Банк задач по математике

Задача 645

Считая центральный угол $AOB=x$ бесконечно малой 1-го порядка, определить порядки малости следующих величин:

?

(а)

хорды $AB$ ;

(б)

стрелки $CD$ ;

(в)

площади сектора $AOB$ ;

(г)

площади треугольника $ABC$ ;

(д)

площади трапеции $ABB_{1}A_{1}$ ;

(е)

площади сегмента $ABC$ .

Задача 646

Пусть $o(f(x))$ — произвольная функция, имеющая при $x \to a$ более низкий порядок роста, чем функция $f(x)$ , и $O(f(x))$ — любая функция, имеющая при $x \to a$ тот же порядок роста, что и функция $f(x)$ , где $f(x)>0$ .

Показать, что:

?

(а)

$o(o(f(x)))=o(f(x))$ ;

(б)

$O(o(f(x)))=o(f(x))$ ;

(в)

$o(O(f(x)))=o(f(x))$ ;

(г)

$O(O(f(x)))=O(f(x))$ ;

(д)

$O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))$ .

(е)

Задача 647

(а)(б)(в)

Пусть $x \to 0$ и $n>0$ . Показать, что:

?

(а)

$CO(x^{n})=O(x^{n})$ ( $C \neq 0$ — постоянная);

(б)

$O(x^{n})+O(x^{m})=O(x^{n})$ $(n<m)$ ;

(в)

$O(x^{n})O(x^{m})=O(x^{n+m})$ .

Задача 648

(а)(б)(в)

Пусть $x \to +\infty$ и $n>0$ . Показать, что:

?

(а)

$CO(x^{n})=O(x^{n})$ ;

(б)

$O(x^{n})+O(x^{m})=O(x^{n})$ $(n>m)$ ;

(в)

$O(x^{n})O(x^{m})=O(x^{n+m})$ .

Задача 649

Показать, что символ $\sim$ обладает свойствами: 1) рефлексивности: $\varphi (x) \sim \varphi (x)$ ; 2) симметрии: если $\varphi (x) \sim \psi (x)$ , то $\psi (x) \sim \varphi (x)$ ; 3) транзитивности: если $\varphi (x) \sim \psi (x)$ и $\psi (x) \sim \chi (x)$ , то $\varphi (x) \sim \chi (x)$ .

?

Задача 650

Пусть $x \to 0$ . Доказать следующие равенства:

?

(а)

$2x-x^{2}=O(x)$ ;

(б)

$x\sin \sqrt{x}=O(x^{3/2})$ ;

(в)

$x\sin \dfrac {1}{x}=O(\left|x\right|)$ ;

(г)

$\ln x=o\left(\dfrac {1}{x^{\varepsilon }}\right)$ $(\varepsilon >0)$ ;

(д)

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \sim \sqrt[8]{x}$ ;

(е)

$\arctg \dfrac {1}{x}=O(1)$ ;

(ж)

$(1+x)^{n}=1+nx+o(x)$ .

Задача 651

Пусть $x \to +\infty$ . Доказать следующие равенства:

?

(а)

$2x^{3}-3x^{2}+1=O(x^{3})$ ;

(б)

$\dfrac {x+1}{x^{2}+1}=O\left(\dfrac {1}{x}\right)$ ;

(в)

$x+x^{2}\sin x=O(x^{2})$ ;

(г)

$\dfrac {\arctg x}{1+x^{2}}=O\left(\dfrac {1}{x^{2}}\right)$ ;

(д)

$\ln x=o(x^{\varepsilon })$ $(\varepsilon >0)$ ;

(е)

$x^{p}e^{-x}=o\left(\dfrac {1}{x^{2}}\right)$ ;

(ж)

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \sim \sqrt{x}$ ;

(з)

$x^{2}+x\ln^{100}x \sim x^{2}$ .

Задача 652

(а)(б)(в)

Доказать, что при достаточно большом $x>0$ имеют место неравенства:

?

(а)

(б)

$\ln^{1000}x<\sqrt{x}$ ;

(в)

$x^{10}e^{x}<e^{2x}$ .

Задача 652.1

Доказать асимптотическую формулу

\sqrt{x^{2}+px+q}=x+\frac{p}{2}+O\left(\frac{1}{x}\right)

при $x \to +\infty$ .

?

Задача 653

(а)(б)(в)(г)

Пусть $x \to 0$ . Выделить главный член вида $Cx^{n}$ ( $C$ — постоянная) и определить порядки малости относительно переменной $x$ следующих функций:

?

(а)

$2x-3x^{3}+x^{5}$ ;

(б)

$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$ ;

(в)

$\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x}$ ;

(г)

$\tg x-\sin x$ .

Задача 654

(а)(б)

Пусть $x \to 0$ . Показать, что бесконечно малые

?

(а)

$f(x)=\dfrac {1}{\ln x}$ ;

(б)

$f(x)=e^{-1/x^{2}}$

не сравнимы с бесконечно малой $x^{n}$ $(n>0)$ , каково бы ни было $n$ , т.е. ни при каком $n$ не может иметь место равенство $\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {f(x)}{x^{n}}=k$ , где $k$ — конечная величина, отличная от нуля.

Задача 655

Пусть $x \to 1$ . Выделить главный член вида $C(x-1)^{n}$ и определить порядки малости относительно бесконечно малой $x-1$ следующих функций:

?

(а)

$x^{3}-3x+2$ ;

(б)

$\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}$ ;

(в)

$\ln x$ ;

(г)

$e^{x}-e$ ;

(д)

$x^{x}-1$ .

Задача 656

(а)(б)(в)(г)

Пусть $x \to +\infty$ . Выделить главный член вида $Cx^{n}$ и определить порядки роста относительно бесконечно большой $x$ следующих функций:

?

(а)

$x^{2}+100x+10000$ ;

(б)

$\dfrac {2x^{5}}{x^{3}-3x+1}$ ;

(в)

$\sqrt[3]{x^{3}-x}+\sqrt{x}$ ;

(г)

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}$ .

Задача 657

(а)(б)(в)(г)

Пусть $x \to +\infty$ . Выделить главный член вида $C\left(\dfrac {1}{x}\right)^{n}$ и определить порядки малости относительно бесконечно малой $\dfrac {1}{x}$ следующих функций:

?

(а)

$\dfrac {x+1}{x^{4}+1}$ ;

(б)

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ ;

(в)

$\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ ;

(г)

$\dfrac {1}{x}\sin \dfrac {1}{x}$ .

Задача 658

Пусть $x \to 1$ . Выделить главный член вида $C\left(\dfrac {1}{x-1}\right)^{n}$ и определить порядки роста относительно бесконечно большой $\dfrac {1}{x-1}$ следующих функций:

?

(а)

$\dfrac {x^{2}}{x^{2}-1}$ ;

(б)

$\sqrt{\dfrac {1+x}{1-x}}$ ;

(в)

$\dfrac {x}{\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ;

(г)

$\dfrac {1}{\sin \pi x}$ ;

(д)

$\dfrac {\ln x}{(1-x)^{2}}$ .

Задача 659

(а)(б)

Пусть $x \to +\infty$ и $f_{n}(x)=x^{n}$ $(n=1,2,\ldots )$ .

Доказать, что 1) каждая из функций $f_{n}(x)$ растет быстрее, чем предшествующая функция $f_{n-1}(x)$ ; 2) функция $e^{x}$ растет быстрее, чем каждая из функций $f_{n}(x)$ $(n=1,2,\ldots )$ .

?

(а)

(б)

Задача 660

(а)(б)

Пусть $x \to +\infty$ и

f_{n}(x)=\sqrt[n]{x} \quad (n=1,2,\ldots ).

Доказать, что 1) каждая из функций $f_{n}(x)$ растет медленнее, чем предшествующая функция $f_{n-1}(x)$ ; 2) функция $f(x)=\ln x$ растет медленнее, чем каждая из функций $f_{n}(x)$ $(n=1,2,\ldots )$ .

?

(а)

(б)

Задача 661

Доказать, что какова бы ни была последовательность функций

f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x), \ldots \quad (x_{0}<x<+\infty ),

можно построить функцию $f(x)$ , которая при $x \to +\infty$ растет быстрее, чем каждая из функций $f_{n}(x)$ $(n=1,2,\ldots )$ .

?

O-символика