Геометрические приложения

Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в данной точке к следующей кривой: $x=a\cos \alpha \cos t$, $y=a\sin \alpha \cos t$, $z=a\sin t$; в точке $t=t_{0}$.

Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в данной точке к следующей кривой: $x=a\sin^{2}t$, $y=b\sin t\cos t$, $z=c\cos^{2}t$; в точке $t=\dfrac {\pi }{4}$.

Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в данной точке к следующей кривой: $y=x$, $z=x^{2}$; в точке $M(1,1,1)$.

Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в данной точке к следующей кривой: $x^{2}+z^{2}=10$, $y^{2}+z^{2}=10$; в точке $M(1,1,3)$.

Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в данной точке к следующей кривой: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$, $x+y+z=0$; в точке $M(1,-2,1)$.

На кривой $x=t$, $y=t^{2}$, $z=t^{3}$ найти точку, касательная в которой параллельна плоскости $x+2y+z=4$.

Доказать, что касательная к винтовой линии $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=bt$ образует постоянный угол с осью $Oz$.

Доказать, что кривая

пересекает все образующие конуса $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ под одним и тем же углом.

Доказать, что локсодрома

где $\varphi$ — долгота, $\psi$ — широта точки сферы, пересекает все меридианы сферы под постоянным углом.

Найти тангенс угла, образованного касательной в точке $M_{0}(x_{0},y_{0})$ к кривой

где $f$ — дифференцируемая функция, с плоскостью $Oxy$.

Найти производную функции

в точке $M(1,2,-2)$ в направлении касательной в этой точке к кривой

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $z=x^{2}+y^{2}$; в точке $M_{0}(1,2,5)$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=169$; в точке $M_{0}(3,4,12)$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $z=\operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$; в точке $M_{0}\left(1,1,\dfrac {\pi }{4}\right)$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1$; в точке $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $z=y+\ln \dfrac {x}{z}$; в точке $M_{0}(1,1,1)$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $2^{x/z}+2^{y/z}=8$; в точке $M_{0}(2,2,1)$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $x=a\cos \psi \cos \varphi$, $y=b\cos \psi \sin \varphi$, $z=c\sin \psi$; в точке $M_{0}(\varphi_{0},\psi_{0})$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $x=r\cos \varphi$, $y=r\sin \varphi$, $z=r\operatorname {ctg}\alpha$; в точке $M_{0}(\varphi_{0},r_{0})$.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующей поверхности: $x=u\cos v$, $y=u\sin v$, $z=av$; в точке $M_{0}(u_{0},v_{0})$.

Найти предельное положение касательной плоскости к поверхности:

когда точка касания $M(u,v)$ $(u \neq v)$ неограниченно приближается к точке $M_{0}(u_{0},u_{0})$ линии края $u=v$ поверхности.

На поверхности $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+2xy+2xz+4yz = 8$ найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.

В какой точке эллипсоида

нормаль к нему образует равные углы с осями координат?

К поверхности $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=21$ провести касательные плоскости, параллельные плоскости

Доказать, что касательные плоскости к поверхности $xyz=a^{3}$ $(a>0)$ образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.

Доказать, что касательные плоскости к поверхности

отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.

Доказать, что касательные плоскости к конусу

проходят через его вершину.

Доказать, что нормали к поверхности вращения

пересекают ось вращения.

Найти проекции эллипсоида

на координатные плоскости.

Квадрат $\left\{ 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1\right\}$ разбит на конечное число частей $\sigma$ диаметра $\leqslant \delta$. Оценить сверху число $\delta$, если направления нормалей к поверхности

в любых точках $P(x,y)$ и $P_{1}(x_{1},y_{1})$, принадлежащих одной и той же части $\sigma$, отличаются меньше чем на $1^{\circ }$.

Пусть

— уравнение поверхности и $\varphi (P_{1},P)$ — угол между нормалями к поверхности (1) в точках $P(x,y) \in D$ и $P_{1}(x_{1},y_{1}) \in D$.

Доказать, что если область $D$ ограничена и замкнута и функция $f(x,y)$ имеет ограниченные производные 2-го порядка в области $D$, то справедливо неравенство Ляпунова

где $C$ — постоянная и $\rho (P_{1},P)$ — расстояние между точками $P$ и $P_{1}$.

Под каким углом пересекается цилиндр $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ с поверхностью $bz=xy$ в общей точке $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$?

Показать, что координатные поверхности сферических координат $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$, $y=x\operatorname {tg}\varphi$, $x^{2}+y^{2}=z^{2}\operatorname {tg}^{2}\theta$ попарно ортогональны.

Показать, что сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2ax$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2by$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2cz$ образуют триортогональную систему.

Через каждую точку $M(x,y,z)$ проходят при $\lambda =\lambda_{1}$, $\lambda =\lambda_{2}$, $\lambda =\lambda_{3}$ три поверхности второго порядка:

Доказать ортогональность этих поверхностей.

Найти производную функции $u=x+y+z$ в направлении внешней нормали сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ в точке ее $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$.

В каких точках сферы нормальная производная функции $u$ имеет:

Найти производную функции $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ в направлении внешней нормали эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ в точке его $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$.

Пусть $\dfrac {\partial u}{\partial n}$ и $\dfrac {\partial v}{\partial n}$ — нормальные производные функций $u$ и $v$ в точке поверхности $F(x,y,z)=0$. Доказать, что

Найти огибающие однопараметрических семейств плоских кривых: $x\cos \alpha +y\sin \alpha = p$ $(p=\text{const})$.

Найти огибающие однопараметрических семейств плоских кривых: $(x-a)^{2}+y^{2} = \dfrac {a^{2}}{2}$.

Найти огибающие однопараметрических семейств плоских кривых: $y=kx+\dfrac {a}{k}$ $(a=\text{const})$.

Найти огибающие однопараметрических семейств плоских кривых: $y^{2} = 2px+p^{2}$.

Найти кривую, огибаемую отрезком длины $l$, концы которого скользят по осям координат.

Найти огибающую эллипсов $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}} = 1$, имеющих постоянную площадь $S$.

Найти огибающую траекторий снаряда, выпущенного в безвоздушном пространстве с начальной скоростью $v_{0}$, при варьировании в вертикальной плоскости угла бросания $\alpha$.

Доказать, что огибающая нормалей плоской кривой есть эволюта этой кривой.

Исследовать характер дискриминантных кривых семейств следующих линий ($c$ — переменный параметр):

Определить огибающую семейства шаров радиуса $r$, центры которых расположены на окружности

Найти огибающую семейства шаров

где $\cos^{2}\alpha +\cos^{2}\beta +\cos^{2}\gamma = 1$ и $t$ — переменный параметр.

Определить огибающую семейства эллипсоидов $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$, объем $V$ которых постоянен.

Найти огибающую семейства сфер радиуса $\rho$, центры которых расположены на поверхности конуса $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Светящаяся точка находится в начале координат. Определить конус тени, отбрасываемой шаром

если $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}>R^{2}$.

Найти огибающую семейства плоскостей

если параметры $p$ и $q$ связаны уравнением $p^{2}+q^{2}=1$.