Банк задач по математике

Задача 237

Построить график линейной однородной функции $y=ax$ при $a=0$ ; $\dfrac {1}{2}$ ; $1$ ; $2$ ; $-1$ .

?

Задача 238

Построить график линейной функции $y=x+b$ при $b=0,1,2,-1$ .

?

Задача 239

(а)(б)(в)

Построить графики линейных функций:

?

(а)

$y=2x+3$ ;

(б)

$y=2-0{,}1x$ ;

(в)

$y=-\dfrac {x}{2}-1$ .

Задача 240

Температурный коэффициент линейного расширения железа $\alpha =1{,}2\cdot 10^{-6}$ . Построить в подходящем масштабе график функции

l=f(T) \quad (-40^{\circ } \leqslant T \leqslant 100^{\circ }),

где $T$ — температура в градусах и $l$ — длина железного стержня при температуре $T$ , если $l=100$ см при $T=0^{\circ }$ .

?

Задача 241

На числовой оси движутся две материальные точки. Первая в начальный момент времени $t=0$ находилась на 20 м влево от начала координат и имела скорость $v_{1}=10$ м/с; вторая при $t=0$ находилась на 30 м вправо от точки $O$ и имела скорость $v_{2}=-20$ м/с. Построить графики уравнений движений этих точек и найти время и место их встречи.

?

Задача 242

(а)(б)(в)

Построить графики целых рациональных функций 2-й степени (параболы):

?

(а)

$y=ax^{2}$ при $a=1, \dfrac {1}{2}, 2, -1$ ;

(б)

$y=(x-x_{0})^{2}$ при $x_{0}=0,1,2,-1$ ;

(в)

$y=x^{2}+c$ при $c=0,1,2,-1$ .

Задача 243

(а)(б)(в)(г)

Построить график квадратного трехчлена

y=ax^{2}+bx+c,

приведя его к виду

y=y_{0}+a(x-x_{0})^{2}.

Рассмотреть примеры:

?

(а)

$y=8x-2x^{2}$ ;

(б)

$y=x^{2}-3x+2$ ;

(в)

$y=-x^{2}+2x-1$ ;

(г)

$y=\dfrac {1}{2}x^{2}+x+1$ .

Задача 244

Материальная точка брошена под углом $\alpha =45^{\circ }$ к плоскости горизонта с начальной скоростью $v_{0}=600$ м/с. Построить график траектории движения и найти наибольшую высоту подъема и дальность полета (приближенно считать $g \approx 10$ м/с ${}^{2}$ ; сопротивлением воздуха пренебречь).

?

Задача 245

Построить график целой рациональной функции степени выше второй: $y=x^{3}+1$ .

?

Задача 246

Построить график целой рациональной функции степени выше второй: $y=(1-x^{2})(2+x)$ .

?

Задача 247

Построить график целой рациональной функции степени выше второй: $y=x^{3}-x^{4}$ .

?

Задача 248

Построить график целой рациональной функции степени выше второй: $y=x(a-x)^{2}(a+x)^{3}$ $(a>0)$ .

?

Задача 249

Построить график дробно-линейной функции (гиперболы) $y=\dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 250

Построить график дробно-линейной функции (гиперболы) $y=\dfrac {1-x}{1+x}$ .

?

Задача 251

Построить график дробно-линейной функции

y=\frac{ax+b}{cx+d} \quad (ad-bc \neq 0, \ c \neq 0),

приведя ее к виду

y=y_{0}+\frac{m}{x-x_{0}}.

Рассмотреть пример $y=\dfrac {3x+2}{2x-3}$ .

?

Задача 252

Газ при давлении $p_{0}=1$ кгс/м ${}^{2}$ занимает объем $v_{0}=12$ м ${}^{3}$ . Построить график изменения объема $v$ газа в зависимости от давления $p$ , если температура газа остается постоянной (закон Бойля—Мариотта).

?

Задача 253

Построить график дробной рациональной функции $y=x+\dfrac {1}{x}$ (гипербола).

?

Задача 254

Построить график дробной рациональной функции $y=x^{2}+\dfrac {1}{x}$ (трезубец Ньютона).

?

