Криволинейные интегралы

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} (x+y)\, ds$, где $C$ — контур треугольника с вершинами $O(0,0)$, $A(1,0)$ и $B(0,1)$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} y^{2}\, ds$, где $C$ — арка циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} (x^{2}+y^{2})\, ds$, где $C$ — кривая $x=a(\cos t+t\sin t)$, $y=a(\sin t-t\cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} xy\, ds$, где $C$ — дуга гиперболы $x=a\ch t$, $y=a\sh t$ $(0 \leq t \leq t_{0})$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} (x^{4/3}+y^{4/3})\, ds$, где $C$ — дуга астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\, ds$, где $C$ — выпуклый контур, ограниченный кривыми $r=a$, $\varphi =0$, $\varphi =\dfrac {\pi }{4}$ ($r$ и $\varphi$ — полярные координаты).

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} \left|y\right|\, ds$, где $C$ — дуга лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} x\, ds$, где $C$ — часть логарифмической спирали $r=ae^{k\varphi }$ $(k>0)$, находящаяся внутри круга $r \leq a$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, ds$, где $C$ — окружность $x^{2}+y^{2}=ax$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода $\displaystyle \int \limits_{C} \frac{ds}{y^{2}}$, где $C$ — цепная линия $y=a\ch \dfrac {x}{a}$.

Найти длину дуги пространственной кривой (параметры положительны) $x=3t$, $y=3t^{2}$, $z=2t^{3}$, от $O(0,0,0)$ до $A(3,3,2)$.

Найти длину дуги пространственной кривой (параметры положительны) $x=e^{-t}\cos t$, $y=e^{-t}\sin t$, $z=e^{-t}$, при $0<t<+\infty$.

Найти длину дуги пространственной кривой (параметры положительны) $y=a\arcsin \dfrac {x}{a}$, $z=\dfrac {a}{4}\ln \dfrac {a-x}{a+x}$ от $O(0,0,0)$ до $A(x_{0},y_{0},z_{0})$.

Найти длину дуги пространственной кривой (параметры положительны) $(x-y)^{2}=a(x+y)$, $x^{2}-y^{2}=\dfrac {9}{8}z^{2}$ от $O(0,0,0)$ до $A(x_{0},y_{0},z_{0})$.

Найти длину дуги пространственной кривой (параметры положительны) $x^{2}+y^{2}=cz$, $\dfrac {y}{x}=\tg \dfrac {z}{c}$ от $O(0,0,0)$ до $A(x_{0},y_{0},z_{0})$.

Найти длину дуги пространственной кривой (параметры положительны) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ch \left(\arctg \dfrac {y}{x}\right)=a$ от точки $A(a,0,0)$ до точки $B(x,y,z)$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, взятый вдоль пространственной кривой, $\displaystyle \int \limits_{C} (x^{2}+y^{2}+z^{2})\, ds$, где $C$ — часть винтовой линии $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=bt$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, взятый вдоль пространственной кривой, $\displaystyle \int \limits_{C} x^{2}\, ds$, где $C$ — окружность $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x+y+z=0$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, взятый вдоль пространственной кривой, $\displaystyle \int \limits_{C} z\, ds$, где $C$ — коническая винтовая линия $x=t\cos t$, $y=t\sin t$, $z=t$ $(0 \leq t \leq t_{0})$.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода, взятый вдоль пространственной кривой, $\displaystyle \int \limits_{C} z\, ds$, где $C$ — дуга кривой $x^{2}+y^{2}=z^{3}$, $y^{2}=ax$ от точки $O(0,0,0)$ до точки $A(a,a,a\sqrt{2})$.

Найти массу кривой $x=a\cos t$, $y=b\sin t$ $(a>b>0;\ 0 \leq t \leq 2\pi )$, если линейная плотность ее в точке $(x,y)$ равна $\rho =\left|y\right|$.

Найти массу дуги параболы $y^{2}=2px$ $(0 \leq x \leq p/2)$, если линейная плотность параболы в текущей точке $M(x,y)$ равна $\left|y\right|$.

Найти массу дуги кривой $x=at$, $y=\dfrac {a}{2}t^{2}$, $z=\dfrac {a}{3}t^{3}$ $(0 \leq t \leq 1)$, плотность которой меняется по закону $\rho =\sqrt{2y/a}$.

Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой $y=a\ch \dfrac {x}{a}$ от точки $A(0,a)$ до точки $B(b,h)$.

Определить центр тяжести дуги циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ $(0 \leq t \leq \pi )$.

Найти статические моменты

дуги $C$ астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ $(x \geq 0, y \geq 0)$ относительно осей координат.

Найти момент инерции окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ относительно ее диаметра.

