Непрерывность функции

Дан график непрерывной функции $y=f(x)$. Для данной точки $a$ и числа $\varepsilon >0$ указать геометрически число $\delta >0$ такое, что $\left|f(x)-f(a)\right|<\varepsilon$ при $\left|x-a\right|<\delta$.

Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку, сторона которой $x_{0}=10$ см. В каких пределах допустимо изменять сторону $x$ этой пластинки, если площадь ее $y=x^{2}$ может отличаться от проектной $y_{0}=100$ см${}^{2}$ не больше чем:

Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С какой абсолютной погрешностью $\Delta$ допустимо измерить ребро $x$ этого куба, чтобы объем его $y$ можно было вычислить с абсолютной погрешностью, не превышающей $\varepsilon$ м${}^{3}$, если:

В какой максимальной окрестности точки $x_{0}=100$ ордината графика функции $y=\sqrt{x}$ отличается от ординаты $y_{0}=10$ меньше чем на $\varepsilon =10^{-n}$ $(n \geqslant 0)$? Определить размеры этой окрестности при $n=0,1,2,3$.

С помощью «$\varepsilon$--$\delta$»-рассуждений доказать, что функция $f(x)=x^{2}$ непрерывна при $x=5$.

Заполнить следующую таблицу:

Пусть $f(x)=\dfrac {1}{x}$ и $\varepsilon =0{,}001$. Для значений $x_{0}=0{,}1$; $0{,}01$; $0{,}001$; найти максимально большие положительные числа $\delta =\delta (\varepsilon ,x_{0})$ такие, чтобы из неравенства $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ вытекало бы неравенство $\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon$.

Можно ли для данного $\varepsilon =0{,}001$ выбрать такое $\delta >0$, которое годилось бы для всех значений $x_{0}$ из интервала $(0,1)$, т.е. такое, что если $\left|x-x_{0}\right|<\delta$, то $\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon$, каково бы ни было значение $x_{0} \in (0,1)$?

Сформулировать на языке «$\varepsilon$--$\delta$» в положительном смысле следующее утверждение: функция $f(x)$, определенная в точке $x_{0}$, не является непрерывной в этой точке.

Пусть для некоторых чисел $\varepsilon >0$ можно найти соответствующие числа $\delta =\delta (\varepsilon ,x_{0})>0$ такие, что $\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon$, если только $\left|x-x_{0}\right|<\delta$.

Можно ли утверждать, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$, если:

Пусть дана функция $f(x)=x+0{,}001\left[x\right]$.

Показать, что для каждого $\varepsilon >0{,}001$ можно подобрать $\delta =\delta (\varepsilon ,x)>0$ такое, что $\left|f(x')-f(x)\right|<\varepsilon$, если только $\left|x'-x\right|<\delta$, а для $0<\varepsilon \leqslant 0{,}001$ для всех значений $x$ этого сделать нельзя.

В каких точках нарушается непрерывность этой функции?

Пусть для каждого достаточно малого числа $\delta >0$ существует $\varepsilon =\varepsilon (\delta ,x_{0})>0$ такое, что если $\left|x-x_{0}\right|<\delta$, то $\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon$, причем $\varepsilon (\delta ,x_{0}) \to 0$ при $\delta \to 0$.

Следует ли отсюда, что функция $f(x)$ ограничена в точке $x_{0}$?

Пусть для каждого числа $\varepsilon >0$ существует число $\delta =\delta (\varepsilon ,x_{0})>0$ такое, что если $\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon$, то $\left|x-x_{0}\right|<\delta$.

Следует ли отсюда, что функция $f(x)$ непрерывна при значении $x=x_{0}$? Какое свойство функции описывается этими неравенствами?

Пусть для каждого числа $\delta >0$ существует число $\varepsilon =\varepsilon (\delta ,x_{0})>0$ такое, что если $\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon$, то $\left|x-x_{0}\right|<\delta$.

Следует ли отсюда, что функция $f(x)$ непрерывна при $x=x_{0}$? Какое свойство функции $f(x)$ описывается данными неравенствами?

