Экстремум функции нескольких переменных

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x^{2}+(y-1)^{2}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x^{2}-(y-1)^{2}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=(x-y+1)^{2}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x^{2}-xy+y^{2}-2x+y$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x^{2}y^{3}(6-x-y)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x^{3}+y^{3}-3xy$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x^{4}+y^{4}-x^{2}-2xy-y^{2}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=2x^{4}+y^{4}-x^{2}-2y^{2}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=xy+\dfrac {50}{x}+\dfrac {20}{y}$ $(x>0,\ y>0)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=xy\sqrt{1-\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}$ $(a>0,\ b>0)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=\dfrac {ax+by+c}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}}$ $(a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 0)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=e^{2x+3y}(8x^{2}-6xy+3y^{2})$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=e^{x^{2}-y}(5-2x+y)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=(5x+7y-25)e^{-(x^{2}+xy+y^{2})}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x^{2}+xy+y^{2}-4\ln x-10\ln y$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=\sin x+\cos y+\cos (x-y)$ $\left(0 \leqslant x \leqslant \dfrac {\pi }{2};\ 0 \leqslant y \leqslant \dfrac {\pi }{2}\right)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=\sin x\sin y\sin (x+y)$ $(0 \leqslant x \leqslant \pi ;\ 0 \leqslant y \leqslant \pi )$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x-2y+\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}+3\operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=xy\ln (x^{2}+y^{2})$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=x+y+4\sin x\sin y$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $z=(x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+4y-6z$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}+12xy+2z$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=x+\dfrac {y^{2}}{4x}+\dfrac {z^{2}}{y}+\dfrac {2}{z}$ $(x>0,\ y>0,\ z>0)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=xy^{2}z^{3}(a-x-2y-3z)$ $(a>0)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=\dfrac {a^{2}}{x}+\dfrac {x^{2}}{y}+\dfrac {y^{2}}{z}+\dfrac {z^{2}}{b}$ $(x>0,\ y>0,\ z>0,\ a>0,\ b>0)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=\sin x+\sin y+\sin z-\sin (x+y+z)$ $(0 \leqslant x \leqslant \pi ;\ 0 \leqslant y \leqslant \pi ;\ 0 \leqslant z \leqslant \pi )$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=x_{1}x_{2}^{2}\ldots x_{n}^{n}(1-x_{1}-2x_{2}-\ldots -nx_{n})$ $(x_{1}>0,\ x_{2}>0,\ldots ,x_{n}>0)$.

Исследовать на экстремум следующую функцию нескольких переменных: $u=x_{1}+\dfrac {x_{2}}{x_{1}}+\dfrac {x_{3}}{x_{2}}+\ldots +\dfrac {x_{n}}{x_{n-1}}+\dfrac {2}{x_{n}}$ $(x_{i}>0,\ i=1,2,\ldots ,n)$.

Задача Гюйгенса. Между двумя положительными числами $a$ и $b$ вставить $n$ чисел $x_{1}$, $x_{2}$, , $x_{n}$ так, чтобы величина дроби

была наибольшей.

Найти экстремальные значения заданной неявно функции $z$ от переменных $x$ и $y$: $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+2y-4z-10=0$.

Найти экстремальные значения заданной неявно функции $z$ от переменных $x$ и $y$: $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$.