Найти полярные моменты инерции $\displaystyle I_{0}=\int \limits_{C} (x^{2}+y^{2})\, ds$ относительно точки $O(0,0)$ следующих линий:

Найти средний полярный радиус астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$, т.е. число $r_{0}$ $(r_{0}>0)$, определяемое формулой $I_{0}=s \cdot r_{0}^{2}$, где $I_{0}$ — полярный момент инерции астроиды относительно начала координат (см. 4244.3) и $s$ — длина дуги астроиды.

Вычислить координаты центра тяжести контура сферического треугольника $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$; $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$.

Найти координаты центра тяжести однородной дуги $x=e^{t}\cos t$, $y=e^{t}\sin t$, $z=e^{t}$ $(-\infty <t \leq 0)$.

Найти моменты инерции относительно координатных осей одного витка винтовой линии $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=\dfrac {h}{2\pi }t$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го типа $\displaystyle \int \limits_{OA} x\, dy-y\, dx$, где $O$ — начало координат и точка $A$ имеет координаты $(1,2)$, если:

Вычислить $\displaystyle \int \limits_{OA} x\, dy+y\, dx$ для путей а), б) и в), указанных в задаче 4248.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \int \limits_{C} (x^{2}-2xy)\, dx+(y^{2}-2xy)\, dy$, где $C$ — парабола $y=x^{2}$ $(-1 \leq x \leq 1)$.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \int \limits_{C} (x^{2}+y^{2})\, dx+(x^{2}-y^{2})\, dy$, где $C$ — кривая $y=1-\left|1-x\right|$ $(0 \leq x \leq 2)$.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \oint \limits_{C} (x+y)\, dx+(x-y)\, dy$, где $C$ — эллипс $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, пробегаемый против хода часовой стрелки.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \int \limits_{C} (2a-y)\, dx+x\, dy$, где $C$ — арка циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \oint \limits_{C} \frac{(x+y)\, dx-(x-y)\, dy}{x^{2}+y^{2}}$, где $C$ — окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, пробегаемая против хода часовой стрелки.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \oint \limits_{ABCDA} \frac{dx+dy}{\left|x\right|+\left|y\right|}$, где $ABCDA$ — контур квадрата с вершинами $A(1,0)$, $B(0,1)$, $C(-1,0)$, $D(0,-1)$.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \int \limits_{AB} dx\sin y+dy\sin x$, где $AB$ — отрезок прямой между точками $A(0,\pi )$ и $B(\pi ,0)$.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода, взятый вдоль указанной кривой, в направлении возрастания параметра, $\displaystyle \oint \limits_{OmAnO} dy\arctg \frac{y}{x}-dx$, где $OmA$ — отрезок параболы $y=x^{2}$ и $AnO$ — отрезок прямой $y=x$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(-1,2)}^{(2,3)} x\, dy+y\, dx$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(0,1)}^{(3,-4)} x\, dx+y\, dy$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(0,1)}^{(2,3)} (x+y)\, dx+(x-y)\, dy$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(1,-1)}^{(1,1)} (x-y)(dx-dy)$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(0,0)}^{(a,b)} f(x+y)(dx+dy)$, где $f(u)$ непрерывна.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(2,1)}^{(1,2)} \frac{y\, dx-x\, dy}{x^{2}}$ вдоль путей, не пересекающих оси $Oy$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(1,0)}^{(6,8)} \frac{x\, dx+y\, dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ вдоль путей, не проходящих через начало координат.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})} \varphi (x)\, dx+\psi (y)\, dy$, где $\varphi$ и $\psi$ — непрерывные функции.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(-2,-1)}^{(3,0)} (x^{4}+4xy^{3})\, dx+(6x^{2}y^{2}-5y^{4})\, dy$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(0,-1)}^{(1,0)} \frac{x\, dy-y\, dx}{(x-y)^{2}}$ вдоль путей, не пересекающих прямой $y=x$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(1,\pi )}^{(2,\pi )} \left(1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\cos \frac{y}{x}\right)dx+\left(\sin \frac{y}{x}+\frac{y}{x}\cos \frac{y}{x}\right)dy$ вдоль путей, не пересекающих оси $Oy$.

Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл $\displaystyle \int \limits_{(0,0)}^{(a,b)} e^{x}(\cos y\, dx-\sin y\, dy)$.

Доказать, что если $f(u)$ — непрерывная функция и $C$ — кусочно гладкий замкнутый контур, то

Найти первообразную функцию $z$, если $dz=(x^{2}+2xy-y^{2})\, dx+(x^{2}-2xy-y^{2})\, dy$.

Найти первообразную функцию $z$, если $dz=\dfrac {y\, dx-x\, dy}{3x^{2}-2xy+3y^{2}}$.

Найти первообразную функцию $z$, если $dz=\dfrac {(x^{2}+2xy+5y^{2})\, dx+(x^{2}-2xy+y^{2})\, dy}{(x+y)^{3}}$.

Найти первообразную функцию $z$, если $dz=e^{x}\left[e^{y}(x-y+2)+y\right]\, dx+e^{x}\left[e^{y}(x-y)+1\right]\, dy$.

