Частные производные. Дифференциал функции

Показать, что

Найти $f'_{x}(x,1)$, если $f(x,y) = x + (y-1)\arcsin \sqrt{\dfrac {x}{y}}$.

Найти $f'_{x}(0,0)$ и $f'_{y}(0,0)$, если $f(x,y) = \sqrt[3]{xy}$. Является ли эта функция дифференцируемой в точке $O(0,0)$?

Является ли дифференцируемой в точке $O(0,0)$ функция

Исследовать на дифференцируемость в точке $O(0,0)$ функцию $f(x,y) = e^{-1/x^{2}+y^{2}}$ при $x^{2}+y^{2}>0$ и $f(0,0)=0$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = xy + \dfrac {x}{y}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \dfrac {x}{y^{2}}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \dfrac {x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = x\sin (x+y)$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \dfrac {\cos x^{2}}{y}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \operatorname {tg}\dfrac {x^{2}}{y}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = x^{y}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \ln (x+y^{2})$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \operatorname {arctg}\dfrac {x+y}{1-xy}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \arcsin \dfrac {x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \dfrac {1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = \left(\dfrac {x}{y}\right)^{z}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = x^{y/z}$.

Найти частные производные первого и второго порядков от следующей функции: $u = x^{y^{2}}$.

Проверить равенство

если:

Пусть $f(x,y) = xy\dfrac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$, если $x^{2}+y^{2} \neq 0$ и $f(0,0)=0$. Показать, что $f''_{xy}(0,0) \neq f''_{yx}(0,0)$.

Существует ли $f''_{xy}(0,0)$, если

Пусть $u = f(x,y,z)$ — однородная функция измерения $n$. Проверить теорему Эйлера об однородных функциях на следующих примерах:

Доказать, что если дифференцируемая функция $u = f(x,y,z)$ удовлетворяет уравнению

то она является однородной функцией измерения $n$.

Доказать, что если $f(x,y,z)$ — дифференцируемая однородная функция измерения $n$, то ее частные производные $f'_{x}(x,y,z)$, $f'_{y}(x,y,z)$, $f'_{z}(x,y,z)$ — однородные функции измерения $n-1$.

Пусть $u = f(x,y,z)$ — дважды дифференцируемая однородная функция измерения $n$. Доказать, что

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующей функции ($x$, $y$ — независимые переменные): $u = x^{m}y^{n}$.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующей функции ($x$, $y$ — независимые переменные): $u = \dfrac {x}{y}$.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующей функции ($x$, $y$ — независимые переменные): $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующей функции ($x$, $y$ — независимые переменные): $u = \operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующей функции ($x$, $y$ — независимые переменные): $u = e^{xy}$.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующей функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = xy+yz+zx$.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующей функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = \dfrac {z}{x^{2}+y^{2}}$.

Найти $df(1,1,1)$ и $d^{2}f(1,1,1)$, если $f(x,y,z) = \sqrt[z]{\dfrac {x}{y}}$.

Показать, что если $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, то $d^{2}u \geqslant 0$.

Предполагая, что $x$, $y$ малы по абсолютной величине, вывести приближенные формулы для следующих выражений:

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:

На сколько изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами $x = 6$ м и $y = 8$ м, если первая сторона увеличится на $2$ мм, а вторая сторона уменьшится на $5$ мм?

Центральный угол сектора $\alpha = 60^{\circ }$ увеличился на $\Delta \alpha = 1^{\circ }$. На сколько следует уменьшить радиус сектора $R = 20$ см, чтобы площадь сектора осталась без изменения?

Доказать, что относительная погрешность произведения приближенно равна сумме относительных погрешностей сомножителей.

При измерении радиуса основания $R$ и высоты $H$ цилиндра были получены следующие результаты:

С какой абсолютной погрешностью $\Delta$ и относительной погрешностью $\delta$ может быть вычислен объем цилиндра?

Стороны треугольника $a = 200$ м $\pm 2$ м, $b = 300$ м $\pm 5$ м и угол между ними $C = 60^{\circ } \pm 1^{\circ }$. С какой абсолютной погрешностью может быть вычислена третья сторона треугольника $c$?

