Формула Грина

С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл

где контур $C$ ограничивает конечную область $S$.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл

где $K$ — пробегаемый в положительном направлении контур треугольника $ABC$ с вершинами $A(1,1)$, $B(3,2)$, $C(2,5)$.

Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \oint \limits_{C} xy^{2}\, dy-x^{2}y\, dx$, где $C$ — окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \oint \limits_{C} (x+y)\, dx-(x-y)\, dy$, где $C$ — эллипс $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \oint \limits_{C} e^{x}\left[(1-\cos y)\, dx-(y-\sin y)\, dy\right]$, где $C$ — пробегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий область $0<x<\pi$, $0<y<\sin x$.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \oint \limits_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} e^{-(x^{2}-y^{2})}(\cos 2xy\, dx+\sin 2xy\, dy)$.

На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы

где $AmB$ — прямая, соединяющая точки $A(1,1)$ и $B(2,6)$, и $AnB$ — парабола с вертикальной осью, проходящая через те же точки $A$ и $B$ и начало координат?

Вычислить криволинейный интеграл

где $AmO$ — верхняя полуокружность $x^{2}+y^{2}=ax$, пробегаемая от точки $A(a,0)$ до точки $O(0,0)$.

Вычислить криволинейный интеграл

где $\varphi (y)$ и $\varphi '(y)$ — непрерывные функции и $AmB$ — произвольный путь, соединяющий точки $A(x_{1},y_{1})$ и $B(x_{2},y_{2})$, но ограничивающий вместе с отрезком $AB$ площадь $AmBA$ данной величины $S$.

Определить две дважды непрерывно дифференцируемые функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ так, чтобы криволинейный интеграл

для любого замкнутого контура $C$ не зависел от постоянных $\alpha$ и $\beta$.

Какому условию должна удовлетворять дифференцируемая функция $F(x,y)$, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от вида пути интегрирования?

Вычислить

где $C$ — простой замкнутый контур, не проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную эллипсом $x=a\cos t$, $y=b\sin t$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную астроидой $x=a\cos^{3}t$, $y=b\sin^{3}t$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную параболой $(x+y)^{2}=ax$ $(a>0)$ и осью $Ox$.

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь петли декартова листа $x^{3}+y^{3}=3axy$ $(a>0)$.

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную лемнискатой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную кривой $x^{3}+y^{3}=x^{2}+y^{2}$ и осями координат.

Вычислить площадь, ограниченную кривой $(x+y)^{n+m+1}=ax^{n}y^{m}$ $(a>0, n>0, m>0)$.

Вычислить площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{n}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{n}=1$ $(a>0, b>0, n>0)$ и осями координат.

Вычислить площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{n}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{n}=\left(\dfrac {x}{a}\right)^{n-1}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{n-1}$ $(a>0, b>0, n>1)$ и осями координат.

Вычислить площадь петли кривой $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2n+1}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{2n+1}=c\left(\dfrac {x}{a}\right)^{n}\left(\dfrac {y}{b}\right)^{n}$ $(a>0, b>0, c>0, n>0)$.

Эпициклоидой называется кривая, описываемая точкой подвижной окружности радиуса $r$, катящейся без скольжения по неподвижной окружности радиуса $R$ и остающейся вне нее.

Найти площадь, ограниченную эпициклоидой, предполагая, что отношение $\dfrac {R}{r}=n$ есть целое число $(n \geq 1)$.

Разобрать частный случай $r=R$ (кардиоида).

Гипоциклоидой называется кривая, описываемая точкой подвижной окружности радиуса $r$, катящейся без скольжения по неподвижной окружности радиуса $R$ и остающейся внутри нее. Найти площадь, ограниченную гипоциклоидой, предполагая, что отношение $R/r=n$ есть целое число $(n \geq 2)$.

Разобрать частный случай $r=R/4$ (астроида).

Вычислить площадь части цилиндрической поверхности $x^{2}+y^{2}=ax$, вырезанной поверхностью $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ простого замкнутого контура $C$, расположенного в верхней полуплоскости $y \geq 0$, равен

Вычислить

если $X=ax+by$, $Y=cx+dy$ и простой замкнутый контур $C$ окружает начало координат $(ad-bc \neq 0)$.

Вычислить интеграл $I$ (см. задачу 4321) $\displaystyle I=\frac{1}{2\pi }\oint \limits_{C} \frac{X\, dY-Y\, dX}{X^{2}+Y^{2}}$, если $X=\varphi (x,y)$, $Y=\psi (x,y)$, и простой контур $C$ окружает начало координат, причем кривые $\varphi (x,y)=0$ и $\psi (x,y)=0$ имеют несколько простых точек пересечения внутри контура $C$.

Показать, что если $C$ — замкнутый контур и $l$ — произвольное направление, то

где $n$ — внешняя нормаль к контуру $C$.

Найти значение интеграла

где $C$ — простая замкнутая кривая, ограничивающая конечную область $S$, и $n$ — внешняя нормаль к ней.

Найти

где $S$ — площадь, ограниченная контуром $C$, окружающим точку $(x_{0},y_{0})$, $d(S)$ — диаметр области $S$, $\overrightarrow {n}$ — единичный вектор внешней нормали контура $C$ и $\overrightarrow {F}\left\{ X,Y\right\}$ — вектор, непрерывно дифференцируемый в $S+C$.