1.5

Предел функции

[285/99%]
Показать
LaTeX
Задача 381

Показать, что функция, определяемая условиями:

f(x)=n, если x=mn, f(x)=n, \text{ если } x=\frac{m}{n},

где mm и nn — взаимно простые целые числа и n>0n>0, и

f(x)=0, если x иррационально, f(x)=0, \text{ если } x \text{ иррационально},

конечна, но не ограничена в каждой точке xx (т.е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

?
Задача 382

Если функция f(x)f(x) определена и локально ограничена в каждой точке:

?
(а)

интервала,

(б)

сегмента,

то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте? Привести соответствующие примеры.

Задача 383

Показать, что функция f(x)=1+x21+x4f(x)=\dfrac {1+x^{2}}{1+x^{4}} ограничена в интервале −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty.

?
Задача 384

Показать, что функция f(x)=1xcos⁡1xf(x)=\dfrac {1}{x}\cos \dfrac {1}{x} не ограничена в любой окрестности точки x=0x=0, однако не является бесконечно большой при x→0x \to 0.

?
Задача 385

Исследовать на ограниченность функцию

f(x)=ln⁡x⋅sin⁡2πx f(x)=\ln x\cdot \sin ^{2}\frac{\pi }{x}

в интервале 0<x<ε0<x<\varepsilon.

?
Задача 386

Показать, что функция f(x)=x1+xf(x)=\dfrac {x}{1+x} в области 0⩽x<+∞0 \leqslant x<+\infty имеет нижнюю грань m=0m=0 и верхнюю грань M=1M=1.

?
Задача 387

Функция f(x)f(x) определена и монотонно возрастает на сегменте [a,b][a,b]. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?

?
Задача 388

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=x2f(x)=x^{2} на [−2,5)[-2,5).

?
Задача 389

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=11+x2f(x)=\dfrac {1}{1+x^{2}} на (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ).

?
Задача 390

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=2x1+x2f(x)=\dfrac {2x}{1+x^{2}} на (0,+∞)(0,+\infty ).

?
Задача 391

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=x+1xf(x)=x+\dfrac {1}{x} на (0,+∞)(0,+\infty ).

?
Задача 392

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x на (0,+∞)(0,+\infty ).

?
Задача 393

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sin x+\cos x на [0,2π][0,2\pi ].

?
Задача 394

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=2xf(x)=2^{x} на (−1,2)(-1,2).

?
Задача 395

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=[x]f(x)=\left[x\right]:

?
(а)

на (0,2)(0,2)

(б)

на [0,2][0,2].

Задача 396

Определить нижнюю и верхнюю грани функции f(x)=x−[x]f(x)=x-\left[x\right] на [0,1][0,1].

?
Задача 397

Определить колебание функции

f(x)=x2 f(x)=x^{2}

на интервалах:

?
(а)

(1;3)(1;3);

(б)

(1,9;2,1)(1{,}9;2{,}1);

(в)

(1,99;2,01)(1{,}99;2{,}01);

(г)

(1,999;2,001)(1{,}999;2{,}001).

Задача 398

Определить колебание функции

f(x)=arctg⁡1x f(x)=\arctg \frac{1}{x}

на интервалах:

?
(а)

(−1;1)(-1;1);

(б)

(−0,1;0,1)(-0{,}1;0{,}1);

(в)

(−0,01;0,01)(-0{,}01;0{,}01);

(г)

(−0,001;0,001)(-0{,}001;0{,}001).

Задача 399

Пусть m[f]m[f] и M[f]M[f] — соответственно нижняя и верхняя грани функции f(x)f(x) на промежутке (a,b)(a,b).

Доказать, что если f1(x)f_{1}(x) и f2(x)f_{2}(x) — функции, определенные на (a,b)(a,b), то

m[f1+f2]⩾m[f1]+m[f2] m\left[f_{1}+f_{2}\right] \geqslant m\left[f_{1}\right]+m\left[f_{2}\right]

и

M[f1+f2]⩽M[f1]+M[f2]. M\left[f_{1}+f_{2}\right] \leqslant M\left[f_{1}\right]+M\left[f_{2}\right].

Построить примеры функций f1(x)f_{1}(x) и f2(x)f_{2}(x), для которых в последних соотношениях имеет место:

?
(а)

случай равенства

(б)

случай неравенства.

Задача 400

Пусть функция f(x)f(x) определена в области [a,+∞)[a,+\infty ) и ограничена на каждом сегменте [a,b]⊂[a,+∞)[a,b] \subset [a,+\infty ).

Положим:

m(x)=inf⁡a⩽ξ⩽xf(ξ)иM(x)=sup⁡a⩽ξ⩽xf(ξ). m(x)=\inf _{a \leqslant \xi \leqslant x} f(\xi ) \quad \text{и} \quad M(x)=\sup _{a \leqslant \xi \leqslant x} f(\xi ).

Построить графики функций y=m(x)y=m(x) и y=M(x)y=M(x), если:

?
(а)

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x

(б)

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x.

Задача 401

С помощью «ε\varepsilon--δ\delta»-рассуждений доказать, что

lim⁡x→2x2=4. \lim _{x \to 2} x^{2}=4.

Заполнить следующую таблицу:

ε\varepsilon0,10{,}10,010{,}010,0010{,}0010,00010{,}0001…\ldots
δ\delta
?
Задача 402

На языке «EE--δ\delta» доказать, что

lim⁡x→11(1−x)2=+∞. \lim _{x \to 1}\frac{1}{(1-x)^{2}}=+\infty .
?
Задача 403

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:

?
(а)

lim⁡x→af(x)=b\lim \limits_{x \to a} f(x)=b;

(б)

lim⁡x→a−0f(x)=b\lim \limits_{x \to a-0} f(x)=b;

(в)

lim⁡x→a+0f(x)=b\lim \limits_{x \to a+0} f(x)=b.

Задача 404

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:

?
(а)

lim⁡x→∞f(x)=b\lim \limits_{x \to \infty } f(x)=b;

(б)

lim⁡x→−∞f(x)=b\lim \limits_{x \to -\infty } f(x)=b;

(в)

lim⁡x→+∞f(x)=b\lim \limits_{x \to +\infty } f(x)=b.

Задача 405

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:

?
(а)

lim⁡x→af(x)=∞\lim \limits_{x \to a} f(x)=\infty;

(б)

lim⁡x→af(x)=−∞\lim \limits_{x \to a} f(x)=-\infty;

(в)

lim⁡x→af(x)=+∞\lim \limits_{x \to a} f(x)=+\infty;

(г)

lim⁡x→a−0f(x)=∞\lim \limits_{x \to a-0} f(x)=\infty;

(д)

lim⁡x→a−0f(x)=−∞\lim \limits_{x \to a-0} f(x)=-\infty;

(е)

lim⁡x→a−0f(x)=+∞\lim \limits_{x \to a-0} f(x)=+\infty;

(ж)

lim⁡x→a+0f(x)=∞\lim \limits_{x \to a+0} f(x)=\infty;

(з)

lim⁡x→a+0f(x)=−∞\lim \limits_{x \to a+0} f(x)=-\infty;

(и)

lim⁡x→a+0f(x)=+∞\lim \limits_{x \to a+0} f(x)=+\infty.

Задача 406

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:

?
(а)

lim⁡x→∞f(x)=∞\lim \limits_{x \to \infty } f(x)=\infty;

(б)

lim⁡x→∞f(x)=−∞\lim \limits_{x \to \infty } f(x)=-\infty;

(в)

lim⁡x→∞f(x)=+∞\lim \limits_{x \to \infty } f(x)=+\infty;

(г)

lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim \limits_{x \to -\infty } f(x)=\infty;

(д)

lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim \limits_{x \to -\infty } f(x)=-\infty;

(е)

lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim \limits_{x \to -\infty } f(x)=+\infty;

(ж)

lim⁡x→+∞f(x)=∞\lim \limits_{x \to +\infty } f(x)=\infty;

(з)

lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim \limits_{x \to +\infty } f(x)=-\infty;

(и)

lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim \limits_{x \to +\infty } f(x)=+\infty.

Задача 407

Пусть y=f(x)y=f(x). Сформулировать с помощью неравенств, что значит:

?
(а)

y→b−0y \to b-0 при x→ax \to a;

(б)

y→b−0y \to b-0 при x→a−0x \to a-0;

(в)

y→b−0y \to b-0 при x→a+0x \to a+0;

(г)

y→b+0y \to b+0 при x→ax \to a;

(д)

y→b+0y \to b+0 при x→a−0x \to a-0;

(е)

y→b+0y \to b+0 при x→a+0x \to a+0;

(ж)

y→b−0y \to b-0 при x→∞x \to \infty;

(з)

y→b−0y \to b-0 при x→−∞x \to -\infty;

(и)

y→b−0y \to b-0 при x→+∞x \to +\infty;

(к)

y→b+0y \to b+0 при x→∞x \to \infty;

(л)

y→b+0y \to b+0 при x→−∞x \to -\infty;

(м)

y→b+0y \to b+0 при x→+∞x \to +\infty.

