Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Найти обратную функцию дробно-линейной функции

В каком случае обратная функция совпадает с данной?

Найти обратную функцию $x=x(y)$, если

Показать, что существует единственная непрерывная функция $y=y(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, удовлетворяющая уравнению Кеплера

Показать, что уравнение $\ctg x=kx$ для каждого вещественного $k$ $(-\infty <k<+\infty )$ имеет в интервале $0<x<\pi$ единственный непрерывный корень $x=x(k)$.

Может ли немонотонная функция $y=f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ иметь однозначную обратную функцию? Рассмотреть пример:

В каком случае функция $y=f(x)$ и обратная функция $x=f^{-1}(y)$ представляют одну и ту же функцию?

Показать, что обратная функция разрывной функции $y=(1+x^{2})\operatorname {sign} x$ есть функция непрерывная.

Доказать, что если функция $f(x)$ определена и строго монотонна на сегменте $[a,b]$ и

то

Определить однозначные непрерывные ветви обратной функции для функции $y=x^{2}$.

Определить однозначные непрерывные ветви обратной функции для функции $y=2x-x^{2}$.

Определить однозначные непрерывные ветви обратной функции для функции $y=\dfrac {2x}{1+x^{2}}$.

Определить однозначные непрерывные ветви обратной функции для функции $y=\sin x$.

Определить однозначные непрерывные ветви обратной функции для функции $y=\cos x$.

Определить однозначные непрерывные ветви обратной функции для функции $y=\tg x$.

Показать, что множество значений непрерывной функции $y=1+\sin x$, соответствующих интервалу $(0<x<2\pi )$, есть сегмент.

Доказать равенство

Доказать равенство

Доказать теорему сложения арктангенсов:

где $\varepsilon =\varepsilon (x,y)$ — функция, принимающая одно из трех значений: $0$, $1$, $-1$.

Для каких значений $y$ при данном значении $x$ возможен разрыв функции $\varepsilon$? Построить на плоскости $Oxy$ соответствующие области непрерывности функции $\varepsilon$ и определить значение этой функции в полученных областях.

Доказать теорему сложения арксинусов:

где

Доказать теорему сложения арккосинусов:

где

Построить графики функций:

Найти функцию $y=y(x)$, заданную уравнениями:

В какой области определена эта функция?

Пусть $x=\ch t$, $y=\sh t$ $(-\infty <t<+\infty )$.

В каких областях изменения параметра $t$ переменную $y$ можно рассматривать как однозначную функцию от переменной $x$? Найти выражения $y$ для различных областей.

Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы система уравнений $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$ $(\alpha <t<\beta )$ определяла бы $y$ как однозначную функцию от $x$?

Рассмотреть пример: $x=\sin^{2}t$, $y=\cos^{2}t$.

При каких условиях две системы уравнений

и

определяют одну и ту же функцию $y=y(x)$?

Пусть функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ определены и непрерывны на интервале $(a,b)$ и $A=\inf \limits_{a<x<b}\varphi (x)$, $B=\sup \limits_{a<x<b}\varphi (x)$. В каком случае существует однозначная функция $f(x)$, определенная в интервале $(A,B)$ и такая, что