Найти первообразную функцию $z$, если $dz=\dfrac {\partial^{n+m+1}u}{\partial x^{n+1}\partial y^{m}}\, dx+\dfrac {\partial^{n+m+1}u}{\partial x^{n}\partial y^{m+1}}\, dy$.

Найти первообразную функцию $z$, если

где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Доказать, что для криволинейного интеграла справедлива следующая оценка:

где $L$ — длина пути интеграции и $M=\max \sqrt{P^{2}+Q^{2}}$ на дуге $C$.

Оценить интеграл

Доказать, что $\displaystyle \lim_{R \to \infty } I_{R}=0$.

Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой (координатная система предполагается правой), $\displaystyle \int \limits_{C} (y^{2}-z^{2})\, dx+2yz\, dy-x^{2}\, dz$, где $C$ — кривая $x=t$, $y=t^{2}$, $z=t^{3}$ $(0 \leq t \leq 1)$, пробегаемая в направлении возрастания параметра.

Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой (координатная система предполагается правой), $\displaystyle \int \limits_{C} y\, dx+z\, dy+x\, dz$, где $C$ — виток винтовой линии $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=bt$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$, пробегаемый в направлении возрастания параметра.

Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой (координатная система предполагается правой), $\displaystyle \int \limits_{C} (y-z)\, dx+(z-x)\, dy+(x-y)\, dz$, где $C$ — окружность $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $y=x\tg \alpha$ $(0<\alpha <\pi )$, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных $x$.

Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой (координатная система предполагается правой), $\displaystyle \int \limits_{C} y^{2}\, dx+z^{2}\, dy+x^{2}\, dz$, где $C$ — часть кривой Вивиани $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}=ax$ $(z \geq 0, a>0)$, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной части ($x>a$) оси $Ox$.

Вычислить криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной кривой (координатная система предполагается правой), $\displaystyle \int \limits_{C} (y^{2}-z^{2})\, dx+(z^{2}-x^{2})\, dy+(x^{2}-y^{2})\, dz$, где $C$ — контур, ограничивающий часть сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$, пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности остается слева.

Найти криволинейный интеграл от полного дифференциала $\displaystyle \int \limits_{(1,1,1)}^{(2,3,-4)} x\, dx+y^{2}\, dy-z^{3}\, dz$.

Найти криволинейный интеграл от полного дифференциала $\displaystyle \int \limits_{(1,2,3)}^{(6,1,1)} yz\, dx+xz\, dy+xy\, dz$.

Найти криволинейный интеграл от полного дифференциала $\displaystyle \int \limits_{(x_{1},y_{1},z_{1})}^{(x_{2},y_{2},z_{2})} \frac{x\, dx+y\, dy+z\, dz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$, где точка $(x_{1},y_{1},z_{1})$ расположена на сфере $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, а точка $(x_{2},y_{2},z_{2})$ — на сфере $x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2}$ $(a>0, b>0)$.

Найти криволинейный интеграл от полного дифференциала $\displaystyle \int \limits_{(x_{1},y_{1},z_{1})}^{(x_{2},y_{2},z_{2})} \varphi (x)\, dx+\psi (y)\, dy+\chi (z)\, dz$, где $\varphi$, $\psi$, $\chi$ — непрерывные функции.

Найти криволинейный интеграл от полного дифференциала $\displaystyle \int \limits_{(x_{1},y_{1},z_{1})}^{(x_{2},y_{2},z_{2})} f(x+y+z)(dx+dy+dz)$, где $f$ — непрерывная функция.

Найти криволинейный интеграл от полного дифференциала $\displaystyle \int \limits_{(x_{1},y_{1},z_{1})}^{(x_{2},y_{2},z_{2})} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)(x\, dx+y\, dy+z\, dz)$, где $f$ — непрерывная функция.

Найти первообразную функцию $u$, если $du=(x^{2}-2yz)\, dx+(y^{2}-2xz)\, dy+(z^{2}-2xy)\, dz$.

Найти первообразную функцию $u$, если $du=\left(1-\dfrac {1}{y}+\dfrac {y}{z}\right)dx+\left(\dfrac {x}{z}+\dfrac {x}{y^{2}}\right)dy-\dfrac {xy}{z^{2}}\, dz$.

Найти первообразную функцию $u$, если $du=\dfrac {(x+y-z)\, dx+(x+y-z)\, dy+(x+y+z)\, dz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy}$.

Найти работу, производимую силой тяжести, когда точка массы $m$ перемещается из положения $(x_{1},y_{1},z_{1})$ в положение $(x_{2},y_{2},z_{2})$ (ось $Oz$ направлена вертикально вверх).

Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалению материальной точки от начала координат, если эта точка описывает в направлении, противоположном ходу часовой стрелки, положительную четверть эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти работу силы тяготения $F=k/r^{2}$, где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, действующей на единичную массу, когда последняя перемещается из точки $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ в точку $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$.