Задача 255

Построить график дробной рациональной функции $y=x+\dfrac {1}{x^{2}}$ .

?

Задача 256

Построить график дробной рациональной функции $y=\dfrac {1}{1+x^{2}}$ (кривая Аньези).

?

Задача 257

Построить график дробной рациональной функции $y=\dfrac {2x}{1+x^{2}}$ (серпантин Ньютона).

?

Задача 258

Построить график дробной рациональной функции $y=\dfrac {1}{1-x^{2}}$ .

?

Задача 259

Построить график дробной рациональной функции $y=\dfrac {x}{1-x^{2}}$ .

?

Задача 260

Построить график дробной рациональной функции $y=\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {2}{x}+\dfrac {1}{1-x}$ .

?

Задача 261

Построить график дробной рациональной функции $y=\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {2}{x^{2}}+\dfrac {1}{1-x}$ .

?

Задача 262

Построить график дробной рациональной функции $y=\dfrac {(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)}$ .

?

Задача 263

Построить эскиз графика функции

y=\frac{ax^{2}+bx+c}{a_{1}x+b_{1}} \quad (a_{1} \neq 0),

приведя ее к виду

y=kx+m+\frac{n}{x-x_{0}}.

Рассмотреть пример $y=\dfrac {x^{2}-4x+3}{x+1}$ .

?

Задача 264

Построить график абсолютной величины силы притяжения $F$ материальной точки, находящейся на расстоянии $x$ от притягивающего центра, если $F=10$ кгс при $x=1$ м (закон Ньютона).

?

Задача 265

Согласно закону Ван-дер-Ваальса объем $v$ реального газа и его давление $p$ при постоянной температуре связаны соотношением

\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=c.

Построить график функции $p=p(v)$ , если $a=2$ , $b=0{,}1$ и $c=10$ .

?

Задача 266

Построить график иррациональной функции $y=\pm \sqrt{-x-2}$ (парабола).

?

Задача 267

Построить график иррациональной функции $y=\pm x\sqrt{x}$ (парабола Нейля).

?

Задача 268

Построить график иррациональной функции $y=\pm \dfrac {1}{2}\sqrt{100-x^{2}}$ (эллипс).

?

Задача 269

Построить график иррациональной функции $y=\pm \sqrt{x^{2}-1}$ (гипербола).

?

Задача 270

Построить график иррациональной функции $y=\pm \sqrt{\dfrac {1-x}{1+x}}$ .

?

Задача 271

Построить график иррациональной функции $y=\pm x\sqrt{100-x^{2}}$ .

?

Задача 272

Построить график иррациональной функции $y=\pm x\sqrt{\dfrac {x}{10-x}}$ (циссоида).

?

Задача 273

Построить график иррациональной функции $y=\pm \sqrt{(x^{2}-1)(9-x^{2})}$ .

?

Задача 274

(а)(б)

Построить график степенной функции $y=x^{n}$ при:

?

(а)

$n=1,3,5$ ;

(б)

$n=2,4,6$ .

Задача 275

(а)(б)

Построить график степенной функции $y=x^{n}$ при:

?

(а)

$n=-1,-3$ ;

(б)

$n=-2,-4$ .

Задача 276

(а)(б)

Построить график радикала $y=\sqrt[m]{x}$ при:

?

(а)

$m=2,4$ ;

(б)

$m=3,5$ .

Задача 277

Построить график радикала $y=\sqrt[m]{x^{k}}$ , если:

?

(а)

$m=2$ , $k=1$ ;

(б)

$m=2$ , $k=3$ ;

(в)

$m=3$ , $k=1$ ;

(г)

$m=3$ , $k=2$ ;

(д)

$m=3$ , $k=4$ ;

(е)

$m=4$ , $k=2$ ;

(ж)

$m=4$ , $k=3$ .

Задача 278

Построить график показательной функции $y=a^{x}$ при $a=\dfrac {1}{2}, 1, 2, e, 10$ .

?

Задача 279

Построить график сложной показательной функции $y=e^{y_{1}}$ , если:

?