Показать, что функция

непрерывна в точке $(0,0)$, имеет в этой точке обе частные производные $f'_{x}(0,0)$ и $f'_{y}(0,0)$, однако не является дифференцируемой в точке $(0,0)$.

Выяснить поведение производных $f'_{x}(x,y)$ и $f'_{y}(x,y)$ в окрестности точки $(0,0)$.

Показать, что функция

и $f(0,0)=0$, в окрестности точки $(0,0)$ непрерывна и имеет ограниченные частные производные $f'_{x}(x,y)$ и $f'_{y}(x,y)$, однако эта функция недифференцируема в точке $(0,0)$.

Показать, что функция

и $f(0,0)=0$, имеет в окрестности точки $(0,0)$ частные производные $f'_{x}(x,y)$ и $f'_{y}(x,y)$, которые разрывны в точке $(0,0)$ и неограничены в любой окрестности ее; тем не менее эта функция дифференцируема в точке $(0,0)$.

Доказать, что функция $f(x,y)$, имеющая ограниченные частные производные $f'_{x}(x,y)$ и $f'_{y}(x,y)$ в некоторой выпуклой области $E$, равномерно непрерывна в этой области.

Доказать, что если функция $f(x,y)$ непрерывна по переменной $x$ при каждом фиксированном значении $y$ и имеет ограниченную производную $f'_{y}(x,y)$ по переменной $y$, то эта функция непрерывна по совокупности переменных $x$ и $y$.

Найти указанные частные производные в следующей задаче: $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x^{4}}$, $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x^{3}\partial y}$, $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}$, если

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}$, если $u = x\ln (xy)$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{6}u}{\partial x^{3}\partial y^{3}}$, если $u = x^{3}\sin y+y^{3}\sin x$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{3}u}{\partial x \partial y \partial z}$, если $u = \operatorname {arctg}\dfrac {x+y+z-xyz}{1-xy-xz-yz}$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{3}u}{\partial x \partial y \partial z}$, если $u = e^{xyz}$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x \partial y \partial \xi \partial \eta }$, если $u = \ln \dfrac {1}{\sqrt{(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{p+q}u}{\partial x^{p}\partial y^{q}}$, если $u = (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{m+n}u}{\partial x^{m}\partial y^{n}}$, если $u = \dfrac {x+y}{x-y}$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{m+n}u}{\partial x^{m}\partial y^{n}}$, если $u = (x^{2}+y^{2})e^{x+y}$.

Найти указанную частную производную: $\dfrac {\partial^{p+q+r}u}{\partial x^{p}\partial y^{q}\partial z^{r}}$, если $u = xyze^{x+y+z}$.

Найти $f^{(m+n)}_{x^{m}y^{n}}(0,0)$, если $f(x,y) = e^{x}\sin y$.

Показать, что если $u = f(xyz)$, то

где $t = xyz$, и найти функцию $F$.

Найти $d^{4}u$, если $u = x^{4}-2x^{3}y-2xy^{3}+y^{4}+x^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}+y^{3}+2x^{2}-xy+2y^{2}+x+y+1$.

Чему равны производные $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x^{4}}$, $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x^{3}\partial y}$, $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}$, $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial x \partial y^{3}}$ и $\dfrac {\partial^{4}u}{\partial y^{4}}$?

Найти полный дифференциал указанного порядка в следующем примере: $d^{3}u$, если $u = x^{3}+y^{3}-3xy(x-y)$.

Найти полный дифференциал указанного порядка в следующем примере: $d^{3}u$, если $u = \sin (x^{2}+y^{2})$.

Найти полный дифференциал указанного порядка в следующем примере: $d^{10}u$, если $u = \ln (x+y)$.

Найти полный дифференциал указанного порядка в следующем примере: $d^{6}u$, если $u = \cos x \operatorname {ch} y$.

Найти полный дифференциал указанного порядка в следующем примере: $d^{3}u$, если $u = xyz$.

Найти полный дифференциал указанного порядка в следующем примере: $d^{4}u$, если $u = \ln (x^{x}y^{y}z^{z})$.

Найти $d^{n}u$, если $u = e^{ax+by}$.

Найти $d^{n}u$, если $u = X(x)Y(y)$.

