Банк задач по математике

Задача 3431

Преобразовать уравнение $y'y'''-3y''^{2} = x$ , приняв $y$ за новую независимую переменную.

?

Задача 3432

Таким же образом (см. задачу 3431: приняв $y$ за новую независимую переменную) преобразовать уравнение

y'^{2}y^{\mathrm{IV}}-10y'y''y'''+15y''^{3} = 0.

?

Задача 3433

Преобразовать уравнение

y''+\dfrac {2}{x}y'+y = 0,

приняв $x$ за функцию и $t=xy$ — за независимое переменное.

?

Задача 3434

Вводя новые переменные, преобразовать следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: $x^{2}y''+xy'+y = 0$ , если $x=e^{t}$ .

?

Задача 3435

Вводя новые переменные, преобразовать следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: $y''' = \dfrac {6y}{x^{3}}$ , если $t = \ln \left|x\right|$ .

?

Задача 3436

Вводя новые переменные, преобразовать следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: $(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y = 0$ , если $x=\cos t$ .

?

Задача 3437

Вводя новые переменные, преобразовать следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: $y''+y'\operatorname {th}x+\dfrac {m^{2}}{\operatorname {ch}^{2}x}y = 0$ , если $x=\ln \operatorname {tg}\dfrac {t}{2}$ .

?

Задача 3438

Преобразовать уравнение $y''+p(x)y'+q(x)y = 0$ , если

y = u \cdot e^{-\frac{1}{2}\int _{x_{0}}^{x} p(\xi )\, d\xi },

где $p(x) \in C^{(1)}$ .

?

Задача 3439

Преобразовать уравнение $x^{2}y''+xyy'-2y^{2} = 0$ , если $x=e^{t}$ и $y=ue^{2t}$ , где $u=u(t)$ .

?

Задача 3440

Преобразовать уравнение $(1+x^{2})^{2}y'' = y$ , если $x = \operatorname {tg}t$ и $y = \dfrac {u}{\cos t}$ , где $u=u(t)$ .

?

Задача 3441

Преобразовать уравнение $(1-x^{2})^{2}y'' = -y$ , если $x = \operatorname {th}t$ и $y = \dfrac {u}{\operatorname {ch}t}$ , где $u=u(t)$ .

?

Задача 3442

Преобразовать уравнение $y''+(x+y)(1+y')^{3} = 0$ , если $x=u+t$ и $y=u-t$ , где $u=u(t)$ .

?

Задача 3443

Преобразовать уравнение $y'''-x^{3}y''+xy'-y = 0$ , если $x=\dfrac {1}{t}$ и $y=\dfrac {u}{t}$ , где $u=u(t)$ .

?

Задача 3444

Преобразовать уравнение Стокса

y'' = \dfrac {Ay}{(x-a)^{2}(x-b)^{2}},

полагая

u = \dfrac {y}{x-b}, \quad t = \ln \left|\dfrac {x-a}{x-b}\right|

и принимая $u$ за функцию переменной $t$ .

?

Задача 3445

Показать, что если уравнение

\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}+p(x)\dfrac {dy}{dx}+q(x)y = 0

преобразовать подстановкой $x = \varphi (\xi )$ в уравнение

\dfrac {d^{2}y}{d\xi ^{2}}+P(\xi )\dfrac {dy}{d\xi }+Q(\xi )y = 0,

то

\left[2P(\xi )Q(\xi )+Q'(\xi )\right]\left[Q(\xi )\right]^{-3/2} = \left[2p(x)q(x)+q'(x)\right]\left[q(x)\right]^{-3/2}.

?

Задача 3446

В уравнении $\Phi (y,y',y'') = 0$ , где $\Phi$ — однородная функция переменных $y$ , $y'$ , $y''$ , положить

y = e^{\int _{x_{0}}^{x} u\, dx}.

?

Задача 3447

В уравнении $F(x^{2}y'',xy',y) = 0$ , где $F$ — однородная функция своих аргументов, положить

u = x\dfrac {y’}{y}.

?

Задача 3448

Доказать, что уравнение

y'''(1+y'^{2})-3y'y''^{2} = 0

не меняет своего вида при гомографическом преобразовании

x = \dfrac {a_{1}\xi +b_{1}\eta +c_{1}}{a\xi +b\eta +c}, \quad y = \dfrac {a_{2}\xi +b_{2}\eta +c_{2}}{a\xi +b\eta +c}.

?

Примечание.

?

Указание. Данное преобразование представить в виде композиции простейших преобразований:

x = \alpha X+\beta Y+\gamma , \quad y = Y; \qquad X = \dfrac {1}{X_{1}}, \quad Y = \dfrac {Y_{1}}{X_{1}}

и

X_{1} = a\xi +b\eta +c, \quad Y_{1} = a_{2}\xi +b_{2}\eta +c_{2}.

Задача 3449

Доказать, что шварциан

S\left[x(t)\right] = \dfrac {x”’(t)}{x’(t)}-\dfrac {3}{2}\left[\dfrac {x”(t)}{x’(t)}\right]^{2}

не меняет своего значения при дробно-линейном преобразовании:

y = \dfrac {ax(t)+b}{cx(t)+d} \quad (ad-bc \neq 0).

?

Задача 3450

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее уравнение: $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {x+y}{x-y}$ .

?

Задача 3451

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее уравнение: $(xy'-y)^{2} = 2xy(1+y'^{2})$ .

?

Задача 3452

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее уравнение: $(x^{2}+y^{2})^{2}y'' = (x+yy')^{3}$ .

?

Задача 3453

Преобразовать к полярным координатам выражение

\dfrac {x+yy’}{xy’-y}.

?

Задача 3454

Кривизну плоской кривой

K = \dfrac {\left|y”_{xx}\right|}{(1+y’^{2}_{x})^{3/2}}

выразить в полярных координатах $r$ и $\varphi$ .

?

Задача 3455

В системе уравнений

\dfrac {dx}{dt} = y+kx(x^{2}+y^{2}), \quad \dfrac {dy}{dt} = -x+ky(x^{2}+y^{2})

перейти к полярным координатам.

?

Задача 3456

Преобразовать выражение

W = x\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}-y\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}},

введя новые функции $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , $\varphi = \operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$ .

?

Задача 3457

В преобразовании Лежандра каждой точке $(x,y)$ кривой $y=y(x)$ ставится в соответствие точка $(X,Y)$ , где

X = y', \quad Y = xy'-y.

Найти $Y'$ , $Y''$ и $Y'''$ .

?

Задача 3458

Вводя новые независимые переменные $\xi$ и $\eta$ , решить следующее уравнение: $\dfrac {\partial z}{\partial x} = \dfrac {\partial z}{\partial y}$ , если $\xi =x+y$ и $\eta =x-y$ .

?

Задача 3459

Вводя новые независимые переменные $\xi$ и $\eta$ , решить следующее уравнение: $y\dfrac {\partial z}{\partial x}-x\dfrac {\partial z}{\partial y} = 0$ , если $\xi =x$ и $\eta =x^{2}+y^{2}$ .

?

Задача 3460

Вводя новые независимые переменные $\xi$ и $\eta$ , решить следующее уравнение: $a\dfrac {\partial z}{\partial x}+b\dfrac {\partial z}{\partial y} = 1$ $(a \neq 0)$ , если $\xi =x$ и $\eta =y-bz$ .

?

Задача 3461

Вводя новые независимые переменные $\xi$ и $\eta$ , решить следующее уравнение: $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y} = z$ , если $\xi =x$ и $\eta =\dfrac {y}{x}$ .

?

Задача 3462

Принимая $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать следующее уравнение: $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+\sqrt{1+y^{2}}\dfrac {\partial z}{\partial y} = xy$ , если $u=\ln x$ и $v=\ln (y+\sqrt{1+y^{2}})$ .

?

Задача 3463

Принимая $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать следующее уравнение: $(x+y)\dfrac {\partial z}{\partial x}-(x-y)\dfrac {\partial z}{\partial y} = 0$ , если $u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ и $v=\operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$ .

?

Задача 3464

Принимая $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать следующее уравнение: $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y} = z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ , если $u=\dfrac {y}{x}$ и $v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

?

Задача 3465

Принимая $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать следующее уравнение: $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y} = \dfrac {x}{z}$ , если $u=2x-z^{2}$ и $v=\dfrac {y}{z}$ .

?

Задача 3466

Принимая $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать следующее уравнение: $(x+z)\dfrac {\partial z}{\partial x}+(y+z)\dfrac {\partial z}{\partial y} = x+y+z$ , если $u=x+z$ и $v=y+z$ .