(а)

$y_{1}=x^{2}$ ;

(б)

$y_{1}=-x^{2}$ ;

(в)

$y_{1}=\dfrac {1}{x}$ ;

(г)

$y_{1}=\dfrac {1}{x^{2}}$ ;

(д)

$y_{1}=-\dfrac {1}{x^{2}}$ ;

(е)

$y_{1}=\dfrac {2x}{1-x^{2}}$ .

Задача 280

Построить график логарифмической функции $y=\log_{a}x$ при $a=\dfrac {1}{2}, 2, e, 10$ .

?

Задача 281

(а)(б)

Построить графики функций:

?

(а)

$y=\ln (-x)$ ;

(б)

$y=-\ln x$ .

Задача 282

Построить график сложной логарифмической функции $y=\ln y_{1}$ , если:

?

(а)

$y_{1}=1+x^{2}$ ;

(б)

$y_{1}=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}$ ;

(в)

$y_{1}=\dfrac {1-x}{1+x}$ ;

(г)

$y_{1}=\dfrac {1}{x^{2}}$ ;

(д)

$y_{1}=1+e^{x}$ .

Задача 283

Построить график функции $y=\log_{x}2$ .

?

Задача 284

Построить график функции $y=A\sin x$ при $A=1,10,-2$ .

?

Задача 285

Построить график функции $y=\sin (x-x_{0})$ , если $x_{0}=0,\dfrac {\pi }{4},\dfrac {\pi }{2},\dfrac {3\pi }{4},\pi$ .

?

Задача 286

Построить график функции $y=\sin nx$ , если $n=1,2,3,\dfrac {1}{2},\dfrac {1}{3}$ .

?

Задача 287

Построить график функции

y=a\cos x+b\sin x,

приведя ее к виду

y=A\sin (x-x_{0}).

Рассмотреть пример: $y=6\cos x+8\sin x$ .

?

Задача 288

Построить график тригонометрической функции $y=\cos x$ .

?

Задача 289

Построить график тригонометрической функции $y=\tg x$ .

?

Задача 290

Построить график тригонометрической функции $y=\ctg x$ .

?

Задача 291

Построить график тригонометрической функции $y=\sec x$ .

?

Задача 292

Построить график тригонометрической функции $y=\operatorname {cosec}x$ .

?

Задача 293

Построить график тригонометрической функции $y=\sin^{2}x$ .

?

Задача 294

Построить график тригонометрической функции $y=\sin^{3}x$ .

?

Задача 295

Построить график тригонометрической функции $y=\ctg^{2}x$ .

?

Задача 296

Построить график тригонометрической функции $y=\sin x\cdot \sin 3x$ .

?

Задача 297

Построить график тригонометрической функции $y=\pm \sqrt{\cos x}$ .

?

Задача 298

Построить график функции $y=\sin x^{2}$ .

?

Задача 299

Построить график функции $y=\sin \dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 300

Построить график функции $y=\cos \dfrac {\pi }{x}$ .

?

Задача 300.1

Построить графики функций $y=\sin x$ , $\sin \dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 301

Построить график функции $y=\tg \dfrac {\pi }{x}$ .

?

Задача 301.1

Построить график функции $y=\sec \dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 302

Построить график функции $y=x\left(2+\sin \dfrac {1}{x}\right)$ .

?

Задача 303

Построить график функции $y=\pm \sqrt{1-x^{2}}\sin \dfrac {\pi }{x}$ .

?

Задача 304

Построить график функции $y=\dfrac {\sin x}{x}$ .

?

Задача 305

Построить график функции $y=e^{x}\cos x$ .

?

Задача 306

Построить график функции $y=\pm 2^{-x}\sqrt{\sin \pi x}$ .

?

Задача 307

Построить график функции $y=\dfrac {\cos x}{1+x^{2}}$ .

?

Задача 308

Построить график функции $y=\ln (\cos x)$ .

?

Задача 309

Построить график функции $y=\cos (\ln x)$ .

?

Задача 310

Построить график функции $y=e^{1/\sin x}$ .

?

Задача 311

Построить график обратной круговой функции $y=\arcsin x$ .

?

Задача 312

Построить график обратной круговой функции $y=\arccos x$ .

?