Найти $d^{n}u$, если $u = f(x+y+z)$.

Найти $d^{n}u$, если $u = e^{ax+by+cz}$.

Пусть $P_{n}(x,y,z)$ — однородный многочлен степени $n$. Доказать, что

Пусть

Найти $Au$ и $A^{2}u = A(Au)$, если:

Пусть

Найти $\Delta u$, если:

Пусть

и

Найти $\Delta_{1}u$ и $\Delta_{2}u$, если:

Найти производные первого и второго порядков от следующей сложной функции: $u = f(x^{2}+y^{2}+z^{2})$.

Найти производные первого и второго порядков от следующей сложной функции: $u = f\left(x, \dfrac {x}{y}\right)$.

Найти производные первого и второго порядков от следующей сложной функции: $u = f(x,xy,xyz)$.

Найти $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x \partial y}$, если $u = f(x+y,xy)$.

Найти $\Delta u = \dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial z^{2}}$, если

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(t)$, где $t = x+y$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(t)$, где $t = \dfrac {y}{x}$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(t)$, где $t = xyz$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(x^{2}+y^{2}+z^{2})$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(\xi ,\eta )$, где $\xi = ax$, $\eta = by$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(\xi ,\eta )$, где $\xi = x+y$, $\eta = x-y$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(\xi ,\eta )$, где $\xi = xy$, $\eta = \dfrac {x}{y}$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(x+y,z)$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(x+y+z, x^{2}+y^{2}+z^{2})$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f\left(\dfrac {x}{y}, \dfrac {y}{z}\right)$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(x,y,z)$, где $x=t$, $y=t^{2}$, $z=t^{3}$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(\xi ,\eta ,\zeta )$, где $\xi = ax$, $\eta = by$, $\zeta = cz$.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующей сложной функции ($x$, $y$, $z$ — независимые переменные): $u = f(\xi ,\eta ,\zeta )$, где $\xi = x^{2}+y^{2}$, $\eta = x^{2}-y^{2}$, $\zeta = 2xy$.

Найти $d^{n}u$, если $u = f(ax+by+cz)$.

Найти $d^{n}u$, если $u = f(\xi ,\eta ,\zeta )$, где $\xi = ax$, $\eta = by$, $\zeta = cz$.

Найти $d^{n}u$, если $u = f(\xi ,\eta ,\zeta )$, где $\xi = a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z$, $\eta = a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z$, $\zeta = a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z$.

Пусть $u = f(r)$, где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ и $f$ — дважды дифференцируемая функция. Показать, что

где $\Delta u = \dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial z^{2}}$ — оператор Лапласа, и найти функцию $F$.

Пусть $u$ и $v$ — дважды дифференцируемые функции и $\Delta$ — оператор Лапласа (см. задачу 3305: $\Delta u = \dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial z^{2}}$). Доказать, что

где

Показать, что функция

($a$ и $b$ — постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа

Доказать, что если функция $u = u(x,y)$ удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3307: $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$), то функция

также удовлетворяет этому уравнению.

Показать, что функция

($a$ и $b$ — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности

Доказать, что если функция $u = u(x,t)$ удовлетворяет уравнению теплопроводности (см. задачу 3309: $\dfrac {\partial u}{\partial t}=a^{2}\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$), то функция

также удовлетворяет этому уравнению.

Доказать, что функция

где $r = \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}$, удовлетворяет при $r \neq 0$ уравнению Лапласа

Доказать, что если функция $u = u(x,y,z)$ удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3311), то функция

где $k$ — постоянная и $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, также удовлетворяет этому уравнению.

Доказать, что функция

где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ и $C_{1}$, $C_{2}$ — постоянные, удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Пусть функции $u_{1} = u_{1}(x,y,z)$ и $u_{2} = u_{2}(x,y,z)$ удовлетворяют уравнению Лапласа $\Delta u = 0$. Доказать, что функция

удовлетворяет бигармоническому уравнению

Пусть $f(x,y,z)$ есть $m$ раз дифференцируемая однородная функция измерения $n$. Доказать, что

Упростить выражение

если $z = \sin y+f(\sin x-\sin y)$, где $f$ — дифференцируемая функция.