Предел функции. Непрерывность

Определить и изобразить области существования следующей функции: $u = x + \sqrt{y}$.

Определить и изобразить области существования следующей функции: $u = \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1}$.

Определить и изобразить области существования следующей функции: $u = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}$.

Определить и изобразить области существования следующей функции: $u = \dfrac {1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} - 1}}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \sqrt{(x^{2} + y^{2} - 1)(4 - x^{2} - y^{2})}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \sqrt{\dfrac {x^{2} + y^{2} - x}{2x - x^{2} - y^{2}}}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \sqrt{1 - (x^{2} + y)^{2}}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \ln (-x - y)$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \arcsin \dfrac {y}{x}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \arccos \dfrac {x}{x+y}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \arcsin \dfrac {x}{y^{2}} + \arcsin (1-y)$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \sqrt{\sin (x^{2}+y^{2})}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \arccos \dfrac {z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \ln (xyz)$.

Определить и изобразить область существования следующей функции: $u = \ln (-1-x^{2}-y^{2}+z^{2})$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = x + y$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = x^{2}+y^{2}$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = x^{2}-y^{2}$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = (x+y)^{2}$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \dfrac {y}{x}$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \dfrac {1}{x^{2}+2y^{2}}$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \sqrt{xy}$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \left|x\right| + y$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \left|x\right| + \left|y\right| - \left|x+y\right|$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \min (x,y)$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \max (\left|x\right|, \left|y\right|)$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \min (x^{2}, y)$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = e^{2x/x^{2}+y^{2}}$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = x^{y}$ $(x > 0)$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = x^{y}e^{-x}$ $(x > 0)$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \ln \sqrt{\dfrac {(x-a)^{2}+y^{2}}{(x+a)^{2}+y^{2}}}$ $(a > 0)$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \operatorname {arctg}\dfrac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}$ $(a > 0)$.

Построить линии уровня следующей функции: $z = \operatorname {sgn}(\sin x \sin y)$.

Найти поверхности уровня следующей функции: $u = x+y+z$.

Найти поверхности уровня следующей функции: $u = x^{2}+y^{2}+z^{2}$.

Найти поверхности уровня следующей функции: $u = x^{2}+y^{2}-z^{2}$.

Найти поверхности уровня следующей функции: $u = (x+y)^{2}+z^{2}$.

Найти поверхности уровня следующей функции: $u = \operatorname {sgn}\sin (x^{2}+y^{2}+z^{2})$.

Исследовать характер поверхности по данному ее уравнению: $z = f(y - ax)$.

Исследовать характер поверхности по данному ее уравнению: $z = f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$.

Исследовать характер поверхности по данному ее уравнению: $z = xf\left(\dfrac {y}{x}\right)$.

Исследовать характер поверхности по данному ее уравнению: $z = f\left(\dfrac {y}{x}\right)$.

Построить график функции

где

Найти $f\left(1, \dfrac {y}{x}\right)$, если $f(x,y) = \dfrac {2xy}{x^{2}+y^{2}}$.

Найти $f(x)$, если

Пусть

Определить функции $f$ и $z$, если $z = x$ при $y = 1$.

Пусть

Найти функции $f$ и $z$, если $z = x^{2}$ при $y = 0$.

Найти $f(x,y)$, если $f\left(x+y, \dfrac {y}{x}\right) = x^{2}-y^{2}$.

Показать, что для функции

имеем:

в то время как $\lim \limits_{\substack {x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)$ не существует.

Показать, что для функции

имеем:

тем не менее $\lim \limits_{\substack {x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)$ не существует.

Показать, что для функции

оба повторных предела $\lim \limits_{x \to 0}\left\{ \lim \limits_{y \to 0} f(x,y)\right\}$ и $\lim \limits_{y \to 0}\left\{ \lim \limits_{x \to 0} f(x,y)\right\}$ не существуют, тем не менее существует $\lim \limits_{\substack {x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y) = 0$.

Существует ли предел

Чему равен предел функции $f(x,y) = x^{2}e^{-(x^{2}-y)}$ вдоль любого луча

при $t \to +\infty$?

Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой при $x \to \infty$ и $y \to \infty$?

Найти $\lim \limits_{x \to a}\left\{ \lim \limits_{y \to b} f(x,y)\right\}$ и $\lim \limits_{y \to b}\left\{ \lim \limits_{x \to a} f(x,y)\right\}$, если:

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to \infty \\ y \to \infty }} \dfrac {x+y}{x^{2}-xy+y^{2}}$.

