Поверхностные интегралы

На сколько отличаются друг от друга поверхностные интегралы

где $S$ — поверхность сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ и $P$ — поверхность октаэдра $\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|=a$, вписанного в эту сферу?

Вычислить $\displaystyle \iint \limits_{S} z\, dS$, где $S$ — часть поверхности $x^{2}+z^{2}=2az$ $(a>0)$, вырезанная поверхностью $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} (x+y+z)\, dS$, где $S$ — поверхность $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $z \geq 0$.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} (x^{2}+y^{2})\, dS$, где $S$ — граница тела $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} \frac{dS}{(1+x+y)^{2}}$, где $S$ — граница тетраэдра $x+y+z \leq 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} \left|xyz\right|\, dS$, где $S$ — часть поверхности $z=x^{2}+y^{2}$, отсекаемая плоскостью $z=1$.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} \frac{dS}{h}$, где $S$ — поверхность эллипсоида и $h$ — расстояние центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу $dS$ поверхности эллипсоида.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} z\, dS$, где $S$ — часть поверхности геликоида $x=u\cos v$, $y=u\sin v$, $z=v$ $(0<u<a;\ 0<v<2\pi )$.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} z^{2}\, dS$, где $S$ — часть поверхности конуса $x=r\cos \varphi \sin \alpha$, $y=r\sin \varphi \sin \alpha$, $z=r\cos \alpha$ $(0 \leq r \leq a;\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi )$ и $\alpha$ — постоянная $\left(0<\alpha <\dfrac {\pi }{2}\right)$.

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} (xy+yz+zx)\, dS$, где $S$ — часть конической поверхности $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, вырезанная поверхностью $x^{2}+y^{2}=2ax$.

Доказать формулу Пуассона

где $S$ есть поверхность сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.

Найти массу параболической оболочки $z=\dfrac {1}{2}(x^{2}+y^{2})$ $(0 \leq z \leq 1)$, плотность которой меняется по закону $\rho =z$.

Найти массу полусферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ $(z \geq 0)$, плотность которой в каждой ее точке $M(x,y,z)$ равна $z/a$.

Найти статические моменты однородной треугольной пластинки $x+y+z=a$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ относительно координатных плоскостей.

Вычислить момент инерции относительно оси $Oz$ однородной сферической оболочки $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ $(z \geq 0)$ плотности $\rho_{0}$.

Вычислить момент инерции однородной конической оболочки $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{a^{2}}-\dfrac {z^{2}}{b^{2}}=0$ $(0 \leq z \leq b)$ плотности $\rho_{0}$ относительно прямой

Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, вырезанной поверхностью $x^{2}+y^{2}=ax$.

Найти координаты центра тяжести однородной поверхности $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ $(x \geq 0;\ y \geq 0;\ x+y \leq a)$.

Найти полярные моменты инерции $\displaystyle I_{0}=\iint \limits_{S} (x^{2}+y^{2}+z^{2})\, dS$ следующих поверхностей $S$:

Найти моменты инерции треугольной пластинки $x+y+z=1$ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ относительно координатных плоскостей.

С какой силой притягивает однородная усеченная коническая поверхность

плотности $\rho_{0}$ материальную точку массы $m$, помещенную в вершине этой поверхности?

Найти потенциал однородной сферической поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ $(S)$ плотности $\rho_{0}$ на точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$, т.е. вычислить интеграл

где $r=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}$.

Вычислить

где

Построить график функции $u=F(t)$.

Вычислить интеграл

где

Вычислить интеграл

где $S$ — переменная сфера $(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}=t^{2}$ и

предполагая, что $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}>a>0$.

Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} (x\, dy\, dz+y\, dz\, dx+z\, dx\, dy)$, где $S$ — внешняя сторона сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} (x)\, dy\, dz+g(y)\, dz\, dx+h(z)\, dx\, dy$, где $f(x)$, $g(y)$, $h(z)$ — непрерывные функции и $S$ — внешняя сторона поверхности параллелепипеда $0 \leq x \leq a$; $0 \leq y \leq b$; $0 \leq z \leq c$.

Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} (y-z)\, dy\, dz+(z-x)\, dz\, dx+(x-y)\, dx\, dy$, где $S$ — внешняя сторона конической поверхности $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ $(0 \leq z \leq h)$.

Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} \left(\frac{dy\, dz}{x}+\frac{dz\, dx}{y}+\frac{dx\, dy}{z}\right)$, где $S$ — внешняя сторона эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$.

Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода $\displaystyle \iint \limits_{S} x^{2}\, dy\, dz+y^{2}\, dz\, dx+z^{2}\, dx\, dy$, где $S$ — внешняя сторона сферы $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$.