Физические приложения криволинейных интегралов

С какой силой притягивает масса $M$, равномерно распределенная по верхней полуокружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $y \geq 0$, материальную точку массы $m$, занимающую положение $(0,0)$?

Вычислить логарифмический интеграл простого слоя

где $\varkappa =\mathrm{const}$ — плотность, $r=\sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}$ и контур $C$ есть окружность $\xi^{2}+\eta^{2}=R^{2}$.

Вычислить в полярных координатах $\rho$ и $\varphi$ логарифмические потенциалы простого слоя

где $r$ — расстояние между точкой $(\rho ,\varphi )$ и переменной точкой $(1,\psi )$ и $m$ — натуральное число.

Вычислить интеграл Гаусса

где $r=\sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}$ — длина вектора $r$, соединяющего точку $A(x,y)$ с переменной точкой $M(\xi ,\eta )$ простого замкнутого гладкого контура $C$, $(r,n)$ — угол между вектором $r$ и внешней нормалью $n$ к кривой $C$ в точке ее $M$.

Вычислить в полярных координатах $\rho$ и $\varphi$ логарифмические потенциалы двойного слоя

где $r$ — расстояние между точкой $A(\rho ,\varphi )$ и переменной точкой $M(1,\psi )$, $(r,n)$ — угол между направлением $AM=r$ и радиусом $OM=n$, проведенным из точки $O(0,0)$, и $m$ — натуральное число.

Дважды дифференцируемая функция $u=u(x,y)$ называется гармонической, если $\Delta u \equiv \dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$. Доказать, что $u$ есть гармоническая функция тогда и только тогда, если

где $C$ — произвольный замкнутый контур и $\dfrac {\partial u}{\partial n}$ — производная по внешней нормали к этому контуру.

Доказать, что

где гладкий контур $C$ ограничивает конечную область $S$.

Доказать, что функция, гармоническая внутри конечной области $S$ и на ее границе $C$, однозначно определяется своими значениями на контуре $C$ (см. задачу 4332).

Доказать вторую формулу Грина на плоскости

где гладкий контур $C$ ограничивает конечную область $S$ и $\dfrac {\partial }{\partial n}$ — производная по направлению внешней нормали к $C$.

Пользуясь второй формулой Грина (см. задачу 4334), доказать, что если $u=u(x,y)$ — гармоническая функция в замкнутой конечной области $S$, то

где $C$ — граница области $S$, $n$ — направление внешней нормали к контуру $C$, $(x,y)$ — внутренняя точка области $S$ и $r=\sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}$ — расстояние между точкой $(x,y)$ и переменной точкой $(\xi ,\eta )$ контура $C$.

Доказать теорему о среднем для гармонической функции $u(M)=u(x,y)$:

где $C$ — окружность радиуса $R$ с центром в точке $M$.

Доказать, что функция $u(x,y)$, гармоническая в ограниченной и замкнутой области и не являющаяся постоянной в этой области, не может достигать своих наибольшего и наименьшего значений во внутренней точке этой области (принцип максимума).

Доказать формулу Римана

где

($a$, $b$, $c$ — постоянные), $P$ и $Q$ — некоторые определенные функции и контур $C$ ограничивает конечную область $S$.

Пусть $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$ — компоненты скорости установившегося потока жидкости. Определить количество жидкости, вытекшее за единицу времени из ограниченной контуром $C$ области $S$ (т.е. разность между количествами вышедшей и вошедшей жидкости). Какому уравнению удовлетворяют функции $u$ и $v$, если жидкость несжимаема и в области $S$ отсутствуют источники и стоки?

Согласно закону Био--Савара электрический ток $i$, протекающий по элементу проводника $ds$, создает в точке пространства $M(x,y,z)$ магнитное поле с напряжением

где $\overrightarrow {r}$ — вектор, соединяющий элемент $ds$ с точкой $M$, и $k$ — коэффициент пропорциональности. Найти проекции $H_{x}$, $H_{y}$, $H_{z}$ напряжения магнитного поля $\overrightarrow {H}$ в точке $M$ для случая замкнутого проводника $C$.