Привести соответствующие примеры.

Задача 408

Пусть

P(x)=a0xn+a1xn−1+…+an, P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n},

где aia_{i} (i=0,1,…,n; n>1,a0≠0)(i=0,1,\ldots ,n; \ n>1, a_{0} \neq 0) — вещественные числа.

Доказать, что lim⁡x→∞∣P(x)∣=+∞\lim \limits_{x \to \infty }\left|P(x)\right|=+\infty.

?
Задача 409

Пусть

R(x)=a0xn+a1xn−1+…+anb0xm+b1xm−1+…+bm, R(x)=\frac{a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}}{b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+\ldots +b_{m}},

где a0≠0a_{0} \neq 0 и b0≠0b_{0} \neq 0.

Доказать, что

lim⁡x→∞R(x)={∞,если n>m;a0b0,если n=m;0,если n<m. \lim _{x \to \infty } R(x)=\begin{cases} \infty , & \text{если } n>m; \\ \dfrac {a_{0}}{b_{0}}, & \text{если } n=m; \\ 0, & \text{если } n<m. \end{cases}
?
Задача 410

Пусть R(x)=P(x)Q(x)R(x)=\dfrac {P(x)}{Q(x)}, где P(x)P(x) и Q(x)Q(x) — многочлены от xx и

P(a)=Q(a)=0. P(a)=Q(a)=0.

Какие возможные значения имеет выражение

lim⁡x→aP(x)Q(x)? \lim _{x \to a}\frac{P(x)}{Q(x)}?
?
Задача 411

Найти значения следующих выражений:

?
(а)

lim⁡x→0x2−12x2−x−1\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {x^{2}-1}{2x^{2}-x-1};

(б)

lim⁡x→1x2−12x2−x−1\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {x^{2}-1}{2x^{2}-x-1};

(в)

lim⁡x→∞x2−12x2−x−1\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac {x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}.

Задача 412

Найти lim⁡x→0(1+x)(1+2x)(1+3x)−1x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}.

?
Задача 413

Найти lim⁡x→0(1+x)5−(1+5x)x2+x5\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {(1+x)^{5}-(1+5x)}{x^{2}+x^{5}}.

?
Задача 414

Найти lim⁡x→0(1+mx)n−(1+nx)mx2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}} (mm и nn — натуральные числа).

?
Задача 415

Найти lim⁡x→∞(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^{5}}.

?
Задача 416

Найти lim⁡x→∞(2x−3)20(3x+2)30(2x+1)50\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac {(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}.

?
Задача 417

Найти

lim⁡x→∞(x+1)(x2+1)…(xn+1)[(nx)n+1]n+12. \lim _{x \to \infty }\frac{(x+1)(x^{2}+1)\ldots (x^{n}+1)}{\left[(nx)^{n}+1\right]^{\frac{n+1}{2}}}.
?
Задача 418

Найти lim⁡x→3x2−5x+6x2−8x+15\lim \limits_{x \to 3}\dfrac {x^{2}-5x+6}{x^{2}-8x+15}.

?
Задача 419

Найти lim⁡x→1x3−3x+2x4−4x+3\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {x^{3}-3x+2}{x^{4}-4x+3}.

?
Задача 420

Найти lim⁡x→1x4−3x+2x5−4x+3\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {x^{4}-3x+2}{x^{5}-4x+3}.

?
Задача 421

Найти lim⁡x→2x3−2x2−4x+8x4−8x2+16\lim \limits_{x \to 2}\dfrac {x^{3}-2x^{2}-4x+8}{x^{4}-8x^{2}+16}.

?
Задача 422

Найти lim⁡x→−1x3−2x−1x5−2x−1\lim \limits_{x \to -1}\dfrac {x^{3}-2x-1}{x^{5}-2x-1}.

?
Задача 423

Найти lim⁡x→2(x2−x−2)20(x3−12x+16)10\lim \limits_{x \to 2}\dfrac {(x^{2}-x-2)^{20}}{(x^{3}-12x+16)^{10}}.

?
Задача 424

Найти lim⁡x→1x+x2+…+xn−nx−1\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {x+x^{2}+\ldots +x^{n}-n}{x-1}.

?
Задача 424.1

Найти lim⁡x→1x100−2x+1x50−2x+1\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}.

?
Задача 425

Найти lim⁡x→1xm−1xn−1\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {x^{m}-1}{x^{n}-1} (mm и nn — натуральные числа).

?
Задача 426

Найти lim⁡x→a(xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2\lim \limits_{x \to a}\dfrac {(x^{n}-a^{n})-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^{2}} (nn — натуральное число).

?
Задача 427

Найти lim⁡x→1xn+1−(n+1)x+n(x−1)2\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^{2}} (nn — натуральное число).

?
Задача 428

Найти lim⁡x→1(m1−xm−n1−xn)\lim \limits_{x \to 1}\left(\dfrac {m}{1-x^{m}}-\dfrac {n}{1-x^{n}}\right) (mm и nn — натуральные числа).

?
Задача 429

Найти

lim⁡n→∞1n[(x+an)+(x+2an)+…+(x+(n−1)an)]. \lim _{n \to \infty }\frac{1}{n}\left[\left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots +\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)\right].
?
Задача 430

Найти

lim⁡n→∞1n[(x+an)2+(x+2an)2+…+(x+(n−1)an)2]. \lim _{n \to \infty }\frac{1}{n}\left[\left(x+\frac{a}{n}\right)^{2}+\left(x+\frac{2a}{n}\right)^{2}+\ldots +\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)^{2}\right].
?
Примечание.
?

См. пример 2.

Задача 431

Найти

lim⁡n→∞12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2. \lim _{n \to \infty }\frac{1^{2}+3^{2}+\ldots +(2n-1)^{2}}{2^{2}+4^{2}+\ldots +(2n)^{2}}.
?
Задача 432

Найти

lim⁡n→∞(13+23+…+n3n3−n4). \lim _{n \to \infty }\left(\frac{1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}}{n^{3}}-\frac{n}{4}\right).
?
Примечание.
?

См. пример 3.

Задача 433

Найти

lim⁡n→∞13+43+73+…+(3n−2)3[1+4+7+…+(3n−2)]2. \lim _{n \to \infty }\frac{1^{3}+4^{3}+7^{3}+\ldots +(3n-2)^{3}}{\left[1+4+7+\ldots +(3n-2)\right]^{2}}.
?
Задача 434

Определить площадь криволинейного треугольника OAMOAM, ограниченного параболой y=b(x/a)2y=b(x/a)^{2}, осью OxOx и прямой x=ax=a, рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямоугольников с основаниями a/na/n, где n→∞n \to \infty.

?
Задача 435

Найти предел

lim⁡x→+∞x+x+xx+1. \lim _{x \to +\infty }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}.
?
Задача 436

Найти предел

lim⁡x→+∞x+x3+x42x+1. \lim _{x \to +\infty }\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}.
?
Задача 437

Найти предел lim⁡x→41+2x−3x−2\lim \limits_{x \to 4}\dfrac {\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}.

?
Задача 438

Найти предел lim⁡x→−81−x−32+x3\lim \limits_{x \to -8}\dfrac {\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}.

?
Задача 439

Найти предел lim⁡x→ax−a+x−ax2−a2\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} (a>0)(a>0).

?
Задача 440

Найти предел lim⁡x→3x+13−2x+1x2−9\lim \limits_{x \to 3}\dfrac {\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^{2}-9}.

?
Задача 441

Найти предел lim⁡x→−2x−63+2x3+8\lim \limits_{x \to -2}\dfrac {\sqrt[3]{x-6}+2}{x^{3}+8}.

?
Задача 442

Найти предел lim⁡x→16x4−2x−4\lim \limits_{x \to 16}\dfrac {\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}.

?
Задача 443

Найти предел lim⁡x→89+2x−5x3−2\lim \limits_{x \to 8}\dfrac {\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}.

?
Задача 444

Найти предел lim⁡x→01+xn−1x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt[n]{1+x}-1}{x} (nn — целое число).

?
Задача 445

Найти предел lim⁡x→01−2x−x2−(1+x)x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x}.

?
Задача 446

Найти предел lim⁡x→08+3x−x23−2x+x2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt[3]{8+3x-x^{2}}-2}{x+x^{2}}.

?
Задача 447

Найти предел lim⁡x→027+x3−27−x3x+2x43\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^{4}}}.

?
Задача 448

Найти предел lim⁡x→01+x−1−x1+x3−1−x3\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}.

?
Задача 449

Найти предел lim⁡x→7x+2−x+203x+94−2\lim \limits_{x \to 7}\dfrac {\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}.

?
Задача 450

Найти предел

lim⁡x→01+x33−1+x441−1−x2. \lim _{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+\dfrac {x}{3}}-\sqrt[4]{1+\dfrac {x}{4}}}{1-\sqrt{1-\dfrac {x}{2}}}.
?
Задача 451

Найти предел lim⁡x→0x21+5x5−(1+x)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {x^{2}}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}.