Задача 313

Построить график обратной круговой функции $y=\arctg x$ .

?

Задача 314

Построить график обратной круговой функции $y=\arcctg x$ .

?

Задача 315

Построить график обратной круговой функции $y=\arcsin \dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 316

Построить график обратной круговой функции $y=\arccos \dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 317

Построить график обратной круговой функции $y=\arcctg \dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 318

Построить график обратной круговой функции $y=\arcsin (\sin x)$ .

?

Задача 319

Построить график обратной круговой функции $y=\arcsin (\cos x)$ .

?

Задача 320

Построить график обратной круговой функции $y=\arccos (\cos x)$ .

?

Задача 321

Построить график обратной круговой функции $y=\arctg (\tg x)$ .

?

Задача 322

Построить график обратной круговой функции $y=\arcsin (2\sin x)$ .

?

Задача 323

(а)(б)(в)(г)

Построить график функции

y=\arcsin y_{1},

если:

?

(а)

$y_{1}=1-\dfrac {x}{2}$ ;

(б)

$y_{1}=\dfrac {2x}{1+x^{2}}$ ;

(в)

$y_{1}=\dfrac {1-x}{1+x}$ ;

(г)

$y_{1}=e^{x}$ .

Задача 324

(а)(б)(в)(г)

Построить график функции $y=\arctg y_{1}$ , если:

?

(а)

(б)

$y_{1}=\dfrac {1}{x^{2}}$ ;

(в)

$y_{1}=\ln x$ ;

(г)

$y_{1}=\dfrac {1}{\sin x}$ .

Задача 324.1

Построить графики функций:

?

(а)

$y=x^{3}-3x+2$ ;

(б)

$y=\dfrac {x^{3}}{(1-x)(1+x)^{2}}$ ;

(в)

$y=\dfrac {x^{2}}{\left|x\right|-1}$ ;

(г)

$y=\sqrt{x(1-x^{2})}$ ;

(д)

$y=3\sin \left(\dfrac {x}{2}+\dfrac {\pi }{4}\right)$ ;

(е)

$y=\ctg \dfrac {\pi x}{1+x^{2}}$ ;

(ж)

$y=\dfrac {1}{1-2^{x/(1-x)}}$ ;

(з)

$y=\lg (x^{2}-3x+2)$ ;

(и)

$y=\arcsin \left(\dfrac {3}{2}-\sin x\right)$ ;

(к)

$y=\arctg \left(\dfrac {1}{x-1}+\dfrac {1}{x-2}+\dfrac {1}{x-3}\right)$ ;

(л)

$y=\log_{\cos x}\sin x$ ;

(м)

$y=(\sin x)^{\ctg x}$ .

Задача 325

(а)(б)(в)

Зная график функции $y=f(x)$ , построить графики функций:

?

(а)

$y=-f(x)$ ;

(б)

$y=f(-x)$ ;

(в)

$y=-f(-x)$ .

Задача 326

(а)(б)(в)(г)

Зная график функции $y=f(x)$ , построить графики функций:

?

(а)

(б)

$y=y_{0}+f(x-x_{0})$ ;

(в)

$y=f(2x)$ ;

(г)

$y=f(kx+b) \quad (k \neq 0)$ .

Задача 326.1

Пусть

f(x)=\begin{cases} 1-\left|x\right| & \text{при } \left|x\right| \leqslant 1, \\ 0 & \text{при } \left|x\right|>1. \end{cases}

Построить графики функций

y=\frac{1}{2}\left[f(x-t)+f(x+t)\right]

при $t=0$ , $t=1$ и $t=2$ .

?

Задача 327

Построить графики функций:

?

(а)

$y=2+\sqrt{1-x}$ ;

(б)

$y=1-e^{-x}$ ;

(в)

$y=\ln (1+x)$ ;

(г)

$y=-\arcsin (1+x)$ ;

(д)

$y=3+2\cos 3x$ .

Задача 328

(а)(б)(в)

Зная график функции $y=f(x)$ , построить графики функций:

?

(а)

$y=\left|f(x)\right|$ ;

(б)

$y=\dfrac {1}{2}\left(\left|f(x)\right|+f(x)\right)$ ;

(в)

$y=\dfrac {1}{2}\left(\left|f(x)\right|-f(x)\right)$ .

