Двойные интегралы

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\substack {0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1}} xy\, dx\, dy$, рассматривая его как предел интегральной суммы, разбивая область интегрирования на квадраты прямыми

и выбирая значение подынтегральной функции в правых верхних вершинах этих квадратов.

Составить нижнюю $S$ и верхнюю $\overline{S}$ интегральные суммы для функции $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ в области $1 \leq x \leq 2$, $1 \leq y \leq 3$, разбивая последнюю на прямоугольники прямыми

Чему равны пределы этих сумм при $n \to \infty$?

Приближенно вычислить интеграл

аппроксимируя область интегрирования системой вписанных квадратов, вершины которых $A_{ij}$ находятся в целочисленных точках, и выбирая значения подынтегральной функции в вершинах этих квадратов, наиболее удаленных от начала координат. Сравнить полученный результат с точным значением интеграла.

Приближенно вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} \sqrt{x+y}\, dS$, где $S$ — треугольник, ограниченный прямыми $x=0$, $y=0$ и $x+y=1$, разбив область $S$ прямыми $x=\mathrm{const}$, $y=\mathrm{const}$, $x+y=\mathrm{const}$ на четыре равных треугольника и выбрав значение подынтегральной функции в центрах тяжестей этих треугольников.

Область $S\left\{ x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ разбита на конечное число квадрируемых частей $\Delta S_{i}$ $(i=1,2,\ldots ,n)$ диаметра меньше чем $\delta$. При каком значении $\delta$ будет обеспечено выполнение неравенства

где $(x_{i},y_{i}) \in \Delta S_{i}$?

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{1} (x+y)\, dy$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{x^{2}}^{x} xy^{2}\, dy$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int \limits_{0}^{a} r^{2}\sin^{2}\varphi \, dr$.

Доказать равенство

если $R$ — прямоугольник: $a \leq x \leq A$, $b \leq y \leq B$, и функции $X(x)$ и $Y(y)$ непрерывны на соответствующих сегментах.

Вычислить $\displaystyle I=\int \limits_{a}^{A} dx \int \limits_{b}^{B} f(x,y)\, dy$, если $f(x,y)=F''_{xy}(x,y)$.

Пусть $f(x)$ — непрерывная функция в промежутке $a \leq x \leq b$. Доказать неравенство

где знак равенства имеет место лишь, если $f(x)=\mathrm{const}$.

Какой знак имеют интегралы:

Найти среднее значение функции $f(x,y)=\sin^{2}x\sin^{2}y$ в квадрате: $0 \leq x \leq \pi$, $0 \leq y \leq \pi$.

Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл

Найти среднее значение квадрата расстояния точки круга $(x-a)^{2}+(y-b)^{2} \leq R^{2}$ от начала координат.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если $\Omega$ — треугольник с вершинами $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(1,1)$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если $\Omega$ — треугольник с вершинами $O(0,0)$, $A(2,1)$, $B(-2,1)$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если $\Omega$ — трапеция с вершинами $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(1,2)$, $C(0,1)$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если $\Omega$ — круг $x^{2}+y^{2} \leq 1$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если $\Omega$ — круг $x^{2}+y^{2} \leq y$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если $\Omega$ — параболический сегмент, ограниченный кривыми $y=x^{2}$ и $y=1$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если $\Omega$ — круговое кольцо $1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4$.

Доказать формулу Дирихле

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{2} dx \int \limits_{x}^{2x} f(x,y)\, dy$.

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{-6}^{2} dx \int \limits_{(x^{2}/4)-1}^{2-x} f(x,y)\, dy$.

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{x^{3}}^{x^{2}} f(x,y)\, dy$.

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} dx \int \limits_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{1-x^{2}} f(x,y)\, dy$.

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{1}^{2} dx \int \limits_{2-x}^{\sqrt{2x-x^{2}}} f(x,y)\, dy$.

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{2a} dx \int \limits_{\sqrt{2ax-x^{2}}}^{\sqrt{2ax}} f(x,y)\, dy \quad (a>0)$.