?
Задача 452

Найти предел lim⁡x→01+αxm−1+βxnx\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x} (mm и nn — целые числа).

?
Задача 453

Найти предел lim⁡x→01+αxm⋅1+βxn−1x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt[m]{1+\alpha x}\cdot \sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x} (mm и nn — целые числа).

?
Задача 454

Пусть P(x)=a1x+a2x2+…+anxnP(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n} и mm — целое число.

Доказать, что

lim⁡x→01+P(x)m−1x=a1m. \lim _{x \to 0}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\frac{a_{1}}{m}.
?
Задача 455

Найти предел lim⁡x→1xm−1xn−1\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1} (mm и nn — целые числа).

?
Задача 455.1

Найти предел

lim⁡x→1(31−x−31−x3). \lim _{x \to 1}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right).
?
Задача 456

Найти предел

lim⁡x→1(1−x)(1−x3)…(1−xn)(1−x)n−1. \lim _{x \to 1}\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\ldots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}.
?
Задача 457

Найти предел lim⁡x→+∞[(x+a)(x+b)−x]\lim \limits_{x \to +\infty }\left[\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right].

?
Задача 458

Найти предел lim⁡x→+∞(x+x+x−x)\lim \limits_{x \to +\infty }\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right).

?
Задача 459

Найти предел lim⁡x→+∞x(x2+2x−2x2+x+x)\lim \limits_{x \to +\infty } x\left(\sqrt{x^{2}+2x}-2\sqrt{x^{2}+x}+x\right).

?
Задача 460

Найти предел

lim⁡x→+0(1x+1x+1x−1x−1x+1x). \lim _{x \to +0}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right).
?
Задача 461

Найти предел

lim⁡x→∞(x3+x2+13−x3−x2+13). \lim _{x \to \infty }\left(\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+1}-\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}+1}\right).
?
Задача 462

Найти предел

lim⁡x→+∞(x3+3x23−x2−2x). \lim _{x \to +\infty }\left(\sqrt[3]{x^{3}+3x^{2}}-\sqrt{x^{2}-2x}\right).
?
Задача 463

Найти предел lim⁡x→∞x1/3[(x+1)2/3−(x−1)2/3]\lim \limits_{x \to \infty } x^{1/3}\left[(x+1)^{2/3}-(x-1)^{2/3}\right].

?
Задача 464

Найти предел lim⁡x→+∞x3/2(x+2−2x+1+x)\lim \limits_{x \to +\infty } x^{3/2}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right).

?
Задача 465

Найти предел

lim⁡x→+∞[(x−a1)…(x−an)n−x]. \lim _{x \to +\infty }\left[\sqrt[n]{(x-a_{1})\ldots (x-a_{n})}-x\right].
?
Задача 466

Найти предел

lim⁡x→+∞(x−x2−1)n+(x+x2−1)nxn \lim _{x \to +\infty }\frac{\left(x-\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}+\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}}{x^{n}}

(nn — натуральное число).

?
Задача 467

Найти предел

lim⁡x→0(1+x2+x)n−(1+x2−x)nx \lim _{x \to 0}\frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)^{n}-\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)^{n}}{x}

(nn — натуральное число).

?
Задача 468

Изучить поведение корней x1x_{1} и x2x_{2} квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0, у которого коэффициент aa стремится к нулю, а коэффициенты bb и cc постоянны, причем b≠0b \neq 0.

?
Задача 469

Найти постоянные aa и bb из условия

lim⁡x→∞(x2+1x+1−ax−b)=0. \lim _{x \to \infty }\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-ax-b\right)=0.
?
Задача 470

Найти постоянные aia_{i} и bib_{i} (i=1,2)(i=1,2) из условий:

lim⁡x→−∞(x2−x+1−a1x−b1)=0 \lim _{x \to -\infty }\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a_{1}x-b_{1}\right)=0

и

lim⁡x→+∞(x2−x+1−a2x−b2)=0. \lim _{x \to +\infty }\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a_{2}x-b_{2}\right)=0.
?
Задача 471

Найти предел lim⁡x→0sin⁡5xx\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sin 5x}{x}.

?
Задача 472

Найти предел lim⁡x→∞sin⁡xx\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac {\sin x}{x}.

?
Задача 473

Найти предел lim⁡x→πsin⁡mxsin⁡nx\lim \limits_{x \to \pi }\dfrac {\sin mx}{\sin nx} (mm и nn — целые числа).

?
Задача 474

Найти предел lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {1-\cos x}{x^{2}}.

?
Задача 474.1

Найти предел lim⁡x→0tg⁡xx\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\tg x}{x}.

?
Задача 474.2

Найти предел lim⁡x→0xctg⁡3x\lim \limits_{x \to 0} x\ctg 3x.

?
Задача 475

Найти предел lim⁡x→0tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\tg x-\sin x}{\sin^{3}x}.

?
Задача 476

Найти предел lim⁡x→0sin⁡5x−sin⁡3xsin⁡x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sin 5x-\sin 3x}{\sin x}.

?
Задача 477

Найти предел lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡3xx2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\cos x-\cos 3x}{x^{2}}.

?
Задача 478

Найти предел lim⁡x→01+sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡px−cos⁡px\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px}.

?
Задача 479

Найти предел lim⁡x→π/4tg⁡2xtg⁡(π4−x)\lim \limits_{x \to \pi /4}\tg 2x\tg \left(\dfrac {\pi }{4}-x\right).

?
Задача 480

Найти предел lim⁡x→1(1−x)tg⁡πx2\lim \limits_{x \to 1}(1-x)\tg \dfrac {\pi x}{2}.

?
Задача 481

Доказать равенства:

?
(а)

lim⁡x→asin⁡x=sin⁡a\lim \limits_{x \to a}\sin x=\sin a;

(б)

lim⁡x→acos⁡x=cos⁡a\lim \limits_{x \to a}\cos x=\cos a;

(в)

lim⁡x→atg⁡x=tg⁡a\lim \limits_{x \to a}\tg x=\tg a

(a≠2n−12π; n=0,±1,±2,…)\left(a \neq \dfrac {2n-1}{2}\pi ; \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \right).

Задача 482

Найти предел lim⁡x→asin⁡x−sin⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\sin x-\sin a}{x-a}.

?
Задача 483

Найти предел lim⁡x→acos⁡x−cos⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\cos x-\cos a}{x-a}.

?
Задача 484

Найти предел lim⁡x→atg⁡x−tg⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\tg x-\tg a}{x-a} (a≠(2k+1)π2, k=0,±1,…)\left(a \neq (2k+1)\dfrac {\pi }{2}, \ k=0,\pm 1,\ldots \right).

?
Задача 485

Найти предел lim⁡x→actg⁡x−ctg⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\ctg x-\ctg a}{x-a} (a≠kπ(a \neq k\pi, где kk — целое)).

?
Задача 486

Найти предел lim⁡x→asec⁡x−sec⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\sec x-\sec a}{x-a} \left(a \neq (2k+1)\dfrac {\pi }{2}, \ k — целое\right).

?
Задача 487

Найти предел lim⁡x→acosec⁡x−cosec⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\operatorname {cosec}x-\operatorname {cosec}a}{x-a} (a≠kπ(a \neq k\pi, где kk — целое)).

?
Задача 488

Найти предел

lim⁡x→0sin⁡(a+2x)−2sin⁡(a+x)+sin⁡ax2. \lim _{x \to 0}\frac{\sin (a+2x)-2\sin (a+x)+\sin a}{x^{2}}.
?
Задача 489

Найти предел

lim⁡x→0cos⁡(a+2x)−2cos⁡(a+x)+cos⁡ax2. \lim _{x \to 0}\frac{\cos (a+2x)-2\cos (a+x)+\cos a}{x^{2}}.
?
Задача 490

Найти предел

lim⁡x→0tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡ax2 \lim _{x \to 0}\frac{\tg (a+2x)-2\tg (a+x)+\tg a}{x^{2}}

\left(a \neq (2k+1)\dfrac {\pi }{2}, \ k — целое\right).

?
Задача 491

Найти предел

lim⁡x→0ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡ax2 \lim _{x \to 0}\frac{\ctg (a+2x)-2\ctg (a+x)+\ctg a}{x^{2}}

(a≠kπ(a \neq k\pi, где kk — целое)).

?
Задача 492

Найти предел

lim⁡x→0sin⁡(a+x)sin⁡(a+2x)−sin⁡2ax. \lim _{x \to 0}\frac{\sin (a+x)\sin (a+2x)-\sin ^{2}a}{x}.
?
Задача 493

Найти предел

lim⁡x→π/62sin⁡2x+sin⁡x−12sin⁡2x−3sin⁡x+1. \lim _{x \to \pi /6}\frac{2\sin ^{2}x+\sin x-1}{2\sin ^{2}x-3\sin x+1}.
?
Задача 494

Найти предел lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1−cos⁡x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {1-\cos x\cos 2x\cos 3x}{1-\cos x}.