?

Задача 3467

Преобразовать выражение

(z+e^{x})\dfrac {\partial z}{\partial x}+(z+e^{y})\dfrac {\partial z}{\partial y}-(z^{2}-e^{x+y}),

приняв за новые независимые переменные

\xi = y+ze^{-x}, \quad \eta = x+ze^{-y}.

?

Задача 3468

Преобразовать выражение

\left(\dfrac {\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\dfrac {\partial z}{\partial y}\right)^{2},

полагая

x = uv, \quad y = \dfrac {1}{2}(u^{2}-v^{2}).

?

Задача 3469

В уравнении

\dfrac {\partial u}{\partial x}+\dfrac {\partial u}{\partial y}+\dfrac {\partial u}{\partial z} = 0

положить $\xi =x$ , $\eta =y-x$ , $\zeta =z-x$ .

?

Задача 3470

Преобразовать уравнение

(x-z)\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y} = 0,

приняв $x$ за функцию, а $y$ и $z$ — за независимые переменные.

?

Задача 3471

Преобразовать уравнение

(y-z)\dfrac {\partial z}{\partial x}+(y+z)\dfrac {\partial z}{\partial y} = 0,

приняв $x$ за функцию, а $u=y-z$ , $v=y+z$ — за независимые переменные.

?

Задача 3472

Преобразовать выражение

A = \left(\dfrac {\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\dfrac {\partial z}{\partial y}\right)^{2},

приняв $x$ за функцию и $u=xz$ , $v=yz$ — за независимые переменные.

?

Задача 3473

В уравнении

(y+z+u)\dfrac {\partial u}{\partial x}+(x+z+u)\dfrac {\partial u}{\partial y}+(x+y+u)\dfrac {\partial u}{\partial z} = x+y+z

положить:

e^{\xi } = x-u, \quad e^{\eta } = y-u, \quad e^{\zeta } = z-u.

?

Задача 3474

Перейти к новым переменным $u$ , $v$ , $w$ , где $w=w(u,v)$ , в следующем уравнении: $y\dfrac {\partial z}{\partial x}-x\dfrac {\partial z}{\partial y} = (y-x)z$ , если

u = x^{2}+y^{2}, \quad v = \dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}, \quad w = \ln z-(x+y).

?

Задача 3475

Перейти к новым переменным $u$ , $v$ , $w$ , где $w=w(u,v)$ , в следующем уравнении: $x^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}+y^{2}\dfrac {\partial z}{\partial y} = z^{2}$ , если

u = x, \quad v = \dfrac {1}{y}-\dfrac {1}{x}, \quad w = \dfrac {1}{z}-\dfrac {1}{x}.

?

Задача 3476

Перейти к новым переменным $u$ , $v$ , $w$ , где $w=w(u,v)$ , в следующем уравнении: $(xy+z)\dfrac {\partial z}{\partial x}+(1-y^{2})\dfrac {\partial z}{\partial y} = x+yz$ , если

u = yz-x, \quad v = xz-y, \quad w = xy-z.

?

Задача 3477

Перейти к новым переменным $u$ , $v$ , $w$ , где $w=w(u,v)$ , в следующем уравнении: $\left(x\dfrac {\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(y\dfrac {\partial z}{\partial y}\right)^{2} = z^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}\cdot \dfrac {\partial z}{\partial y}$ , если

x = ue^{w}, \quad y = ve^{w}, \quad z = we^{w}.

?

Задача 3478

Преобразовать выражение

(x-y):\left(\dfrac {\partial z}{\partial x}-\dfrac {\partial z}{\partial y}\right),

полагая

u = \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad v = \operatorname {arctg}z, \quad w = x+y+z,

где $w=w(u,v)$ .

?

Задача 3479

Преобразовать выражение

A = \dfrac {\partial z}{\partial x}:\dfrac {\partial z}{\partial y},

полагая $u=xz$ , $v=yz$ , $w=ze^{z}$ , где $w=w(u,v)$ .

?

Задача 3480

В уравнении

x\dfrac {\partial u}{\partial x}+y\dfrac {\partial u}{\partial y}+z\dfrac {\partial u}{\partial z} = u+\dfrac {xy}{z}

положить: $\xi =\dfrac {x}{z}$ , $\eta =\dfrac {y}{z}$ , $\zeta =z$ , $w=\dfrac {u}{z}$ , где $w=w(\xi ,\eta ,\zeta )$ .

