Формула Стокса

Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{C} y\, dx+z\, dy+x\, dz$, где $C$ — окружность $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x+y+z=0$, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси $Ox$.

Проверить результат непосредственным вычислением.

Вычислить интеграл

взятый по отрезку винтовой линии

от точки $A(a,0,0)$ до точки $B(a,0,h)$.

Пусть $C$ — замкнутый контур, расположенный в плоскости $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$ ($\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ — направляющие косинусы нормали плоскости) и ограничивающий площадку $S$.

Найти

где контур $C$ пробегается в положительном направлении.

Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{C} (y+z)\, dx+(z+x)\, dy+(x+y)\, dz$, где $C$ — эллипс $x=a\sin^{2}t$, $y=2a\sin t\cos t$, $z=a\cos^{2}t$ $(0 \leq t \leq \pi )$, пробегаемый в направлении возрастания параметра $t$.

Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{C} (y-z)\, dx+(z-x)\, dy+(x-y)\, dz$, где $C$ — эллипс $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $\dfrac {x}{a}+\dfrac {z}{h}=1$ $(a>0, h>0)$, пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси $Ox$.

Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{C} (y^{2}+z^{2})\, dx+(x^{2}+z^{2})\, dy+(x^{2}+y^{2})\, dz$, где $C$ — кривая $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rx$, $x^{2}+y^{2}=2rx$ $(0<r<R,\ z>0)$, пробегаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rx$ наименьшая область остается слева.

Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{C} (y^{2}-z^{2})\, dx+(z^{2}-x^{2})\, dy+(x^{2}-y^{2})\, dz$, где $C$ — сечение поверхности куба $0 \leq x \leq a$, $0 \leq y \leq a$, $0 \leq z \leq a$ плоскостью $x+y+z=\dfrac {3}{2}a$, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси $Ox$.

Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{C} y^{2}z^{2}\, dx+x^{2}z^{2}\, dy+x^{2}y^{2}\, dz$, где $C$ — замкнутая кривая $x=a\cos t$, $y=a\cos 2t$, $z=a\cos 3t$, пробегаемая в направлении возрастания параметра $t$.

Доказать, что функция

где $S$ — площадка, ограниченная контуром $C$, $n$ — нормаль к поверхности $S$ и $r$ — радиус-вектор, соединяющий точку пространства $M(x,y,z)$ с текущей точкой $A(\xi ,\eta ,\zeta )$ контура $C$, является потенциалом магнитного поля $H$, создаваемого током $i$, протекающим по контуру $C$ (см. задачу 4340).