?
Задача 495

Найти предел lim⁡x→π/3sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x\lim \limits_{x \to \pi /3}\dfrac {\sin \left(x-\dfrac {\pi }{3}\right)}{1-2\cos x}.

?
Задача 496

Найти предел lim⁡x→π/3tg⁡3x−3tg⁡xcos⁡(x+π6)\lim \limits_{x \to \pi /3}\dfrac {\tg^{3}x-3\tg x}{\cos \left(x+\dfrac {\pi }{6}\right)}.

?
Задача 497

Найти предел lim⁡x→0tg⁡(a+x)tg⁡(a−x)−tg⁡2ax2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\tg (a+x)\tg (a-x)-\tg^{2}a}{x^{2}}.

?
Задача 498

Найти предел lim⁡x→π/41−ctg⁡3x2−ctg⁡x−ctg⁡3x\lim \limits_{x \to \pi /4}\dfrac {1-\ctg^{3}x}{2-\ctg x-\ctg^{3}x}.

?
Задача 499

Найти предел lim⁡x→01+tg⁡x−1+sin⁡xx3\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt{1+\tg x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}}.

?
Задача 500

Найти предел lim⁡x→0x21+xsin⁡x−cos⁡x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {x^{2}}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}.

?
Задача 501

Найти предел lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡x3sin⁡2x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin^{2}x}.

?
Задача 502

Найти предел lim⁡x→01−cos⁡x21−cos⁡x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt{1-\cos x^{2}}}{1-\cos x}.

?
Задача 503

Найти предел lim⁡x→01−cos⁡x1−cos⁡(x)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos (\sqrt{x})}.

?
Задача 504

Найти предел lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x3x2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^{2}}.

?
Задача 505

Найти предел lim⁡x→+∞(sin⁡x+1−sin⁡x)\lim \limits_{x \to +\infty }\left(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x}\right).

?
Задача 506

Найти предел

lim⁡(1+x2+x)(1−x)/(1−x) \lim \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{(1-\sqrt{x})/(1-x)}

при:

?
(а)

x→0x \to 0;

(б)

x→1x \to 1;

(в)

x→+∞x \to +\infty.

Задача 507

Найти предел lim⁡x→∞(x+22x−1)x2\lim \limits_{x \to \infty }\left(\dfrac {x+2}{2x-1}\right)^{x^{2}}.

?
Задача 508

Найти предел lim⁡x→∞(3x2−x+12x2+x+1)x21−x\lim \limits_{x \to \infty }\left(\dfrac {3x^{2}-x+1}{2x^{2}+x+1}\right)^{\frac{x^{2}}{1-x}}.

?
Задача 509

Найти предел lim⁡n→∞(sin⁡n2πn3n+1)\lim \limits_{n \to \infty }\left(\sin^{n}\dfrac {2\pi n}{3n+1}\right).

?
Задача 510

Найти предел lim⁡x→π/4+0[tg⁡(π8+x)]tg⁡2x\lim \limits_{x \to \pi /4+0}\left[\tg \left(\dfrac {\pi }{8}+x\right)\right]^{\tg 2x}.

?
Задача 511

Найти предел lim⁡x→∞(x2−1x2+1)x−1x+1\lim \limits_{x \to \infty }\left(\dfrac {x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}}.

?
Задача 512

Найти предел lim⁡x→∞(x2+1x2−2)x2\lim \limits_{x \to \infty }\left(\dfrac {x^{2}+1}{x^{2}-2}\right)^{x^{2}}.

?
Задача 513

Найти предел lim⁡x→∞(x2+2x−12x2−3x−2)1/x\lim \limits_{x \to \infty }\left(\dfrac {x^{2}+2x-1}{2x^{2}-3x-2}\right)^{1/x}.

?
Задача 514

Найти предел lim⁡x→01−2xx\lim \limits_{x \to 0}\sqrt[x]{1-2x}.

?
Задача 515

Найти предел lim⁡x→∞(x+ax−a)x\lim \limits_{x \to \infty }\left(\dfrac {x+a}{x-a}\right)^{x}.

?
Задача 516

Найти предел lim⁡x→+∞(a1x+b1a2x+b2)x\lim \limits_{x \to +\infty }\left(\dfrac {a_{1}x+b_{1}}{a_{2}x+b_{2}}\right)^{x} (a1>0,a2>0)(a_{1}>0, a_{2}>0).

?
(а)
(б)
(в)
Задача 517

Найти предел lim⁡x→0(1+x2)ctg⁡2x\lim \limits_{x \to 0}(1+x^{2})^{\ctg^{2}x}.

?
Задача 518

Найти предел lim⁡x→1(1+sin⁡πx)ctg⁡πx\lim \limits_{x \to 1}(1+\sin \pi x)^{\ctg \pi x}.

?
Задача 519

Найти предел lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1/sin⁡x\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {1+\tg x}{1+\sin x}\right)^{1/\sin x}.

?
Задача 519.1

Найти предел lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1/sin⁡3x\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {1+\tg x}{1+\sin x}\right)^{1/\sin^{3}x}.

?
Задача 520

Найти предел lim⁡x→a(sin⁡xsin⁡a)1x−a\lim \limits_{x \to a}\left(\dfrac {\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}.

?
Задача 521

Найти предел lim⁡x→0(cos⁡xcos⁡2x)1x2\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {\cos x}{\cos 2x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}.

?
Задача 522

Найти предел lim⁡x→π/4(tg⁡x)tg⁡2x\lim \limits_{x \to \pi /4}(\tg x)^{\tg 2x}.

?
Задача 523

Найти предел lim⁡x→π/2(sin⁡x)tg⁡x\lim \limits_{x \to \pi /2}(\sin x)^{\tg x}.

?
Задача 524

Найти предел lim⁡x→0[tg⁡(π4−x)]ctg⁡x\lim \limits_{x \to 0}\left[\tg \left(\dfrac {\pi }{4}-x\right)\right]^{\ctg x}.

?
Задача 525

Найти предел lim⁡x→∞(sin⁡1x+cos⁡1x)x\lim \limits_{x \to \infty }\left(\sin \dfrac {1}{x}+\cos \dfrac {1}{x}\right)^{x}.

?
Задача 526

Найти предел lim⁡x→0cos⁡xx\lim \limits_{x \to 0}\sqrt[x]{\cos \sqrt{x}}.

?
Задача 527

Найти предел lim⁡n→∞(n+1n−1)n\lim \limits_{n \to \infty }\left(\dfrac {n+1}{n-1}\right)^{n}.

?
Задача 528

Найти предел lim⁡n→∞cos⁡nxn\lim \limits_{n \to \infty }\cos^{n}\dfrac {x}{\sqrt{n}}.

?
Задача 529

Найти предел lim⁡x→0ln⁡(1+x)x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\ln (1+x)}{x}.

?
Задача 530

Найти предел lim⁡x→+∞x[ln⁡(x+1)−ln⁡x]\lim \limits_{x \to +\infty } x\left[\ln (x+1)-\ln x\right].

?
Задача 531

Найти предел lim⁡x→aln⁡x−ln⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\ln x-\ln a}{x-a} (a>0)(a>0).

?
Задача 532

Найти предел lim⁡x→+∞[sin⁡ln⁡(x+1)−sin⁡ln⁡x]\lim \limits_{x \to +\infty }\left[\sin \ln (x+1)-\sin \ln x\right].

?
Задача 533

Найти предел lim⁡x→+∞ln⁡(x2−x+1)ln⁡(x10+x+1)\lim \limits_{x \to +\infty }\dfrac {\ln (x^{2}-x+1)}{\ln (x^{10}+x+1)}.

?
Задача 534

Найти предел lim⁡x→∞(lg⁡100+x21+100x2)\lim \limits_{x \to \infty }\left(\lg \dfrac {100+x^{2}}{1+100x^{2}}\right).

?
Задача 535

Найти предел lim⁡x→+∞ln⁡(2+e3x)ln⁡(3+e2x)\lim \limits_{x \to +\infty }\dfrac {\ln (2+e^{3x})}{\ln (3+e^{2x})}.

?
Задача 536

Найти предел

lim⁡x→+∞ln⁡(1+x+x3)ln⁡(1+x3+x4). \lim _{x \to +\infty }\frac{\ln \left(1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)}{\ln \left(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}\right)}.
?
Задача 537

Найти предел

lim⁡h→0log⁡(x+h)+log⁡(x−h)−2log⁡xh2(x>0). \lim _{h \to 0}\frac{\log (x+h)+\log (x-h)-2\log x}{h^{2}} \quad (x>0).
?
Задача 538

Найти предел

lim⁡x→0ln⁡tg⁡(π4+ax)sin⁡bx. \lim _{x \to 0}\frac{\ln \tg \left(\dfrac {\pi }{4}+ax\right)}{\sin bx}.
?
Задача 539

Найти предел lim⁡x→0ln⁡cos⁡axln⁡cos⁡bx\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\ln \cos ax}{\ln \cos bx}.