Рассмотреть пример:

С помощью «$\varepsilon$--$\delta$»-рассуждений доказать непрерывность следующих функций:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=\left|x\right|$.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=\dfrac {1}{(1+x)^{2}}$, если $x \neq -1$ и $f(-1)$ — произвольно.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=\sin \dfrac {1}{x}$, если $x \neq 0$ и $f(0)$ — произвольно.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=x\sin \dfrac {1}{x}$, если $x \neq 0$ и $f(0)=0$.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=e^{-1/x^{2}}$, если $x \neq 0$ и $f(0)=0$.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=\dfrac {1}{1+e^{1/(x-1)}}$, если $x \neq 1$ и $f(1)$ — произвольно.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=x\ln x^{2}$, если $x \neq 0$ и $f(0)=a$.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=\operatorname {sign} x$.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=\left[x\right]$.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию $f(x)=\sqrt{x}-\left[\sqrt{x}\right]$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {x}{(1+x)^{2}}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {1+x}{1+x^{3}}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {x^{2}-1}{x^{3}-3x+2}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x+1}}{\dfrac {1}{x-1}-\dfrac {1}{x}}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {x}{\sin x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\sqrt{\dfrac {1-\cos \pi x}{4-x^{2}}}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\cos^{2}\dfrac {1}{x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\operatorname {sign}\left(\sin \dfrac {\pi }{x}\right)$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {\cos \dfrac {\pi }{x}}{\cos \dfrac {\pi }{x}}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\arctg \dfrac {1}{x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\sqrt{x}\arctg \dfrac {1}{x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=e^{x+1/x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {1}{\ln x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {1}{1-e^{x/(1-x)}}$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $y=\operatorname {sign}(\sin x)$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $y=x-\left[x\right]$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $y=x\left[x\right]$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $y=\left[x\right]\sin \pi x$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $y=x^{2}-\left[x^{2}\right]$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $x=\left[\dfrac {1}{x}\right]$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $y=x\left[\dfrac {1}{x}\right]$.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции $y=\operatorname {sign}\left(\cos \dfrac {1}{x}\right)$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\left[\dfrac {1}{x^{2}}\right]\operatorname {sign}\left(\sin \dfrac {\pi }{x}\right)$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\ctg \dfrac {\pi }{x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\sec^{2}\dfrac {1}{x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=(-1)^{\left[x^{2}\right]}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\arctg \left(\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{x-1}+\dfrac {1}{x-2}\right)$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {1}{x^{2}\sin^{2}x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\dfrac {1}{\sin (x^{2})}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\ln \dfrac {x^{2}}{(x+1)(x-3)}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=e^{-1/x}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=1-e^{-1/x^{2}}$.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек: $y=\th \dfrac {2x}{1-x^{2}}$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {1}{1+x^{n}}$ $(x \geqslant 0)$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {n^{x}-n^{-x}}{n^{x}+n^{-x}}$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+x^{2n}}$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{n \to \infty }\cos^{2n}x$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {x}{1+(2\sin x)^{2n}}$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{n \to \infty }\left[x\arctg (n\ctg x)\right]$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {x+x^{2}e^{nx}}{1+e^{nx}}$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{t \to +\infty }\dfrac {\ln (1+e^{xt})}{\ln (1+e^{t})}$.

Исследовать на непрерывность и построить график функции $y=\lim \limits_{t \to +\infty }(1+x)\th (tx)$.

Является ли непрерывной функция

Пусть

При каком выборе числа $a$ функция $f(x)$ будет непрерывной?

Исследовать следующие функции на непрерывность и выяснить характер точек разрыва, если:

Функция $d=d(x)$ представляет собой кратчайшее расстояние точки $x$ числовой оси $Ox$ от множества точек ее, состоящего из отрезков $0 \leqslant x \leqslant 1$ и $2 \leqslant x \leqslant 3$. Найти аналитическое выражение функции $d$, построить ее график и исследовать на непрерывность.

Фигура $E$ состоит из равнобедренного треугольника с основанием 1 и высотой 1 и двух прямоугольников с основаниями 1 каждый и высотами, равными 2 и 3 (рис.5). Функция $S=S(y)$ $(0 \leqslant y<+\infty )$ представляет собой площадь части фигуры $E$, заключенной между параллелями $Y=0$ и $Y=y$; а функция $b=b(y)$ $(0 \leqslant y<+\infty )$ есть длина сечения фигуры $E$ параллелью $Y=y$. Найти аналитические выражения функций $S$ и $b$, построить их графики и исследовать на непрерывность.

Доказать, что функция Дирихле

разрывна при каждом значении $x$.

Исследовать на непрерывность функцию

где $\chi (x)$ — функция Дирихле (см. предыдущую задачу). Построить эскиз графика этой функции.

Доказать, что функция Римана

разрывна при каждом рациональном значении $x$ и непрерывна при каждом иррациональном значении $x$. Построить эскиз графика этой функции.

Исследовать на непрерывность функцию $f(x)$, заданную следующим образом:

если $x$ есть несократимая рациональная дробь $\dfrac {m}{n}$ $(n \geqslant 1)$, и

если $x$ — иррациональное число. Построить эскиз графика этой функции.

Функция $f(x)=\dfrac {1-\cos x}{x^{2}}$ определена для всех значений аргумента $x$, кроме $x=0$. Какое значение следует приписать функции $f(x)$ в точке $x=0$, чтобы эта функция была непрерывной при $x=0$?

Показать, что при любом выборе числа $f(1)$ функция $f(x)=\dfrac {1}{1-x}$ будет разрывна при $x=1$.

Функция $f(x)$ теряет смысл при $x=0$. Определить число $f(0)$ так, чтобы $f(x)$ была непрерывна при $x=0$, если:

Обязательно ли будет разрывна в данной точке $x_{0}$ сумма двух функций $f(x)+g(x)$, если:

Обязательно ли произведение двух функций $f(x)g(x)$ терпит разрыв непрерывности в данной точке $x_{0}$, если:

Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная функция?

Построить пример всюду разрывной функции, квадрат которой есть функция непрерывная.

Исследовать на непрерывность функции $f\left[g(x)\right]$ и $g\left[f(x)\right]$, если:

Исследовать на непрерывность сложную функцию $y=f(u)$, где $u=\varphi (x)$, если

и

Доказать, что если $f(x)$ — непрерывная функция, то $F(x)=\left|f(x)\right|$ есть также непрерывная функция.

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна, то функция

где $c$ — любое положительное число, также непрерывна.

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна на сегменте $[a,b]$, то функции

также непрерывны на $[a,b]$.

Доказать, что если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны, то функции

также непрерывны.

Пусть функция $f(x)$ определена и ограничена на сегменте $[a,b]$. Доказать, что функции

непрерывны слева на сегменте $[a,b]$.

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна в промежутке $a \leqslant x<+\infty$ и существует конечный $\lim \limits_{x \to +\infty } f(x)$, то эта функция ограничена в данном промежутке.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна и ограничена в интервале $(x_{0},+\infty )$. Доказать, что, каково бы ни было число $T$, найдется последовательность $x_{n} \to +\infty$ такая, что

Пусть $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ — непрерывные периодические функции, определенные при $-\infty <x<+\infty$ и

Доказать, что $\varphi (x) \equiv \psi (x)$.

Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.

Доказать, что если функция $f(x)$ обладает следующими свойствами: 1) определена и монотонна на сегменте $[a,b]$; 2) в качестве своих значений принимает все числа между $f(a)$ и $f(b)$, то эта функция непрерывна на $[a,b]$.

Показать, что функция $f(x)=\sin \dfrac {1}{x-a}$, если $x \neq a$ и $f(a)=0$, принимает на любом сегменте $[a,b]$ все промежуточные значения между $f(a)$ и $f(b)$, однако не является непрерывной на $[a,b]$.

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$ и $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ — любые значения из этого интервала, то между ними найдется число $\xi$ такое, что

Пусть $f(x)$ непрерывна в интервале $(a,b)$ и

Доказать, что, каково бы ни было число $\lambda$, где $l \leqslant \lambda \leqslant L$, существует последовательность $x_{n} \to a$ $(n=1,2,\ldots )$ такая, что