Дифференцирование неявных функций

Показать, что разрывная в каждой точке функция Дирихле

удовлетворяет уравнению

Пусть функция $f(x)$ определена в интервале $(a,b)$. В каком случае уравнение

имеет при $a<x<b$ единственное непрерывное решение $y=0$?

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены и непрерывны в интервале $(a,b)$. В каком случае уравнение

имеет в интервале $(a,b)$ единственное непрерывное решение?

Пусть дано уравнение

и

— однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (1).

Пусть дано уравнение

и

есть однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (1).

Уравнение $x^{2}+y^{2} = x^{4}+y^{4}$ определяет $y$ как многозначную функцию от $x$. В каких областях эта функция 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные непрерывные ветви.

Найти точки ветвления и непрерывные однозначные ветви $y=y(x)$ $(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ многозначной функции $y$, определяемой уравнением $(x^{2}+y^{2})^{2} = x^{2}-y^{2}$.

Пусть $f(x)$ — непрерывна при $a<x<b$ и $\varphi (y)$ — монотонно возрастает и непрерывна при $c<y<d$. В каком случае уравнение $\varphi (y) = f(x)$ определяет однозначную функцию $y = \varphi^{-1}(f(x))$?

Рассмотреть примеры:

Пусть

где $\varphi (0)=0$ и $\left|\varphi '(y)\right| \leqslant k<1$ при $-a<y<a$. Доказать, что при $-\varepsilon <x<\varepsilon$ существует единственная дифференцируемая функция $y=y(x)$, удовлетворяющая уравнению (1), и такая, что $y(0)=0$.

Пусть $y=y(x)$ — неявная функция, определяемая уравнением

где постоянная $k \neq 0$, и $\varphi (y)$ — дифференцируемая периодическая функция периода $\omega$ такая, что $\left|\varphi '(y)\right|<\left|k\right|$. Доказать, что

где $\psi (x)$ — периодическая функция с периодом $\left|k\right|\omega$.

Найти $y'$ и $y''$ для функции $y$, определяемой следующим уравнением: $x^{2}+2xy-y^{2} = a^{2}$.

Найти $y'$ и $y''$ для функции $y$, определяемой следующим уравнением: $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$.

Найти $y'$ и $y''$ для функции $y$, определяемой следующим уравнением: $y-\varepsilon \sin y = x$ $(0<\varepsilon <1)$.

Найти $y'$ и $y''$ для функции $y$, определяемой следующим уравнением: $x^{y} = y^{x}$ $(x \neq y)$.

Найти $y'$ и $y''$ для функции $y$, определяемой следующим уравнением: $y = 2x\operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$.

Доказать, что при

где $k$ — постоянная величина, имеет место равенство

Доказать, что если

то при $xy>0$ имеет место равенство

Доказать, что уравнение

в окрестности точки $x=0$, $y=0$ определяет две дифференцируемые функции: $y=y_{1}(x)$ и $y=y_{2}(x)$. Найти $y'_{1}(0)$ и $y'_{2}(0)$.

Найти $y'$ при $x=0$ и $y=0$, если

Найти $y'$, $y''$ и $y'''$, если $x^{2}+xy+y^{2} = 3$.

Найти $y'$, $y''$ и $y'''$ при $x=0$, $y=1$, если

Доказать, что для кривой 2-го порядка

справедливо равенство

Для функции $z=z(x,y)$ найти частные производные первого и второго порядков, если $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$.

Для функции $z=z(x,y)$ найти частные производные первого и второго порядков, если $z^{3}-3xyz = a^{3}$.

Для функции $z=z(x,y)$ найти частные производные первого и второго порядков, если $x+y+z = e^{z}$.

Для функции $z=z(x,y)$ найти частные производные первого и второго порядков, если $z = \sqrt{x^{2}-y^{2}} \cdot \operatorname {tg}\dfrac {z}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}$.

Для функции $z=z(x,y)$ найти частные производные первого и второго порядков, если $x+y+z = e^{-(x+y+z)}$.

Пусть

и

Найти:

Найти $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$, $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}$, $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}}$ при $x=1$, $y=-2$, $z=1$, если $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+xy-z-9 = 0$.

Найти $dz$ и $d^{2}z$, если $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$.

Найти $dz$ и $d^{2}z$, если $xyz = x+y+z$.

Найти $dz$ и $d^{2}z$, если $\dfrac {x}{z} = \ln \dfrac {z}{y}+1$.

Найти $dz$ и $d^{2}z$, если $z = x+\operatorname {arctg}\dfrac {y}{z-x}$.

Найти $du$, если $u^{3}-3(x+y)u^{2}+z^{3} = 0$.

Найти $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}$, если

Найти $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial z}{\partial y}$, если

Найти $\dfrac {\partial z}{\partial x}$, $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ и $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$, если

Найти $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$, если $F(xz,yz) = 0$.

Найти $d^{2}z$, если:

Пусть $z = z(x,y)$ — та дифференцируемая функция, определяемая уравнением

которая при $x=3$, $y=-2$ принимает значение $z=2$. Найти $dz(3,-2)$ и $d^{2}z(3,-2)$.

Пусть $x = x(y,z)$, $y = y(x,z)$, $z = z(x,y)$ — функции, определяемые уравнением $F(x,y,z) = 0$. Доказать, что

Найти $\dfrac {dx}{dz}$ и $\dfrac {dy}{dz}$, если $x+y+z=0$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.