?
Задача 540

Найти предел

lim⁡x→0(ln⁡nx+1−n2x2x+1−x2). \lim _{x \to 0}\left(\ln \frac{nx+\sqrt{1-n^{2}x^{2}}}{x+\sqrt{1-x^{2}}}\right).
?
Задача 540.1

Найти предел

lim⁡x→0ln⁡(nx+1−n2x2)ln⁡(x+1−x2). \lim _{x \to 0}\frac{\ln \left(nx+\sqrt{1-n^{2}x^{2}}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{1-x^{2}}\right)}.
?
Задача 541

Найти предел lim⁡x→0ax−1x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {a^{x}-1}{x} (a>0)(a>0).

?
Задача 542

Найти предел lim⁡x→aax−xax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {a^{x}-x^{a}}{x-a} (a>0)(a>0).

?
Задача 543

Найти предел lim⁡x→axx−aax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {x^{x}-a^{a}}{x-a} (a>0)(a>0).

?
Задача 544

Найти предел lim⁡x→0(x+ex)1/x\lim \limits_{x \to 0}(x+e^{x})^{1/x}.

?
Задача 545

Найти предел lim⁡x→0(1+x⋅2x1+x⋅3x)1/x2\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {1+x\cdot 2^{x}}{1+x\cdot 3^{x}}\right)^{1/x^{2}}.

?
Задача 545.1

Найти предел lim⁡x→0(1+sin⁡xcos⁡αx1+sin⁡xcos⁡βx)ctg⁡3x\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {1+\sin x\cos \alpha x}{1+\sin x\cos \beta x}\right)^{\ctg^{3}x}.

?
Задача 545.2

Найти предел lim⁡x→1sin⁡(πxα)sin⁡(πxβ)\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {\sin (\pi x^{\alpha })}{\sin (\pi x^{\beta })}.

?
Задача 545.3

Найти предел lim⁡x→1sin⁡2(π⋅2x)ln⁡[cos⁡(π⋅2x)]\lim \limits_{x \to 1}\dfrac {\sin^{2}(\pi \cdot 2^{x})}{\ln \left[\cos (\pi \cdot 2^{x})\right]}.

?
Задача 546

Найти предел lim⁡n→∞tg⁡n(π4+1n)\lim \limits_{n \to \infty }\tg^{n}\left(\dfrac {\pi }{4}+\dfrac {1}{n}\right).

?
Задача 547

Найти предел lim⁡x→0eαx−eβxsin⁡αx−sin⁡βx\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin \alpha x-\sin \beta x}.

?
Задача 548

Найти предел lim⁡x→axα−aαxβ−aβ\lim \limits_{x \to a}\dfrac {x^{\alpha }-a^{\alpha }}{x^{\beta }-a^{\beta }} (a>0)(a>0).

?
Задача 549

Найти предел lim⁡x→bax−abx−b\lim \limits_{x \to b}\dfrac {a^{x}-a^{b}}{x-b} (a>0)(a>0).

?
Задача 550

Найти предел lim⁡h→0ax+h+ax−h−2axh2\lim \limits_{h \to 0}\dfrac {a^{x+h}+a^{x-h}-2a^{x}}{h^{2}} (a>0)(a>0).

?
Задача 551

Найти предел

lim⁡x→∞(x+a)x+a(x+b)x+b(x+a+b)2x+a+b. \lim _{x \to \infty }\frac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}.
?
Задача 552

Найти предел lim⁡n→∞n(xn−1)\lim \limits_{n \to \infty } n\left(\sqrt[n]{x}-1\right) (x>0)(x>0).

?
Задача 553

Найти предел lim⁡n→∞n2(xn−xn+1)\lim \limits_{n \to \infty } n^{2}\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right) (x>0)(x>0).

?
Задача 554

Найти предел lim⁡n→∞(a−1+bna)n\lim \limits_{n \to \infty }\left(\dfrac {a-1+\sqrt[n]{b}}{a}\right)^{n} (a>0,b>0)(a>0, b>0).

?
Задача 555

Найти предел lim⁡n→∞(an+bn2)n\lim \limits_{n \to \infty }\left(\dfrac {\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n} (a>0,b>0)(a>0, b>0).

?
Задача 556

Найти предел lim⁡x→0(ax+bx+cx3)1/x\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{1/x} (a>0,b>0,c>0)(a>0, b>0, c>0).

?
Задача 557

Найти предел lim⁡x→0(ax+1+bx+1+cx+1a+b+c)1/x\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}\right)^{1/x} (a>0,b>0,c>0)(a>0, b>0, c>0).

?
Задача 558

Найти предел lim⁡x→0(ax2+bx2ax+bx)1/x\lim \limits_{x \to 0}\left(\dfrac {a^{x^{2}}+b^{x^{2}}}{a^{x}+b^{x}}\right)^{1/x} (a>0,b>0)(a>0, b>0).

?
Задача 559

Найти предел lim⁡x→0ax2−bx2(ax−bx)2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {a^{x^{2}}-b^{x^{2}}}{(a^{x}-b^{x})^{2}} (a>0,b>0)(a>0, b>0).

?
Задача 560

Найти предел lim⁡x→aaax−axaax−xa\lim \limits_{x \to a}\dfrac {a^{a^{x}}-a^{x^{a}}}{a^{x}-x^{a}} (a>0)(a>0).

?
Задача 561

Найти предел lim⁡x→−∞ln⁡(1+3x)ln⁡(1+2x)\lim \limits_{x \to -\infty }\dfrac {\ln (1+3^{x})}{\ln (1+2^{x})} и lim⁡x→+∞ln⁡(1+3x)ln⁡(1+2x)\lim \limits_{x \to +\infty }\dfrac {\ln (1+3^{x})}{\ln (1+2^{x})}.

?
(а)
(б)
Задача 562

Найти предел lim⁡x→+∞ln⁡(1+2x)ln⁡(1+3x)\lim \limits_{x \to +\infty }\ln (1+2^{x})\ln \left(1+\dfrac {3}{x}\right).

?
Задача 563

Найти предел lim⁡x→1(1−x)log⁡x2\lim \limits_{x \to 1}(1-x)\log_{x}2.

?
Задача 564

Доказать, что

lim⁡x→+∞xnax=0(a>1,n>0). \lim _{x \to +\infty }\frac{x^{n}}{a^{x}}=0 \quad (a>1, n>0).
?
Задача 565

Доказать, что

lim⁡x→+∞log⁡axxε=0(a>1,ε>0). \lim _{x \to +\infty }\frac{\log _{a}x}{x^{\varepsilon }}=0 \quad (a>1, \varepsilon >0).
?
Задача 566

Найти пределы lim⁡x→0ln⁡(x2+ex)ln⁡(x4+e2x)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\ln (x^{2}+e^{x})}{\ln (x^{4}+e^{2x})} и lim⁡x→+∞ln⁡(x2+ex)ln⁡(x4+e2x)\lim \limits_{x \to +\infty }\dfrac {\ln (x^{2}+e^{x})}{\ln (x^{4}+e^{2x})}.

?
(а)
(б)
Задача 567

Найти предел

lim⁡x→0ln⁡(1+xex)ln⁡(x+1+x2). \lim _{x \to 0}\frac{\ln (1+xe^{x})}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}.
?
Задача 568

Найти предел

lim⁡x→+∞[(x+2)ln⁡(x+2)−2(x+1)ln⁡(x+1)+xln⁡x]. \lim _{x \to +\infty }\left[(x+2)\ln (x+2)-2(x+1)\ln (x+1)+x\ln x\right].
?
Задача 569

Найти предел

lim⁡x→+0[ln⁡(xln⁡a)⋅ln⁡(ln⁡axln⁡xa)](a>1). \lim _{x \to +0}\left[\ln (x\ln a)\cdot \ln \left(\frac{\ln ax}{\ln \dfrac {x}{a}}\right)\right] \quad (a>1).
?
Задача 570

Найти предел

lim⁡x→+∞(ln⁡x+x2+1x+x2−1⋅ln⁡−2x+1x−1). \lim _{x \to +\infty }\left(\ln \frac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\cdot \ln ^{-2}\frac{x+1}{x-1}\right).
?
Задача 571

Найти предел lim⁡x→01+xsin⁡x−1ex2−1\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^{2}}-1}.

?
Задача 572

Найти предел lim⁡x→0cos⁡(xex)−cos⁡(xe−x)x3\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\cos (xe^{x})-\cos (xe^{-x})}{x^{3}}.

?
Задача 573

Найти предел lim⁡x→0(2ex/(x+1)−1)(x2+1)/x\lim \limits_{x \to 0}\left(2e^{x/(x+1)}-1\right)^{(x^{2}+1)/x}.

?
Задача 574

Найти предел lim⁡x→1(2−x)sec⁡(πx/2)\lim \limits_{x \to 1}(2-x)^{\sec (\pi x/2)}.