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{1}^{e} dx \int \limits_{0}^{\ln x} f(x,y)\, dy$.

Изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi } dx \int \limits_{0}^{\sin x} f(x,y)\, dy$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } xy^{2}\, dx\, dy$, если область $\Omega$ ограничена параболой $y^{2}=2px$ и прямой $x=p/2$ $(p>0)$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } \frac{dx\, dy}{\sqrt{2a-x}}$ $(a>0)$, если область $\Omega$ ограничена кратчайшей дугой окружности с центром в точке $(a,a)$ радиуса $a$, касающейся осей координат, и осями координат.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } \left|xy\right|\, dx\, dy$, если $\Omega$ — круг радиуса $a$ с центром в начале координат.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } (x^{2}+y^{2})\, dx\, dy$, если $\Omega$ — параллелограмм со сторонами $y=x$, $y=x+a$, $y=a$ и $y=3a$ $(a>0)$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } y^{2}\, dx\, dy$, если $\Omega$ ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi )$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования, если $\Omega$ — круг $x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования, если $\Omega$ — круг $x^{2}+y^{2} \leq ax$ $(a>0)$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования, если $\Omega$ — кольцо $a^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq b^{2}$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования, если $\Omega$ — треугольник $0 \leq x \leq 1$; $0 \leq y \leq 1-x$.

В двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$ перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования, если $\Omega$ — параболический сегмент $-a \leq x \leq a$; $x^{2}/a \leq y \leq a$.

В каком случае после перехода к полярным координатам пределы интегрирования будут постоянные?

Перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{1} f(x,y)\, dy$.

Перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\, dy$.

Перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{2} dx \int \limits_{x}^{x\sqrt{3}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\, dy$.

Перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dx \int \limits_{0}^{x^{2}} f(x,y)\, dy$.

Перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi$, полагая $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$, и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ $(x \geq 0)$.

Предполагая, что $r$ и $\varphi$ — полярные координаты, изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{-\pi /2}^{\pi /2} d\varphi \int \limits_{0}^{a\cos \varphi } f(\varphi ,r)\, dr$ $(a>0)$.

Предполагая, что $r$ и $\varphi$ — полярные координаты, изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2} d\varphi \int \limits_{0}^{a\sqrt{\sin 2\varphi }} f(\varphi ,r)\, dr$ $(a>0)$.

Предполагая, что $r$ и $\varphi$ — полярные координаты, изменить порядок интегрирования в интеграле $\displaystyle \int \limits_{a}^{0} d\varphi \int \limits_{0}^{\varphi } f(\varphi ,r)\, dr$ $(0<a<2\pi )$.

Перейдя к полярным координатам, заменить двойной интеграл однократным: $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 1} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\, dx\, dy$.

Перейдя к полярным координатам, заменить двойной интеграл однократным: $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\, dx\, dy$, $\Omega =\left\{ \left|y\right| \leq \left|x\right|;\ \left|x\right| \leq 1\right\}$.

Перейдя к полярным координатам, заменить двойной интеграл однократным: $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq x} f\left(\frac{y}{x}\right)\, dx\, dy$.

Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq a^{2}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dx\, dy$.

Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\pi^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\pi^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dx\, dy$.

Квадрат $S\left\{ a<x<a+h,\ b<y<b+h\right\}$ $(a>0, b>0)$ с помощью системы функций

преобразуется в область $S'$. Найти отношение площади области $S'$ к площади $S$. Чему равен предел этого отношения при $h \to 0$?

Вместо $x$ и $y$ ввести новые переменные $u$ и $v$ и определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \int \limits_{a}^{b} dx \int \limits_{\alpha x}^{\beta x} f(x,y)\, dy$ $(0<a<b;\ 0<\alpha <\beta )$, если $u=x$, $v=y/x$.

Вместо $x$ и $y$ ввести новые переменные $u$ и $v$ и определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{2} dx \int \limits_{1-x}^{2-x} f(x,y)\, dy$, если $u=x+y$, $v=x-y$.