?

Задача 3481

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее выражение: $w = x\dfrac {\partial u}{\partial y}-y\dfrac {\partial u}{\partial x}$ .

?

Задача 3482

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее выражение: $w = x\dfrac {\partial u}{\partial x}+y\dfrac {\partial u}{\partial y}$ .

?

Задача 3483

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее выражение: $w = \left(\dfrac {\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\dfrac {\partial u}{\partial y}\right)^{2}$ .

?

Задача 3484

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее выражение: $w = \dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$ .

?

Задача 3485

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее выражение: $w = x^{2}\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2xy\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x \partial y}+y^{2}\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$ .

?

Задача 3486

Преобразовать к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ , следующее выражение:

w = y^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-2xy\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+x^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}-\left(x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}\right).

?

Задача 3487

В выражении

I = \dfrac {\partial u}{\partial x}\dfrac {\partial v}{\partial y}-\dfrac {\partial u}{\partial y}\dfrac {\partial v}{\partial x}

положить $x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ .

?

Задача 3488

Решить уравнение $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = a^{2}\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$ , введя новые независимые переменные

\xi = x-at, \quad \eta = x+at.

?

Задача 3489

Преобразовать уравнение

2\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}-\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial z}{\partial x}+\dfrac {\partial z}{\partial y} = 0,

если $u=x+2y+2$ и $v=x-y-1$ .

?

Задача 3490

Преобразовать уравнение

(1+x^{2})\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+(1+y^{2})\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}+x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y} = 0,

если $u=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$ и $v=\ln (y+\sqrt{1+y^{2}})$ .

?

Задача 3491

Преобразовать уравнение

ax^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+2bxy\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+cy^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0

( $a$ , $b$ , $c$ — постоянны), если $u=\ln x$ и $v=\ln y$ .

?

Задача 3492

Преобразовать уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0,

если

u = \dfrac {x}{x^{2}+y^{2}} \quad \text{и} \quad v = -\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}.

?

Задача 3493

Преобразовать уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}+m^{2}z = 0,

если $x=e^{u}\cos v$ , $y=e^{u}\sin v$ .

?

Задача 3494

Преобразовать уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-y\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = \dfrac {1}{2}\dfrac {\partial z}{\partial y} \quad (y>0),

если $u=x-2\sqrt{y}$ и $v=x+2\sqrt{y}$ .

?

Задача 3495

Преобразовать уравнение

x^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-y^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0,

если $u=xy$ и $v=\dfrac {x}{y}$ .

?

Задача 3496

Преобразовать уравнение

x^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-(x^{2}+y^{2})\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+y^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0,

если $u=x+y$ и $v=\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}$ .

?

Задача 3497

Преобразовать уравнение

xy\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-(x^{2}+y^{2})\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+xy\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}+y\dfrac {\partial z}{\partial x}+x\dfrac {\partial z}{\partial y} = 0,

если $u=\dfrac {1}{2}(x^{2}+y^{2})$ и $v=xy$ .

?

Задача 3498

Преобразовать уравнение

x^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-2x\sin y\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+\sin ^{2}y\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0,

если $u=x\operatorname {tg}\dfrac {y}{2}$ и $v=x$ .

?

Задача 3499

Преобразовать уравнение

x\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-y\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0 \quad (x>0,\ y>0),

если $x=(u+v)^{2}$ и $y=(u-v)^{2}$ .

?

Задача 3500

Преобразовать уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y} = \left(1+\dfrac {\partial z}{\partial y}\right)^{3},

если $u=x$ и $v=y+z$ .

?

Задача 3501

С помощью линейной замены

\xi = x+\lambda _{1}y, \quad \eta = x+\lambda _{2}y

преобразовать уравнение

A\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+2B\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x \partial y}+C\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}} = 0, \tag {1}

где $A$ , $B$ и $C$ — постоянные и $AC-B^{2}<0$ , к виду

\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta } = 0.

Найти общий вид функции, удовлетворяющей уравнению (1).

?

Задача 3502

Доказать, что вид уравнения Лапласа

\Delta z \equiv \dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0

не меняется при любой невырожденной замене переменных

x = \varphi (u,v), \quad y = \psi (u,v),

удовлетворяющей условиям:

\dfrac {\partial \varphi }{\partial u} = \dfrac {\partial \psi }{\partial v}, \quad \dfrac {\partial \varphi }{\partial v} = -\dfrac {\partial \psi }{\partial u}.