?
Задача 575

Найти предел

lim⁡x→π/21−sin⁡α+βx(1−sin⁡αx)(1−sin⁡βx)(α>0,β>0). \lim _{x \to \pi /2}\frac{1-\sin ^{\alpha +\beta }x}{\sqrt{(1-\sin ^{\alpha }x)(1-\sin ^{\beta }x)}} \quad (\alpha >0, \beta >0).
?
Задача 576

Найти пределы:

?
(а)
(б)

lim⁡x→0ch⁡x−1x2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\ch x-1}{x^{2}};

(в)

lim⁡x→0th⁡xx\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\th x}{x} (см. пример 340).

Задача 576.1

Найти предел lim⁡x→0sh⁡2xln⁡(ch⁡3x)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\sh^{2}x}{\ln (\ch 3x)} (см. пример 340).

?
Задача 577

Найти предел

lim⁡x→+∞sh⁡x2+x−sh⁡x2−xch⁡x. \lim _{x \to +\infty }\frac{\sh \sqrt{x^{2}+x}-\sh \sqrt{x^{2}-x}}{\ch x}.
?
Задача 577.1

Найти пределы:

?
(а)

lim⁡x→ash⁡x−sh⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\sh x-\sh a}{x-a};

(б)

lim⁡x→ach⁡x−ch⁡ax−a\lim \limits_{x \to a}\dfrac {\ch x-\ch a}{x-a}.

Задача 577.2

Найти предел lim⁡x→0ln⁡ch⁡xln⁡cos⁡x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\ln \ch x}{\ln \cos x}.

?
Задача 578

Найти предел lim⁡x→+∞(x−ln⁡ch⁡x)\lim \limits_{x \to +\infty }(x-\ln \ch x).

?
Задача 579

Найти предел lim⁡x→0esin⁡2x−esin⁡xth⁡x\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {e^{\sin 2x}-e^{\sin x}}{\th x}.

?
Задача 580

Найти предел

lim⁡n→∞(ch⁡πncos⁡πn)n2. \lim _{n \to \infty }\left(\frac{\ch \dfrac {\pi }{n}}{\cos \dfrac {\pi }{n}}\right)^{n^{2}}.
?
Задача 581

Найти предел lim⁡x→∞arcsin⁡1−x1+x\lim \limits_{x \to \infty }\arcsin \dfrac {1-x}{1+x}.

?
Задача 582

Найти предел lim⁡x→+∞arccos⁡(x2+x−x)\lim \limits_{x \to +\infty }\arccos \left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right).

?
Задача 583

Найти предел lim⁡x→2arctg⁡x−4(x−2)2\lim \limits_{x \to 2}\arctg \dfrac {x-4}{(x-2)^{2}}.

?
Задача 584

Найти предел lim⁡x→−∞arctg⁡x1+x2\lim \limits_{x \to -\infty }\arctg \dfrac {x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

?
Задача 585

Найти предел lim⁡h→0arctg⁡(x+h)−arctg⁡xh\lim \limits_{h \to 0}\dfrac {\arctg (x+h)-\arctg x}{h}.

?
Задача 586

Найти предел

lim⁡x→0ln⁡1+x1−xarctg⁡(1+x)−arctg⁡(1−x). \lim _{x \to 0}\frac{\ln \dfrac {1+x}{1-x}}{\arctg (1+x)-\arctg (1-x)}.
?
Задача 587

Найти предел

lim⁡n→∞[narctg⁡1n(x2+1)+x⋅tg⁡n(π4+x2n)]. \lim _{n \to \infty }\left[n\arctg \frac{1}{n(x^{2}+1)+x}\cdot \tg ^{n}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2n}\right)\right].
?
Задача 588

Найти предел lim⁡x→∞x(π4−arctg⁡xx+1)\lim \limits_{x \to \infty } x\left(\dfrac {\pi }{4}-\arctg \dfrac {x}{x+1}\right).

?
Задача 589

Найти предел lim⁡x→+∞x(π2−arcsin⁡xx2+1)\lim \limits_{x \to +\infty } x\left(\dfrac {\pi }{2}-\arcsin \dfrac {x}{\sqrt{x^{2}+1}}\right).

?
Задача 590

Найти предел lim⁡n→∞[1+(−1)nn]cosec⁡(π1+n2)\lim \limits_{n \to \infty }\left[1+\dfrac {(-1)^{n}}{n}\right]^{\operatorname {cosec}(\pi \sqrt{1+n^{2}})}.

?
Задача 591

Найти предел lim⁡x→01x100e−1/x2\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {1}{x^{100}}e^{-1/x^{2}}.

?
Задача 592

Найти предел lim⁡x→+0xln⁡x\lim \limits_{x \to +0} x\ln x.

?
Задача 593

Найти пределы:

?
(а)

lim⁡x→−∞(x2+x−x)\lim \limits_{x \to -\infty }\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right);

(б)

lim⁡x→+∞(x2+x−x)\lim \limits_{x \to +\infty }\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right).

Задача 594

Найти пределы:

?
(а)
(б)

lim⁡x→+∞(1+x+x2−1−x+x2)\lim \limits_{x \to +\infty }\left(\sqrt{1+x+x^{2}}-\sqrt{1-x+x^{2}}\right).

Задача 594.1

Найти h=lim⁡x→+∞f(x)−lim⁡x→−∞f(x)h=\lim \limits_{x \to +\infty } f(x)-\lim \limits_{x \to -\infty } f(x), если

f(x)=ln⁡x+x2+a2x+x2+b2. f(x)=\ln \frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{x+\sqrt{x^{2}+b^{2}}}.
?
Задача 595

Найти пределы:

?
(а)

lim⁡x→1−0arctg⁡11−x\lim \limits_{x \to 1-0}\arctg \dfrac {1}{1-x};

(б)

lim⁡x→1+0arctg⁡11−x\lim \limits_{x \to 1+0}\arctg \dfrac {1}{1-x}.

Задача 596

Найти пределы:

?
(а)

lim⁡x→−∞11+e1/x\lim \limits_{x \to -\infty }\dfrac {1}{1+e^{1/x}};

(б)

lim⁡x→+011+e1/x\lim \limits_{x \to +0}\dfrac {1}{1+e^{1/x}}.

Задача 597

Найти пределы:

?
(а)

lim⁡x→−∞ln⁡(1+ex)x\lim \limits_{x \to -\infty }\dfrac {\ln (1+e^{x})}{x};

(б)

lim⁡x→+∞ln⁡(1+ex)x\lim \limits_{x \to +\infty }\dfrac {\ln (1+e^{x})}{x}.

Задача 598

Доказать, что:

?
(а)

2x1+x→2+0\dfrac {2x}{1+x} \to 2+0 при x→−∞x \to -\infty;

(б)

2x1+x→2−0\dfrac {2x}{1+x} \to 2-0 при x→+∞x \to +\infty.

Задача 599

Доказать, что:

?
(а)

2x→1−02^{x} \to 1-0 при x→−0x \to -0;

(б)

2x→1+02^{x} \to 1+0 при x→+0x \to +0.

Задача 600

Найти f(1)f(1), f(1−0)f(1-0), f(1+0)f(1+0), если f(x)=x+[x2]f(x)=x+\left[x^{2}\right].

?
Задача 601

Найти f(n)f(n), f(n−0)f(n-0), f(n+0)f(n+0) (n=0,±1,…)(n=0,\pm 1,\ldots ), если f(x)=sign⁡(sin⁡πx)f(x)=\operatorname {sign}(\sin \pi x).

?
Задача 602

Найти lim⁡x→0xcos⁡1x\lim \limits_{x \to 0} x\sqrt{\cos \dfrac {1}{x}}.

?
Задача 603

Найти lim⁡x→0x[1x]\lim \limits_{x \to 0} x\left[\dfrac {1}{x}\right].

?
Задача 604

Найти lim⁡n→∞sin⁡(πn2+1)\lim \limits_{n \to \infty }\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right).

?
Задача 605

Найти lim⁡n→∞sin⁡2(πn2+n)\lim \limits_{n \to \infty }\sin^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right).

?
Задача 606

Найти lim⁡n→∞sin⁡sin⁡…sin⁡x⏟n раз\lim \limits_{n \to \infty }\underbrace{\sin \sin \ldots \sin x}_{n \text{ раз}}.

?
Задача 607

Если lim⁡x→aφ(x)=A\lim \limits_{x \to a}\varphi (x)=A и lim⁡x→Aψ(x)=B\lim \limits_{x \to A}\psi (x)=B, то следует ли отсюда, что

lim⁡x→aψ(φ(x))=B? \lim _{x \to a}\psi (\varphi (x))=B?

Рассмотреть пример: φ(x)=1/q\varphi (x)=1/q при x=p/qx=p/q, где pp и qq — взаимно простые целые числа, и φ(x)=0\varphi (x)=0 при xx иррациональном; ψ(x)=1\psi (x)=1 при x≠0x \neq 0 и ψ(x)=0\psi (x)=0 при x=0x=0; причем x→0x \to 0.