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to \infty \\ y \to \infty }} \dfrac {x^{2}+y^{2}}{x^{4}+y^{4}}$.

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to 0 \\ y \to a}} \dfrac {\sin xy}{x}$.

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to +\infty \\ y \to +\infty }} (x^{2}+y^{2})e^{-(x+y)}$.

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to +\infty \\ y \to +\infty }} \left(\dfrac {xy}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}$.

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to 0 \\ y \to 0}} (x^{2}+y^{2})^{x^{2}y^{2}}$.

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to \infty \\ y \to a}} \left(1+\dfrac {1}{x}\right)^{x^{2}/(x+y)}$.

Найти следующий двойной предел: $\lim \limits_{\substack {x \to 1 \\ y \to 0}} \dfrac {\ln (x+e^{y})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$.

По каким направлениям $\varphi$ существует конечный предел:

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \dfrac {1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$.

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \dfrac {xy}{x+y}$.

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \dfrac {x+y}{x^{3}+y^{3}}$.

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \sin \dfrac {1}{xy}$.

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \dfrac {1}{\sin x \sin y}$.

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \ln (1-x^{2}-y^{2})$.

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \dfrac {1}{xyz}$.

Найти точки разрыва следующей функции: $u = \ln \dfrac {1}{\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}$.

Показать, что функция

непрерывна по каждой переменной $x$ и $y$ в отдельности (при фиксированном значении другой переменной), но не является непрерывной по совокупности этих переменных.

Показать, что функция

в точке $O(0,0)$ непрерывна вдоль каждого луча

проходящего через эту точку, т.е. существует

однако эта функция не является непрерывной в точке $(0,0)$.

Исследовать на равномерную непрерывность линейную функцию $u = 2x-3y+5$ в бесконечной плоскости $E^{2} = \left\{ \left|x\right|<+\infty , \left|y\right|<+\infty \right\}$.

Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости $E^{2} = \left\{ \left|x\right|<+\infty , \left|y\right|<+\infty \right\}$ функцию $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Будет ли равномерно непрерывной функция $f(x,y) = \sin \dfrac {\pi }{1-x^{2}-y^{2}}$ в области $x^{2}+y^{2}<1$.

Дана функция $u = \arcsin \dfrac {x}{y}$. Является ли эта функция непрерывной в своей области определения $E$?

Будет ли функция $u$ равномерно непрерывной в области $E$?

Показать, что множество точек разрыва функции $f(x,y) = x\sin \dfrac {1}{y}$, если $y \neq 0$ и $f(x,0) = 0$, не является замкнутым.

Доказать, что если функция $f(x,y)$ в некоторой области $G$ непрерывна по переменной $x$ и равномерно относительно $x$ непрерывна по переменной $y$, то эта функция непрерывна в рассматриваемой области.

Доказать, что если в некоторой области $G$ функция $f(x,y)$ непрерывна по переменной $x$ и удовлетворяет условию Липшица по переменной $y$, т.е.

где $(x,y') \in G$, $(x,y'') \in G$ и $L$ — постоянная, то эта функция непрерывна в данной области.

Доказать, что если функция $f(x,y)$, где $(x,y) \in E$, непрерывна по каждой переменной $x$ и $y$ в отдельности и монотонна по одной из них, то эта функция непрерывна по совокупности переменных в области $E$ (теорема Юнга).

Пусть функция $f(x,y)$ непрерывна в области $a \leqslant x \leqslant A$, $b \leqslant y \leqslant B$, а последовательность функций $\varphi_{n}(x)$ $(n=1,2,\ldots )$ сходится равномерно на $[a,A]$ и удовлетворяет условию $b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B$. Доказать, что последовательность функций

также сходится равномерно на $[a,A]$.

Пусть: 1) функция $f(x,y)$ непрерывна в области $R$ $(a<x<A;\ b<y<B)$; 2) функция $\varphi (x)$ непрерывна в интервале $(a,A)$ и имеет значения, принадлежащие интервалу $(b,B)$. Доказать, что функция

непрерывна в интервале $(a,A)$.

Пусть: 1) функция $f(x,y)$ непрерывна в области $R$ $(a<x<A;\ b<y<B)$; 2) функции $x=\varphi (u,v)$ и $y=\psi (u,v)$ непрерывны в области $R'$ $(a'<u<A';\ b'<v<B')$ и имеют значения, принадлежащие соответственно интервалам $(a,A)$ и $(b,B)$. Доказать, что функция

непрерывна в области $R'$.