Найти экстремальные значения заданной неявно функции $z$ от переменных $x$ и $y$: $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} = a^{2}(x^{2}+y^{2}-z^{2})$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $z=xy$, если $x+y=1$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $z=\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}$, если $x^{2}+y^{2}=1$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $z=x^{2}+y^{2}$, если $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}=1$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $z=Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}$, если $x^{2}+y^{2}=1$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $z=x^{2}+12xy+2y^{2}$, если $4x^{2}+y^{2}=25$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $z=\cos^{2}x+\cos^{2}y$, если $x-y=\dfrac {\pi }{4}$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=x-2y+2z$, если $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=x^{m}y^{n}z^{p}$, если $x+y+z=a$ $(m>0,\ n>0,\ p>0,\ a>0)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, если $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ $(a>b>c>0)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=xy^{2}z^{3}$, если $x+2y+3z=a$ $(x>0,\ y>0,\ z>0,\ a>0)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=xyz$, если $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, $x+y+z=0$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=xy+yz$, если $x^{2}+y^{2}=2$, $y+z=2$ $(x>0,\ y>0,\ z>0)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=\sin x\sin y\sin z$, если $x+y+z=\dfrac {\pi }{2}$ $(x>0,\ y>0,\ z>0)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}$, если $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =0$ $(a>b>c>0,\ \cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta +\cos^{2}\gamma =1)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}$, если $Ax+By+Cz=0$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$, $\dfrac {\xi }{\cos \alpha }=\dfrac {\eta }{\cos \beta }=\dfrac {\zeta }{\cos \gamma }$, где $\cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta +\cos^{2}\gamma =1$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}$, если $\dfrac {x_{1}}{a_{1}}+\dfrac {x_{2}}{a_{2}}+\ldots +\dfrac {x_{n}}{a_{n}}=1$ $(a_{i}>0;\ i=1,2,\ldots ,n)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\ldots +x_{n}^{p}$ $(p>1)$, если $x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=a$ $(a>0)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=\dfrac {\alpha_{1}}{x_{1}}+\dfrac {\alpha_{2}}{x_{2}}+\ldots +\dfrac {\alpha_{n}}{x_{n}}$, если $\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}+\ldots +\beta_{n}x_{n}=1$ $(\alpha_{i}>0,\ \beta_{i}>0,\ x_{i}>0,\ i=1,2,\ldots ,n)$.

Найти точки условного экстремума следующей функции: $u=x_{1}^{\alpha_{1}}x_{2}^{\alpha_{2}}\ldots x_{n}^{\alpha_{n}}$, если $x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=a$ $(a>0,\ \alpha_{i}>1,\ i=1,2,\ldots ,n)$.

Найти экстремум квадратичной формы

при условии

Доказать неравенство

если $n>1$ и $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$.

Доказать неравенство Гёльдера

$\left(a_{i}>0,\ x_{i}>0,\ i=1,2,\ldots ,n;\ k>1,\ \dfrac {1}{k}+\dfrac {1}{k’}=1\right)$.

Доказать неравенство Адамара для определителя $A=\left|a_{ij}\right|$ порядка $n$:

Определить наибольшее (sup) и наименьшее (inf) значения следующей функции в указанной области: $z=x-2y-3$, если $0 \leqslant x \leqslant 1$, $0 \leqslant y \leqslant 1$, $0 \leqslant x+y \leqslant 1$.

Определить наибольшее (sup) и наименьшее (inf) значения следующей функции в указанной области: $z=x^{2}+y^{2}-12x+16y$, если $x^{2}+y^{2} \leqslant 25$.

Определить наибольшее (sup) и наименьшее (inf) значения следующей функции в указанной области: $z=x^{2}-xy+y^{2}$, если $\left|x\right|+\left|y\right| \leqslant 1$.

Определить наибольшее (sup) и наименьшее (inf) значения следующей функции в указанной области: $u=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$, если $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 100$.

Определить наибольшее (sup) и наименьшее (inf) значения следующей функции в указанной области: $u=x+y+z$, если $x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1$.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) функции

в области $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Показать, что функция $z=(1+e^{y})\cos x-ye^{y}$ имеет бесконечное множество максимумов и ни одного минимума.

Является ли достаточным для минимума функции $f(x,y)$ в точке $M_{0}(x_{0},y_{0})$, чтобы эта функция имела минимум вдоль каждой прямой, проходящей через точку $M_{0}$?

Рассмотреть пример $f(x,y)=(x-y^{2})(2x-y^{2})$.