?
Задача 608

Доказать теоремы Коши: если функция f(x)f(x) определена в интервале (a,+∞)(a,+\infty ) и ограничена в каждом конечном интервале (a,b)(a,b), то

?
(а)

lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞[f(x+1)−f(x)]\lim \limits_{x \to +\infty }\dfrac {f(x)}{x}=\lim \limits_{x \to +\infty }\left[f(x+1)-f(x)\right];

(б)

lim⁡x→+∞[f(x)]1/x=lim⁡x→+∞f(x+1)f(x)\lim \limits_{x \to +\infty }\left[f(x)\right]^{1/x}=\lim \limits_{x \to +\infty }\dfrac {f(x+1)}{f(x)} (f(x)⩾C>0)(f(x) \geqslant C>0),

предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют.

Задача 609

Доказать, что если:

  1. функция f(x)f(x) определена в области x>ax>a;

  2. ограничена в каждой конечной области a<x<ba<x<b;

  3. lim⁡x→+∞[f(x+1)−f(x)]=∞\lim \limits_{x \to +\infty }\left[f(x+1)-f(x)\right]=\infty, то

lim⁡x→+∞f(x)x=∞. \lim _{x \to +\infty }\frac{f(x)}{x}=\infty .
?
Задача 610

Доказать, что если: 1) функция f(x)f(x) определена в области x>ax>a; 2) ограничена в каждой конечной области a<x<ba<x<b; 3) для некоторого натурального nn существует конечный или бесконечный предел

lim⁡x→+∞f(x+1)−f(x)xn=l, \lim _{x \to +\infty }\frac{f(x+1)-f(x)}{x^{n}}=l,

то

lim⁡x→+∞f(x)xn+1=ln+1. \lim _{x \to +\infty }\frac{f(x)}{x^{n+1}}=\frac{l}{n+1}.
?
Задача 611

Доказать, что:

?
(а)

lim⁡n→∞(1+xn)n=ex\lim \limits_{n \to \infty }\left(1+\dfrac {x}{n}\right)^{n}=e^{x};

(б)

lim⁡n→∞(1+x+x22!+…+xnn!)=ex\lim \limits_{n \to \infty }\left(1+x+\dfrac {x^{2}}{2!}+\ldots +\dfrac {x^{n}}{n!}\right)=e^{x}.

Задача 612

Доказать, что

lim⁡n→∞nsin⁡(2πe n!)=2π. \lim _{n \to \infty } n\sin (2\pi e\, n!)=2\pi .
?
Примечание.
?

Использовать формулу (∗)(*) примера 72 (задача 72 этого же раздела).

Задача 613

Построить график функций:

?
(а)

y=1−x100y=1-x^{100};

(б)

y=lim⁡n→∞(1−x2n)y=\lim \limits_{n \to \infty }(1-x^{2n}) (−1⩽x⩽1)(-1 \leqslant x \leqslant 1).

Задача 614

Построить график функций:

?
(а)

y=x1001+x100y=\dfrac {x^{100}}{1+x^{100}} (x⩾0)(x \geqslant 0);

(б)

y=lim⁡n→∞xn1+xny=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {x^{n}}{1+x^{n}} (x⩾0)(x \geqslant 0).

Задача 615

Построить график функции y=lim⁡n→∞xn−x−nxn+x−ny=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {x^{n}-x^{-n}}{x^{n}+x^{-n}} (x≠0)(x \neq 0).

?
Задача 616

Построить график функции x=lim⁡n→∞x2+1n2x=\lim \limits_{n \to \infty }\sqrt{x^{2}+\dfrac {1}{n^{2}}}.

?
Задача 617

Построить график функции y=lim⁡n→∞1+xnny=\lim \limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+x^{n}} (x⩾0)(x \geqslant 0).

?
Задача 618

Построить график функции y=lim⁡n→∞1+xn+(x22)nny=\lim \limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\dfrac {x^{2}}{2}\right)^{n}} (x⩾0)(x \geqslant 0).

?
Задача 619

Построить график функции y=lim⁡n→∞xn+222n+x2ny=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {x^{n+2}}{\sqrt{2^{2n}+x^{2n}}} (x⩾0)(x \geqslant 0).

?
Задача 620

Построить график функции:

?
(а)

y=sin⁡1000xy=\sin^{1000}x;

(б)

y=lim⁡n→∞sin⁡2nxy=\lim \limits_{n \to \infty }\sin^{2n}x.

Задача 621

Построить график функции y=lim⁡n→∞ln⁡(2n+xn)ny=\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {\ln (2^{n}+x^{n})}{n} (x⩾0)(x \geqslant 0).

?
Задача 622

Построить график функции y=lim⁡n→∞(x−1)arctg⁡xny=\lim \limits_{n \to \infty }(x-1)\arctg x^{n}.

?
Задача 623

Построить график функции y=lim⁡n→∞1+en(x+1)ny=\lim \limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+e^{n(x+1)}}.

?
Задача 624

Построить график функции y=lim⁡t→+∞x+etx1+etxy=\lim \limits_{t \to +\infty }\dfrac {x+e^{tx}}{1+e^{tx}}.

?
Задача 625

Построить график функции y=lim⁡t→x1t−xln⁡txy=\lim \limits_{t \to x}\dfrac {1}{t-x}\ln \dfrac {t}{x} (x>0)(x>0).

?
Задача 625.1

Построить график функции

y=lim⁡n→∞xtg⁡2nπx4+xtg⁡2nπx4+1(x⩾0). y=\lim _{n \to \infty }\frac{x\tg ^{2n}\dfrac {\pi x}{4}+\sqrt{x}}{\tg ^{2n}\dfrac {\pi x}{4}+1} \quad (x \geqslant 0).
?
Задача 625.2

Построить график функции y=lim⁡n→∞xsign⁡∣sin⁡2(n!πx)∣y=\lim \limits_{n \to \infty } x\operatorname {sign}\left|\sin^{2}(n!\pi x)\right|.

?
Задача 625.3

Построить кривую

lim⁡n→∞∣x∣n+∣y∣nn=1. \lim _{n \to \infty }\sqrt[n]{\left|x\right|^{n}+\left|y\right|^{n}}=1.
?
Задача 626

Асимптотой (наклонной) для кривой y=f(x)y=f(x) называется прямая y=kx+by=kx+b, для которой

lim⁡x→∞[f(x)−(kx+b)]=0. \lim _{x \to \infty }\left[f(x)-(kx+b)\right]=0.

Используя это уравнение, вывести необходимые и достаточные условия существования асимптоты.

?
Задача 627

Найти асимптоты и построить следующие кривые:

?
(а)

y=x3x2+x−2y=\dfrac {x^{3}}{x^{2}+x-2};

(б)

y=x2+xy=\sqrt{x^{2}+x};

(в)

y=x2−x33y=\sqrt[3]{x^{2}-x^{3}};

(г)

y=xexex−1y=\dfrac {xe^{x}}{e^{x}-1};

(д)

y=ln⁡(1+ex)y=\ln (1+e^{x});

(е)

y=x+arccos⁡1xy=x+\arccos \dfrac {1}{x}.

(ж)
Задача 628

Найти предел

lim⁡n→∞[xn+1(n+1)!+xn+2(n+2)!+…+x2n(2n)!]. \lim _{n \to \infty }\left[\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}+\ldots +\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right].
?
Задача 629

Найти предел

lim⁡n→∞[(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2n)], если ∣x∣<1. \lim _{n \to \infty }\left[(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})\ldots (1+x^{2^{n}})\right], \text{ если } \left|x\right|<1.
?
Задача 630

Найти предел

lim⁡n→∞(cos⁡x2cos⁡x4…cos⁡x2n). \lim _{n \to \infty }\left(\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\ldots \cos \frac{x}{2^{n}}\right).
?
Задача 631

Пусть lim⁡x→0φ(x)ψ(x)=1\lim \limits_{x \to 0}\dfrac {\varphi (x)}{\psi (x)}=1, где ψ(x)>0\psi (x)>0, и пусть αmn→0\alpha_{mn} \to 0 (m=1,2,…)(m=1,2,\ldots ) при n→∞n \to \infty, т.е. ∣αmn∣<ε\left|\alpha_{mn}\right|<\varepsilon при m=1,2,…m=1,2,\ldots и n>N(ε)n>N(\varepsilon ).

Доказать, что

lim⁡n→∞[φ(α1n)+φ(α2n)+…+φ(αnn)]=lim⁡n→∞[ψ(α1n)+ψ(α2n)+…+ψ(αnn)],(1) \lim _{n \to \infty }\left[\varphi (\alpha _{1n})+\varphi (\alpha _{2n})+\ldots +\varphi (\alpha _{nn})\right]=\lim _{n \to \infty }\left[\psi (\alpha _{1n})+\psi (\alpha _{2n})+\ldots +\psi (\alpha _{nn})\right], \tag {1}

предполагая, что предел в правой части равенства (1) существует.