Найти $\dfrac {dx}{dz}$, $\dfrac {dy}{dz}$, $\dfrac {d^{2}x}{dz^{2}}$ и $\dfrac {d^{2}y}{dz^{2}}$ при $x=1$, $y=-1$, $z=2$, если $x^{2}+y^{2} = \dfrac {1}{2}z^{2}$, $x+y+z=2$.

Найти $\dfrac {\partial u}{\partial x}$, $\dfrac {\partial u}{\partial y}$, $\dfrac {\partial v}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial v}{\partial y}$, если $xu-yv = 0$, $yu+xv = 1$.

Система уравнений

определяет дифференцируемые функции $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$ такие, что $u(1,2)=0$ и $v(1,2)=0$. Найти $du(1,2)$ и $dv(1,2)$.

Найти $du$, $dv$, $d^{2}u$ и $d^{2}v$, если

Найти $du$, $dv$, $d^{2}u$ и $d^{2}v$ при $x=1$, $y=1$, $u=0$, $v=\dfrac {\pi }{4}$, если

Пусть

Найти $\dfrac {dy}{dx}$, $\dfrac {dz}{dx}$, $\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}$ и $\dfrac {d^{2}z}{dx^{2}}$.

В какой области плоскости $Oxy$ система уравнений

где параметры $u$ и $v$ принимают всевозможные вещественные значения, определяет $z$ как функцию от переменных $x$ и $y$? Найти производные $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial z}{\partial y}$.

Найти $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ в точке $u=1$, $v=1$, если

Найти $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}$ в точке $u=2$, $v=1$, если

Найти $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$, если

Найти $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$, $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x \partial y}$ и $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}}$, если

Пусть $z = z(x,y)$ функция определяется системой уравнений:

($u$ и $v$ — параметры). Найти $dz$ и $d^{2}z$, при $u=0$ и $v=0$.

Найти $\dfrac {dz}{dx}$ и $\dfrac {d^{2}z}{dx^{2}}$, если $z = x^{2}+y^{2}$, где $y=y(x)$ определяется из уравнения

Найти $\dfrac {\partial u}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial u}{\partial y}$, если $u = \dfrac {x+z}{y+z}$, где $z$ определяется из уравнения $ze^{z} = xe^{x}+ye^{y}$.

Пусть уравнения $x = \varphi (u,v)$, $y = \psi (u,v)$, $z = \chi (u,v)$ определяют $z$ как функцию от $x$ и $y$. Найти $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial z}{\partial y}$.

Пусть $x = \varphi (u,v)$, $y = \psi (u,v)$. Найти частные производные первого и второго порядков от обратных функций: $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$.

Найти $\dfrac {\partial u}{\partial x}$, $\dfrac {\partial u}{\partial y}$, $\dfrac {\partial v}{\partial x}$, $\dfrac {\partial v}{\partial y}$, если:

Функция $u = u(x)$ определяется системой уравнений

Найти $\dfrac {du}{dx}$ и $\dfrac {d^{2}u}{dx^{2}}$.

Функция $u = u(x,y)$ определяется системой уравнений

Найти $\dfrac {\partial u}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial u}{\partial y}$.

Пусть $x = f(u,v,w)$, $y = g(u,v,w)$, $z = h(u,v,w)$. Найти $\dfrac {\partial u}{\partial x}$, $\dfrac {\partial u}{\partial y}$ и $\dfrac {\partial u}{\partial z}$.

Пусть функция $z = z(x,y)$ удовлетворяет системе уравнений $f(x,y,z,t) = 0$, $g(x,y,z,t) = 0$, где $t$ — переменный параметр. Найти $dz$.

Пусть $u = f(z)$, где $z$ — неявная функция от переменных $x$ и $y$, определяемая уравнением $z = x+y\varphi (z)$.

Доказать формулу Лагранжа

Показать, что функция $z = z(x,y)$, определяемая уравнением

где $\Phi (u,v)$ — произвольная дифференцируемая функция от переменных $u$ и $v$ ($a$ и $b$ — постоянные), являются решением уравнения

Выяснить геометрические свойства поверхности (1).

Показать, что функция $z = z(x,y)$, определяемая уравнением

где $\Phi (u,v)$ — произвольная дифференцируемая функция от переменных $u$ и $v$, удовлетворяет уравнению

Выяснить геометрические свойства поверхности (2).

Показать, что функция $z = z(x,y)$, определяемая уравнением

где $\Phi (u)$ — произвольная дифференцируемая функция от переменной $u$ и $a$, $b$ и $c$ — постоянные, удовлетворяет уравнению

Выяснить геометрические свойства поверхности (3).

Функция $z = z(x,y)$ задана уравнением

Показать, что

Функция $z = z(x,y)$ задана уравнением

Показать, что

Показать, что функция $z = z(x,y)$, определяемая системой уравнений:

где $\alpha = \alpha (x,y)$ — переменный параметр и $f(\alpha )$ — произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению

Показать, что функция $z = z(x,y)$, заданная системой уравнений:

удовлетворяет уравнению

Показать, что функция $z = z(x,y)$, заданная уравнениями

удовлетворяет уравнению

Показать, что функция $z = z(x,y)$, заданная уравнениями

удовлетворяет уравнению

Показать, что неявная функция $z = z(x,y)$, определяемая уравнением

удовлетворяет уравнению