Данное положительное число $a$ разложить на $n$ положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных величин их была наименьшей.

Данное положительное число $a$ разложить на $n$ слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Данное положительное число $a$ разложить на $n$ положительных множителей так, чтобы сумма заданных положительных степеней их была наименьшей.

На плоскости даны $n$ материальных точек $P_{1}(x_{1},y_{1})$, $P_{2}(x_{2},y_{2})$, , $P_{n}(x_{n},y_{n})$ с соответственно равными массами $m_{1}$, $m_{2}$, , $m_{n}$.

При каком положении точки $P(x,y)$ момент инерции системы относительно этой точки будет наименьшим?

При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости $V$ имеет наименьшую поверхность?

При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, поверхность которой равна $S$, имеет наибольшую вместимость?

На сфере $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ найти точку, сумма квадратов расстояний которой от $n$ данных точек $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $(i=1,2,\ldots ,n)$ была бы минимальной.

Тело состоит из прямого кругового цилиндра, завершенного прямым круговым конусом. При данной полной поверхности тела, равной $Q$, определить его измерения так, чтобы объем тела был бы наибольшим.

Тело, объем которого равен $V$, представляет собой прямой прямоугольный параллелепипед, нижнее и верхнее основания которого завершаются одинаковыми правильными четырехугольными пирамидами. При каком угле наклона боковых граней пирамид к их основаниям полная поверхность тела будет минимальной?

Найти прямоугольник данного периметра $2p$, который вращением вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.

Найти треугольник данного периметра $2p$, который вращением вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.

В полушар радиуса $R$ вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

В данный прямой круговой конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

В эллипсоид $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

В прямой круговой конус, образующая которого $l$ наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$, вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшей полной поверхностью.

В сегмент эллиптического параболоида $\dfrac {z}{c}=\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}$, $z=c$, вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

Найти кратчайшее расстояние точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ от плоскости $Ax+By+Cz+D=0$.

Определить кратчайшее расстояние $d$ между двумя прямыми в пространстве

Найти кратчайшее расстояние между параболой $y=x^{2}$ и прямой $x-y-2=0$.

Найти полуоси центральной кривой второго порядка

Найти полуоси центральной поверхности второго порядка

Определить площадь эллипса, образованного пересечением цилиндра

плоскостью $Ax+By+Cz=0$.

Определить площадь сечения эллипсоида

плоскостью $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =0$, где $\cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta +\cos^{2}\gamma =1$.

Согласно принципу Ферма свет, исходящий из точки $A$ и попадающий в точку $B$, распространяется по той кривой, для прохождения которой требуется минимум времени.

Предполагая, что точки $A$ и $B$ расположены в различных оптических средах, разделенных плоскостью, причем скорость распространения света в первой среде равна $v_{1}$, а во второй $v_{2}$, вывести закон преломления света.

При каком угле падения отклонение светового луча (т.е. угол между падающим и выходящим лучами), проходящего через призму с преломляющим углом $\alpha$ и показателем преломления $n$, будет наименьшим? Определить это наименьшее отклонение.

Переменные величины $x$ и $y$ удовлетворяют линейному уравнению $y=ax+b$, коэффициенты которого требуется определить. В результате ряда равноточных измерений для величин $x$ и $y$ получены значения $x_{i}$, $y_{i}$ $(i=1,2,\ldots ,n)$.

Пользуясь способом наименьших квадратов, определить наивероятнейшие значения коэффициентов $a$ и $b$.

На плоскости дана система $n$ точек $M_{i}(x_{i},y_{i})$ $(i=1,2,\ldots ,n)$.

При каком положении прямой

сумма квадратов отклонений данных точек от этой прямой будет наименьшей?

Функцию $x^{2}$ на интервале $(1,3)$ приближенно заменить линейной функцией $ax+b$ так, чтобы абсолютное отклонение

было минимальным.