Банк задач по математике

Задача 4201

Пусть $K(x,y)$ — непрерывная функция в области $R$ $(a \leq x \leq b;\ a \leq y \leq b)$ и

K_{n}(x,y)=\int \limits _{a}^{b} \int \limits _{a}^{b} \cdots \int \limits _{a}^{b} K(x,t_{1})K(t_{1},t_{2})\cdots K(t_{n},y)\, dt_{1}\, dt_{2}\cdots dt_{n}.

Доказать, что

K_{n+m+1}(x,y)=\int \limits _{a}^{b} K_{n}(x,t)K_{m}(t,y)\, dt.

?

Задача 4202

Пусть $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ — непрерывная функция в области $0 \leq x_{i} \leq x$ $(i=1,2,\ldots ,n)$ . Доказать равенство

\int \limits _{0}^{x} dx_{1} \int \limits _{0}^{x_{1}} dx_{2} \cdots \int \limits _{0}^{x_{n-1}} f\, dx_{n} = \int \limits _{0}^{x} dx_{n} \int \limits _{x_{n}}^{x} dx_{n-1} \cdots \int \limits _{x_{2}}^{x} f\, dx_{1} \quad (n \geq 2).

?

Задача 4203

Доказать, что

\int \limits _{0}^{t} dt_{1} \int \limits _{0}^{t_{1}} dt_{2} \cdots \int \limits _{0}^{t_{n-1}} f(t_{1})f(t_{2})\cdots f(t_{n})\, dt_{n} = \frac{1}{n!}\left\{ \int \limits _{0}^{t} f(\tau )\, d\tau \right\} ^{n},

где $f$ — непрерывная функция.

?

Задача 4204

(а)(б)

Вычислить следующие многократные интегралы:

?

(а)

$\displaystyle \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} \cdots \int \limits_{0}^{1} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\, dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n}$ ;

(б)

$\displaystyle \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} \cdots \int \limits_{0}^{1} (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{2}\, dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n}$ .

Задача 4205

Вычислить $\displaystyle I_{n}=\iint \limits_{\substack {x_{1}>0,\ x_{2}>0,\ \ldots ,\ x_{n}>0 \\ x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n} \leq a}} \cdots \int dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n}$ .

?

Задача 4206

Вычислить $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx_{1} \int \limits_{0}^{x_{1}} dx_{2} \cdots \int \limits_{0}^{x_{n-1}} x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\, dx_{n}$ .

?

Задача 4207

Вычислить $\displaystyle \iint \limits_{\substack {x_{1}>0,\ x_{2}>0,\ \ldots ,\ x_{n}>0 \\ x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}<1}} \cdots \int \sqrt{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}\, dx_{1}\cdots dx_{n}$ .

?

Задача 4208

Найти объем $n$ -мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями

a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\ldots +a_{in}x_{n}=\pm h_{i} \quad (i=1,2,\ldots ,n),

если $\Delta =\left|a_{ij}\right| \neq 0$ .

?

Задача 4209

Найти объем $n$ -мерной пирамиды

\frac{x_{1}}{a_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}}+\ldots +\frac{x_{n}}{a_{n}} \leq 1, \quad x_{i} \geq 0 \quad (i=1,2,\ldots ,n)

$(a_{i}>0,\ i=1,2,\ldots ,n)$ .

?

Задача 4210

Найти объем $n$ -мерного конуса, ограниченного поверхностями

\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}+\ldots +\frac{x_{n-1}^{2}}{a_{n-1}^{2}}=\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}, \quad x_{n}=a_{n}.

?

Задача 4211

Найти объем $n$ -мерного шара $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2} \leq a^{2}$ .

?

Задача 4212

Найти $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } \cdots \int x_{n}^{2}\, dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n}$ , где область $\Omega$ определяется неравенствами

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n-1}^{2} \leq a^{2}, \quad -\frac{h}{2} \leq x_{n} \leq \frac{h}{2}.

?

Задача 4213

Вычислить

\iint \limits _{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<1} \cdots \int \frac{dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n}}{\sqrt{1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}}}.

?

Задача 4214

Доказать равенство

\int \limits _{0}^{x} dx_{1} \int \limits _{0}^{x_{1}} dx_{2} \cdots \int \limits _{0}^{x_{n-1}} f(x_{n})\, dx_{n} = \int \limits _{0}^{x} f(u)\frac{(x-u)^{n-1}}{(n-1)!}\, du.

?

Задача 4215

Доказать равенство

\int \limits _{0}^{x} x_{1}\, dx_{1} \int \limits _{0}^{x_{1}} x_{2}\, dx_{2} \cdots \int \limits _{0}^{x_{n}} f(x_{n+1})\, dx_{n+1} = \frac{1}{2^{n}n!}\int \limits _{0}^{x} (x^{2}-u^{2})^{n}f(u)\, du.

?

Задача 4216

Доказать формулу Дирихле

\iint \limits _{\substack {x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}>0 \\ x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}<1}} \cdots \int x_{1}^{p_{1}-1}x_{2}^{p_{2}-1}\cdots x_{n}^{p_{n}-1}\, dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n} = \frac{\Gamma (p_{1})\Gamma (p_{2})\cdots \Gamma (p_{n})}{\Gamma (p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+1)}

$(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}>0)$ .

?

Задача 4217

Доказать формулу Лиувилля

\iint \limits _{\substack {x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}>0 \\ x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}<1}} \cdots \int f(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})x_{1}^{p_{1}-1}x_{2}^{p_{2}-1}\cdots x_{n}^{p_{n}-1}\, dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n} =

=\frac{\Gamma (p_{1})\Gamma (p_{2})\cdots \Gamma (p_{n})}{\Gamma (p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n})}\int \limits _{0}^{1} f(u)u^{p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}-1}\, du

$(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}>0)$ , где $f(u)$ — непрерывная функция.

?

Задача 4218

Привести к однократному интегралу $n$ -кратный интеграл $(n \geq 2)$

\iint \limits _{\Omega } \cdots \int f\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}\right)\, dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n},

распространенный по области $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2} \leq R^{2}$ , где $f(u)$ — непрерывная функция.

?

Задача 4219

Вычислить потенциал на себя однородного шара радиуса $R$ и плотности $\rho_{0}$ , т.е. найти интеграл

u=\frac{\rho _{0}^{2}}{2} \iiint \limits _{\substack {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} \leq R^{2} \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2} \leq R^{2}}} \cdots \int \frac{dx_{1}\, dy_{1}\, dz_{1}\, dx_{2}\, dy_{2}\, dz_{2}}{r_{1,2}},

где $r_{1,2}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}$ .

?

Задача 4220

Вычислить $n$ -кратный интеграл

\int \limits _{-\infty }^{+\infty } \int \limits _{-\infty }^{+\infty } \cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty } e^{-\left\{ \sum _{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j}+2\sum _{i=1}^{n} b_{i}x_{i}+c\right\} }\, dx_{1}\, dx_{2}\cdots dx_{n},

если $\displaystyle \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j}$ $(a_{ij}=a_{ji})$ — положительно определенная квадратичная форма.

?

Многократные интегралы