Вместо $x$ и $y$ ввести новые переменные $u$ и $v$ и определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(x,y)\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена кривыми $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$, $x=0$, $y=0$ $(a>0)$, если $x=u\cos^{4}v$, $y=u\sin^{4}v$.

Показать, что замена переменных

переводит треугольник $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1-x$ в единичный квадрат $0 \leq \xi \leq 1$, $0 \leq \eta \leq 1$.

При какой замене переменных криволинейный четырехугольник, ограниченный кривыми $xy=1$, $xy=2$, $x-y+1=0$, $x-y-1=0$ $(x>0, y>0)$, перейдет в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат?

Произведя соответствующую замену переменных, свести двойной интеграл к однократному: $\displaystyle \iint \limits_{\left|x\right|+\left|y\right| \leq 1} f(x+y)\, dx\, dy$.

Произведя соответствующую замену переменных, свести двойной интеграл к однократному: $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 1} f(ax+by+c)\, dx\, dy$ $(a^{2}+b^{2} \neq 0)$.

Произведя соответствующую замену переменных, свести двойной интеграл к однократному: $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } f(xy)\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена кривыми $xy=1$, $xy=2$, $y=x$, $y=4x$ $(x>0, y>0)$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } (x+y)\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена кривой $x^{2}+y^{2}=x+y$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\left|x\right|+\left|y\right| \leq 1} (\left|x\right|+\left|y\right|)\, dx\, dy$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена эллипсом $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 1} (x^{2}+y^{2})\, dx\, dy$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } (x+y)\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена кривыми $y^{2}=2x$, $x+y=4$, $x+y=12$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\Omega } xy\, dx\, dy$, где область $\Omega$ ограничена кривыми $xy=1$, $x+y=5/2$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\substack {0 \leq x \leq \pi \\ 0 \leq y \leq \pi }} \left|\cos (x+y)\right|\, dx\, dy$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 1} \left|\frac{x+y}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right|\, dx\, dy$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{\substack {\left|x\right| \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 2}} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|}\, dx\, dy$.

Вычислить интеграл от разрывной функции $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq 4} \operatorname {sign}(x^{2}-y^{2}+2)\, dx\, dy$.

Вычислить интеграл от разрывной функции $\displaystyle \iint \limits_{\substack {0 \leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq 2}} \left[x+y\right]\, dx\, dy$.

Вычислить интеграл от разрывной функции $\displaystyle \iint \limits_{x^{2} \leq y \leq 4} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]}\, dx\, dy$.

Доказать, что $\displaystyle \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq a^{2}} x^{m}y^{n}\, dx\, dy=0$, если $m$ и $n$ — целые положительные числа и по меньшей мере одно из них нечетно.

Найти $\displaystyle \lim_{\rho \to 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq \rho^{2}} f(x,y)\, dx\, dy$, где $f(x,y)$ — непрерывная функция.

Найти $F'(t)$, если $\displaystyle F(t)=\iint \limits_{\substack {0 \leq x \leq t \\ 0 \leq y \leq t}} e^{tx/y^{2}}\, dx\, dy$.

Найти $F'(t)$, если $\displaystyle F(t)=\iint \limits_{(x-t)^{2}+(y-t)^{2} \leq 1} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dx\, dy$.

Найти $F'(t)$, если $\displaystyle F(t)=\iint \limits_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}} f(x,y)\, dx\, dy$ $(t>0)$.

Доказать, что если $f(x,y)$ непрерывна, то функция

удовлетворяет уравнению

Пусть линии уровня функции $f(x,y)$ — простые замкнутые кривые и область $S(v_{1},v_{2})$ ограничена кривыми $f(x,y)=v_{1}$ и $f(x,y)=v_{2}$. Доказать, что

где $F(v)$ — площадь, ограниченная кривыми $f(x,y)=v_{1}$ и $f(x,y)=v$.