Равномерная непрерывность функции

Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых $x$ могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском $\delta$ можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их $y$ отличалась от проектной меньше, чем на $\varepsilon$? Произвести численный расчет, если:

Цилиндрическая муфта, ширина которой $\varepsilon$ и длина $\delta$, надета на кривую $y=\sqrt[3]{x}$ и скользит по ней так, что ось муфты остается параллельной оси $Ox$. Чему должно быть равно $\delta$, чтобы эта муфта свободно прошла участок кривой, определяемый неравенством $-10 \leqslant x \leqslant 10$, если:

В положительном смысле сформулировать на языке «$\varepsilon$--$\delta$» утверждение: функция $f(x)$ непрерывна на некотором множестве (интервале, сегменте и т.п.), но не является равномерно непрерывной на этом множестве.

Показать, что функция $f(x)=1/x$ непрерывна в интервале $(0,1)$, но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Показать, что функция $f(x)=\sin \dfrac {\pi }{x}$ непрерывна и ограничена в интервале $(0,1)$, но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Показать, что функция $f(x)=\sin x^{2}$ непрерывна и ограничена в бесконечном интервале $-\infty <x<+\infty$, но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Доказать, что если функция $f(x)$ определена и непрерывна в области $a \leqslant x<+\infty$ и существует конечный

то $f(x)$ равномерно непрерывна в этой области.

Показать, что неограниченная функция

равномерно непрерывна на всей оси $-\infty <x<+\infty$.

Является ли равномерно непрерывной функция $f(x)=x^{2}$ на интервале:

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию $f(x)=\dfrac {x}{4-x^{2}}$ $(-1 \leqslant x \leqslant 1)$.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию $f(x)=\ln x$ $(0<x<1)$.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию $f(x)=\dfrac {\sin x}{x}$ $(0<x<\pi )$.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию $f(x)=e^{x}\cos \dfrac {1}{x}$ $(0<x<1)$.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию $f(x)=\arctg x$ $(-\infty <x<+\infty )$.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию $f(x)=\sqrt{x}$ $(1 \leqslant x<+\infty )$.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию $f(x)=x\sin x$ $(0 \leqslant x<+\infty )$.

Показать, что функция $f(x)=\dfrac {\left|\sin x\right|}{x}$ равномерно непрерывна на каждом интервале $J_{1}=(-1<x<0)$ и $J_{2}=(0<x<1)$ по отдельности, но не является равномерно непрерывной на их сумме

Доказать, что если функция $f(x)$ равномерно непрерывна на каждом из сегментов $[a,c]$ и $[c,b]$, то эта функция является равномерно непрерывной на суммарном сегменте $[a,b]$.

Для $\varepsilon >0$ найти $\delta =\delta (\varepsilon )$ (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции $f(x)$ на данном промежутке, если:

На сколько равных между собой отрезков достаточно разбить сегмент $[1,10]$, чтобы колебание функции $f(x)=x^{2}$ на каждом из этих отрезков было меньше $0{,}0001$?

Доказать, что сумма и произведение ограниченного числа равномерно непрерывных на интервале $(a,b)$ функций равномерно непрерывны на этом интервале.

Доказать, что если ограниченная монотонная функция $f(x)$ непрерывна на конечном или бесконечном интервале $(a,b)$, то эта функция равномерно непрерывна на интервале $(a,b)$.

Доказать, что если функция $f(x)$ равномерно непрерывна на конечном интервале $(a,b)$, то существуют пределы

Верна ли эта теорема для бесконечного интервала $(a,b)$?

Доказать, что для того, чтобы функцию $f(x)$, определенную и непрерывную на конечном интервале $(a,b)$, можно было продолжить непрерывным образом на сегмент $[a,b]$, необходимо и достаточно, чтобы функция $f(x)$ была равномерно непрерывна на интервале $(a,b)$.

Модулем непрерывности функции $f(x)$ на промежутке $(a,b)$ называется функция

где $x_{1}$ и $x_{2}$ — любые точки из $(a,b)$, связанные условием $\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant \delta$.

Доказать, что для равномерной непрерывности функции $f(x)$ на промежутке $(a,b)$ необходимо и достаточно, чтобы

Получить оценку модуля непрерывности $\omega_{f}(\delta )$ (см. предыдущую задачу) вида

где $C$ и $\alpha$ — константы, если: