dz\, dx+(z-x+y)\, dx\, dy$, где $S$ — внешняя сторона поверхности $\left|x-y+z\right|+\left|y-z+x\right|+\left|z-x+y\right|=1$.

Вычислить $\displaystyle \iint \limits_{S} (x^{2}\cos \alpha +y^{2}\cos \beta +z^{2}\cos \gamma )\, dS$, где $S$ — часть конической поверхности $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ $(0 \leq z \leq h)$ и $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы внешней нормали к этой поверхности.

Доказать формулу

где $S$ — замкнутая поверхность, ограничивающая объем $V$, $n$ — внешняя нормаль к поверхности $S$ в текущей точке ее $(\xi ,\eta ,\zeta )$, $r=\sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}$ и $r$ — радиус-вектор, идущий от точки $(x,y,z)$ к точке $(\xi ,\eta ,\zeta )$.

Вычислить интеграл Гаусса

где $S$ — простая замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая объем $V$, $n$ — внешняя нормаль к поверхности $S$ в точке ее $(\xi ,\eta ,\zeta )$, $r$ — радиус-вектор, соединяющий точку $(x,y,z)$ с точкой $(\xi ,\eta ,\zeta )$ и $r=\sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}$.

Доказать, что если

и $S$ — гладкая поверхность, ограничивающая конечное тело $V$, то справедливы следующие формулы:

Доказать вторую формулу Грина в пространстве

где объем $V$ ограничен поверхностью $S$, $n$ — направление внешней нормали к поверхности $S$ и функции $u=u(x,y,z)$, $v=v(x,y,z)$ дважды дифференцируемы в области $V+S$.

Функция $u=u(x,y,z)$, обладающая непрерывными производными до второго порядка включительно в некоторой области, называется гармонической в этой области, если $\Delta u \equiv \dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0$.

Доказать, что если $u$ — гармоническая функция в конечной замкнутой области $V$, ограниченной гладкой поверхностью $S$, то справедливы формулы:

Доказать, что если функция $u=u(x,y,z)$ — гармоническая в конечной замкнутой области $V$, ограниченной гладкой поверхностью $S$, то

где $r$ — радиус-вектор, идущий из внутренней точки $(x,y,z)$ области $V$ в переменную точку $(\xi ,\eta ,\zeta )$ поверхности $S$, $r=\sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}$, $n$ — вектор внешней нормали к поверхности $S$ в точке $(\xi ,\eta ,\zeta )$.

Доказать, что если $u=u(x,y,z)$ — функция, гармоническая внутри сферы $S$ радиуса $R$ с центром в $(x_{0},y_{0},z_{0})$, то $\displaystyle u(x_{0},y_{0},z_{0})=\frac{1}{4\pi R^{2}}\iint \limits_{S} u(x,y,z)\, dS$ (теорема о среднем).

Доказать, что функция $u=u(x,y,z)$, непрерывная в ограниченной замкнутой области $V$ и гармоническая внутри нее, не может достигать своих наибольшего и наименьшего значений во внутренней точке этой области, если эта функция не является тождественной постоянной (принцип максимума).

Тело $V$ целиком погружено в жидкость. Исходя из закона Паскаля, доказать, что выталкивающая сила жидкости равна весу жидкости в объеме тела и направлена вертикально вверх (закон Архимеда).

Пусть $S_{t}$ — переменная сфера $(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}=t^{2}$ и функция $f(\xi ,\eta ,\zeta )$ непрерывна. Доказать, что функция

удовлетворяет волновому уравнению

и начальным условиям: $u\big|_{t=0}=0$, $\dfrac {\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=f(x,y,z)$.