?

Задача 3503

(а)(б)

Преобразовать уравнения:

?

(а)

$\Delta u \equiv \dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$ ;

(б)

$\Delta (\Delta u) = 0$ ,

полагая $u=f(r)$ , где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

Задача 3504

Какой вид принимает уравнение

\dfrac {\partial ^{2}w}{\partial x \partial y}+cw = 0,

если положить

w = f(u),

где $u = (x-x_{0})(y-y_{0})$ ?

?

Задача 3505

Преобразовать выражение

A = x\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+y\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x \partial y}+\dfrac {\partial u}{\partial x},

полагая

x+y = X, \quad y = XY.

?

Задача 3506

Показать, что уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+2xy^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}+2(y-y^{3})\dfrac {\partial z}{\partial y}+x^{2}y^{2}z = 0

не меняет своего вида при преобразовании переменных

x = uv \quad \text{и} \quad y = \dfrac {1}{v}.

?

Задача 3507

Показать, что уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+2\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0

не меняет своего вида при замене переменных

u = x+z \quad \text{и} \quad v = y+z.

?

Задача 3508

Преобразовать уравнение

xy\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x \partial y}+yz\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y \partial z}+xz\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x \partial z} = 0,

полагая

x = \eta \zeta , \quad y = \xi \zeta , \quad z = \xi \eta .

?

Задача 3509

Преобразовать уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x_{3}^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} \partial x_{3}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2} \partial x_{3}} = 0,

полагая

y_{1} = x_{2}+x_{3}-x_{1}, \quad y_{2} = x_{1}+x_{3}-x_{2}, \quad y_{3} = x_{1}+x_{2}-x_{3}.

?

Задача 3510

Преобразовать уравнение

x^{2}\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+y^{2}\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+z^{2}\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}+2xy\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x \partial y}+2xz\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x \partial z}+2yz\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y \partial z} = 0,

полагая

\xi = \dfrac {y}{x}, \quad \eta = \dfrac {z}{x}, \quad \zeta = y-z.

?

Примечание.

?

Указание. Записать уравнение в виде $A^{2}u-Au=0$ , где $A = x\dfrac {\partial }{\partial x}+y\dfrac {\partial }{\partial y}+z\dfrac {\partial }{\partial z}$ .

Задача 3511

Выражения

\Delta _{1}u = \left(\dfrac {\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\dfrac {\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(\dfrac {\partial u}{\partial z}\right)^{2}

и

\Delta _{2}u = \dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}

преобразовать к сферическим координатам, полагая

x = r\sin \theta \cos \varphi , \quad y = r\sin \theta \sin \varphi , \quad z = r\cos \theta .

?

Примечание.

?

Указание. Замену переменных представить в виде композиции двух частичных замен

x = R\cos \varphi , \quad y = R\sin \varphi , \quad z = z

и

R = r\sin \theta , \quad \varphi = \varphi , \quad z = r\cos \theta .

Задача 3512

В уравнении

z\left(\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}\right) = \left(\dfrac {\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\dfrac {\partial z}{\partial y}\right)^{2}

ввести новую функцию $w$ , полагая $w=z^{2}$ .

?

Задача 3513

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные и $w=w(u,v)$ за новую функцию, преобразовать следующее уравнение: $y\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}}+2\dfrac {\partial z}{\partial y} = \dfrac {2}{x}$ , если $u=\dfrac {x}{y}$ , $v=x$ , $w=xz-y$ .

?

Задача 3514

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные и $w=w(u,v)$ за новую функцию, преобразовать следующее уравнение: $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}-2\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}+\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 0$ , если $u=x+y$ , $v=\dfrac {y}{x}$ , $w=\dfrac {z}{x}$ .

?

Задача 3515

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные и $w=w(u,v)$ за новую функцию, преобразовать следующее уравнение: $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+2\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}+\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 0$ , если $u=x+y$ , $v=x-y$ , $w=xy-z$ .

?

Задача 3516

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные и $w=w(u,v)$ за новую функцию, преобразовать следующее уравнение: $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}+\dfrac {\partial z}{\partial x} = z$ , если $u=\dfrac {x+y}{2}$ , $v=\dfrac {x-y}{2}$ , $w=ze^{y}$ .