?
Задача 632

Пользуясь предыдущей теоремой (задача 631), найти

lim⁡n→∞∑k=1n(1+kn23−1). \lim _{n \to \infty }\sum _{k=1}^{n}\left(\sqrt[3]{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right).
?
Задача 633

Пользуясь предыдущей теоремой (задача 631), найти

lim⁡n→∞∑k=1nsin⁡kan2. \lim _{n \to \infty }\sum _{k=1}^{n}\sin \frac{ka}{n^{2}}.
?
Задача 634

Пользуясь предыдущей теоремой (задача 631), найти

lim⁡n→∞∑k=1n(ak/n2−1)(a>0). \lim _{n \to \infty }\sum _{k=1}^{n}\left(a^{k/n^{2}}-1\right) \quad (a>0).
?
Задача 635

Пользуясь предыдущей теоремой (задача 631), найти

lim⁡n→∞∏k=1n(1+kn2). \lim _{n \to \infty }\prod _{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right).
?
Задача 636

Пользуясь предыдущей теоремой (задача 631), найти

lim⁡n→∞∏k=1ncos⁡kann. \lim _{n \to \infty }\prod _{k=1}^{n}\cos \frac{ka}{n\sqrt{n}}.
?
Задача 637

Последовательность xnx_{n} задана равенствами:

x1=a,x2=a+a,x3=a+a+a,…(a>0). x_{1}=\sqrt{a}, \quad x_{2}=\sqrt{a+\sqrt{a}}, \quad x_{3}=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}, \quad \ldots \quad (a>0).

Найти lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}.

?
Задача 637.1

Последовательность xnx_{n} задается следующим образом:

x1=0,x2=1, x_{1}=0, \quad x_{2}=1, xn=12(xn−1+xn−2)(n=2,3,…). x_{n}=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) \quad (n=2,3,\ldots ).

Найти lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}.

?
Задача 637.2

Последовательность yny_{n} определяется с помощью последовательности xnx_{n} соотношениями:

y0=x0,yn=xn−αxn−1(n=1,2,…), y_{0}=x_{0}, \quad y_{n}=x_{n}-\alpha x_{n-1} \quad (n=1,2,\ldots ),

где ∣α∣<1\left|\alpha \right|<1. Найти lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}, если lim⁡n→∞yn=b\lim \limits_{n \to \infty } y_{n}=b.

?
Задача 637.3

Последовательность xnx_{n} определяется следующим образом:

x0=1,xn=11+xn−1(n=1,2,…). x_{0}=1, \quad x_{n}=\frac{1}{1+x_{n-1}} \quad (n=1,2,\ldots ).

Найти lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}.

?
Примечание.
?

Рассмотреть разности между xnx_{n} и корнями уравнения x=11+xx=\dfrac {1}{1+x}.

Задача 638

Последовательность функций yn=yn(x)y_{n}=y_{n}(x) (0⩽x⩽1)(0 \leqslant x \leqslant 1) определяется следующим образом:

y1=x2,yn=x2−yn−122(n=2,3,…). y_{1}=\frac{x}{2}, \quad y_{n}=\frac{x}{2}-\frac{y_{n-1}^{2}}{2} \quad (n=2,3,\ldots ).

Найти lim⁡n→∞yn\lim \limits_{n \to \infty } y_{n}.

?
Задача 639

Последовательность функций yn=yn(x)y_{n}=y_{n}(x) (0⩽x⩽1)(0 \leqslant x \leqslant 1) определяется следующим образом:

y1=x2,yn=x2+yn−122(n=2,3,…). y_{1}=\frac{x}{2}, \quad y_{n}=\frac{x}{2}+\frac{y_{n-1}^{2}}{2} \quad (n=2,3,\ldots ).

Найти lim⁡n→∞yn\lim \limits_{n \to \infty } y_{n}.

?
Задача 639.1

Пусть x>0x>0 и yn=yn−1(2−xyn−1)y_{n}=y_{n-1}(2-xy_{n-1}) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ). Доказать, что если yi>0y_{i}>0 (i=0,1)(i=0,1), то последовательность yny_{n} сходится и

lim⁡n→∞yn=1x. \lim _{n \to \infty } y_{n}=\frac{1}{x}.
?
Примечание.
?

Изучить разность 1x−yn\dfrac {1}{x}-y_{n}.

Задача 639.2

Для нахождения y=xy=\sqrt{x}, где x>0x>0, применяется следующий процесс: y0>0y_{0}>0 — произвольно,

yn=12(yn−1+xyn−1)(n=1,2,…). y_{n}=\frac{1}{2}\left(y_{n-1}+\frac{x}{y_{n-1}}\right) \quad (n=1,2,\ldots ).

Доказать, что

lim⁡n→∞yn=x. \lim _{n \to \infty } y_{n}=\sqrt{x}.
?
Примечание.
?

Использовать формулу

yn−xyn+x=(yn−1−xyn−1+x)2(n⩾1). \frac{y_{n}-\sqrt{x}}{y_{n}+\sqrt{x}}=\left(\frac{y_{n-1}-\sqrt{x}}{y_{n-1}+\sqrt{x}}\right)^{2} \quad (n \geqslant 1).
Задача 640

Для приближенного решения уравнения Кеплера

x−εsin⁡x=m(0<ε<1)(1) x-\varepsilon \sin x=m \quad (0<\varepsilon <1) \tag {1}

полагают

x0=m,x1=m+εsin⁡x0,…,xn=m+εsin⁡xn−1,… x_{0}=m, \quad x_{1}=m+\varepsilon \sin x_{0}, \quad \ldots , \quad x_{n}=m+\varepsilon \sin x_{n-1}, \quad \ldots

(метод последовательных приближений).

Доказать, что существует ξ=lim⁡n→∞xn\xi =\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и число ξ\xi является единственным корнем уравнения (1).

?
Задача 641

Если ωh[f]\omega_{h}[f] есть колебание функции f(x)f(x) на сегменте ∣x−ξ∣⩽h\left|x-\xi \right| \leqslant h (h>0)(h>0), то число

ω0[f]=lim⁡h→0ωh[f] \omega _{0}[f]=\lim _{h \to 0}\omega _{h}[f]

называется колебанием функции f(x)f(x) в точке ξ\xi.

Определить колебание функции f(x)f(x) в точке x=0x=0, если f(0)=0f(0)=0 и при x≠0x \neq 0 имеем:

?
(а)

f(x)=sin⁡1xf(x)=\sin \dfrac {1}{x};

(б)

f(x)=1x2cos⁡21xf(x)=\dfrac {1}{x^{2}}\cos^{2}\dfrac {1}{x};

(в)

f(x)=x(2+sin⁡1x)f(x)=x\left(2+\sin \dfrac {1}{x}\right);

(г)

f(x)=1πarctg⁡1xf(x)=\dfrac {1}{\pi }\arctg \dfrac {1}{x};

(д)

f(x)=∣sin⁡x∣xf(x)=\dfrac {\left|\sin x\right|}{x};

(е)

f(x)=11+e1/xf(x)=\dfrac {1}{1+e^{1/x}};

(ж)

f(x)=(1+∣x∣)1/xf(x)=(1+\left|x\right|)^{1/x}.

Задача 642

Пусть f(x)=sin⁡1xf(x)=\sin \dfrac {1}{x}.

Доказать, что, каково бы ни было число α\alpha, удовлетворяющее условию −1⩽α⩽1-1 \leqslant \alpha \leqslant 1, можно выбрать последовательность xn→0x_{n} \to 0 (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) такую, что lim⁡n→∞f(xn)=α\lim \limits_{n \to \infty } f(x_{n})=\alpha.

?
Задача 643

Определить

l=lim‾⁡x→0f(x)иL=lim‾⁡x→0f(x), l=\varliminf _{x \to 0} f(x) \quad \text{и} \quad L=\varlimsup _{x \to 0} f(x),

если:

?
(а)

f(x)=sin⁡21x+2πarctg⁡1xf(x)=\sin^{2}\dfrac {1}{x}+\dfrac {2}{\pi }\arctg \dfrac {1}{x};

(б)

f(x)=(2−x2)cos⁡1xf(x)=(2-x^{2})\cos \dfrac {1}{x};

(в)

f(x)=(1+cos⁡21x)sec⁡2(1/x)f(x)=\left(1+\cos^{2}\dfrac {1}{x}\right)^{\sec^{2}(1/x)}.

Задача 644

Определить

l=lim‾⁡x→∞f(x)иL=lim‾⁡x→∞f(x), l=\varliminf _{x \to \infty } f(x) \quad \text{и} \quad L=\varlimsup _{x \to \infty } f(x),

если:

?
(а)

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x;

(б)

f(x)=x2cos⁡2xf(x)=x^{2}\cos^{2}x;

(в)

f(x)=2sin⁡x2f(x)=2^{\sin x^{2}};

(г)

f(x)=x1+x2sin⁡2xf(x)=\dfrac {x}{1+x^{2}\sin^{2}x} (x⩾0)(x \geqslant 0).