?

Задача 3517

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные и $w=w(u,v)$ за новую функцию, преобразовать следующее уравнение: $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}-2\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}+\left(1+\dfrac {y}{x}\right)\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 0$ , если $u=x$ , $v=x+y$ , $w=x+y+z$ .

?

Задача 3518

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные и $w=w(u,v)$ за новую функцию, преобразовать следующее уравнение: $(1-x^{2})\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+(1-y^{2})\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}$ , если $x=\sin u$ , $y=\sin v$ , $z=e^{w}$ .

?

Задача 3519

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные и $w=w(u,v)$ за новую функцию, преобразовать следующее уравнение: $(1-x^{2})\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}-\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}}-2x\dfrac {\partial z}{\partial x}-\dfrac {1}{4}z = 0$ $(\left|x\right|<1)$ , если

u = \dfrac {1}{2}(y+\arccos x), \quad v = \dfrac {1}{2}(y-\arccos x), \quad w = z\sqrt[4]{1-x^{2}}.

?

Задача 3520

Преобразовать уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 2\dfrac {x\dfrac {\partial z}{\partial x}-y\dfrac {\partial z}{\partial y}}{x^{2}-y^{2}}-\dfrac {3(x^{2}+y^{2})z}{(x^{2}-y^{2})^{2}} \quad (\left|x\right|>\left|y\right|),

если $u=x+y$ , $v=x-y$ , $w=\dfrac {z}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}$ .

?

Задача 3521

Доказать, что всякое уравнение

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+a\dfrac {\partial z}{\partial x}+b\dfrac {\partial z}{\partial y}+cz = 0

( $a$ , $b$ , $c$ — постоянные) путем замены

z = ue^{\alpha x+\beta y},

где $\alpha$ и $\beta$ — постоянные величины и $u=u(x,y)$ , можно привести к виду

\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x \partial y}+c_{1}u = 0 \quad (c_{1} = \text{const}).

?

Задача 3522

Показать, что уравнение $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = \dfrac {\partial u}{\partial y}$ не изменяет своего вида при замене переменных

x' = \dfrac {x}{y}, \quad y' = -\dfrac {1}{y}, \quad u' = \dfrac {u}{\sqrt{y}}e^{-\frac{x^{2}}{4y}},

где $u'$ — функция переменных $x'$ и $y'$ .

?

Задача 3523

В уравнении

q(1+q)\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-(1+p+q+2pq)\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+p(1+p)\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0,

где $p=\dfrac {\partial z}{\partial x}$ и $q=\dfrac {\partial z}{\partial y}$ , положить $u=x+z$ , $v=y+z$ , $w=x+y+z$ , считая, что $w=w(u,v)$ .

?

Задача 3524

В уравнении

x^{2}\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+y^{2}\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+z^{2}\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}} = \left(x\dfrac {\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(y\dfrac {\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(z\dfrac {\partial u}{\partial z}\right)^{2}

положить $x=e^{\xi }$ , $y=e^{\eta }$ , $z=e^{\zeta }$ , $u=e^{w}$ , где $w=w(\xi ,\eta ,\zeta )$ .

?

Задача 3525

Показать, что вид уравнения

\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}-\left(\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}\right)^{2} = 0

не меняется при любом распределении ролей между переменными $x$ , $y$ и $z$ .

?

Задача 3526

Решить уравнение

\left(\dfrac {\partial z}{\partial y}\right)^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}-2\dfrac {\partial z}{\partial x}\dfrac {\partial z}{\partial y}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+\left(\dfrac {\partial z}{\partial x}\right)^{2}\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0,

приняв $x$ за функцию от переменных $y$ и $z$ .

?

Задача 3527

Преобразовать уравнение

A\left(\dfrac {\partial z}{\partial x}, \dfrac {\partial z}{\partial y}\right)\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}+2B\left(\dfrac {\partial z}{\partial x}, \dfrac {\partial z}{\partial y}\right)\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+C\left(\dfrac {\partial z}{\partial x}, \dfrac {\partial z}{\partial y}\right)\dfrac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}} = 0,

применяя преобразование Лежандра

X = \dfrac {\partial z}{\partial x}, \quad Y = \dfrac {\partial z}{\partial y}, \quad Z = x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}-z,

где $Z=Z(X,Y)$ .

?

Замена переменных