Задача 329

Зная график функции $y=f(x)$ , построить графики функций:

?

(а)

(б)

(в)

$y=\ln f(x)$ ;

(г)

$y=f\left[f(x)\right]$ ;

(д)

$y=\operatorname {sign} f(x)$ ;

(е)

$y=\left[f(x)\right]$ .

Задача 329.1

Пусть

f(x)=(x-a)(b-x) \quad (a<b).

Построить графики функций:

?

(а)

$y=f(x)$ ;

(б)

$y=f^{2}(x)$ ;

(в)

$y=\dfrac {1}{f(x)}$ ;

(г)

$y=\sqrt{f(x)}$ ;

(д)

$y=e^{f(x)}$ ;

(е)

$y=\lg f(x)$ ;

(ж)

$y=\arcctg f(x)$ .

Задача 329.2

Построить графики функций:

?

(а)

$y=\arcsin \left[\sin f(x)\right]$ ;

(б)

$y=\arcsin \left[\cos f(x)\right]$ ;

(в)

$y=\arccos \left[\sin f(x)\right]$ ;

(г)

$y=\arccos \left[\cos f(x)\right]$ ;

(д)

$y=\arctg \left[\tg f(x)\right]$ ,

если: 1) $f(x)=x^{2}$ ; 2) $f(x)=x^{3}$ .

Задача 330

(а)(б)(в)

Зная графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ , построить графики функций:

?

(а)

$y=f(x)+g(x)$ ;

(б)

$y=f(x)g(x)$ ;

(в)

$y=f\left[g(x)\right]$ .

Задача 331

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=1+x+e^{x}$ .

?

Задача 332

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=(x+1)^{-2}+(x-1)^{-2}$ .

?

Задача 333

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=x+\sin x$ .

?

Задача 334

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=x+\arctg x$ .

?

Задача 335

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=\cos x+\dfrac {1}{2}\cos 2x+\dfrac {1}{3}\cos 3x$ .

?

Задача 336

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=\sin x-\dfrac {1}{3}\sin 3x+\dfrac {1}{5}\sin 5x$ .

?

Задача 337

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=\sin^{4}x+\cos^{4}x$ .

?

Задача 338

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=\left|1-x\right|+\left|1+x\right|$ .

?

Задача 339

Применяя правило сложения графиков, построить график функции $y=\left|1-x\right|-\left|1+x\right|$ .

?

Задача 340

(а)(б)(в)

Построить графики гиперболических функций:

?

(а)

$y=\ch x$ , где $\ch x=\dfrac {1}{2}(e^{x}+e^{-x})$ ;

(б)

$y=\sh x$ , где $\sh x=\dfrac {1}{2}(e^{x}-e^{-x})$ ;

(в)

$y=\th x$ , где $\th x=\dfrac {\sh x}{\ch x}$ .

Задача 341

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=x\sin x$ .

?

Задача 342

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=x\cos x$ .

?

Задача 343

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=x^{2}\sin^{2}x$ .

?

Задача 344

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=\dfrac {\sin x}{1+x^{2}}$ .

?

Задача 345

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=e^{-x^{2}}\cos 2x$ .

?

Задача 346

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=x\operatorname {sign}(\sin x)$ .

?

Задача 347

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=\left[x\right]\cdot \left|\sin \pi x\right|$ .

?

Задача 348

Применяя правило умножения графиков, построить график функции $y=\cos x\cdot \operatorname {sign}(\sin x)$ .

?

Задача 349

(а)(б)(в)

Пусть

f(x)=\begin{cases} 1-\left|x\right|, & \text{если } \left|x\right| \leqslant 1; \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>1. \end{cases}

Построить график функции

y=f(x)f(a-x),

если:

?

(а)

$a=0$ ;

(б)

$a=1$ ;

(в)

$a=2$ .

Задача 350

Построить график функции

y=x+\sqrt{x}\operatorname {sign}(\sin \pi x).

?

Задача 351

Построить график функции $y=\dfrac {1}{f(x)}$ , если $f(x)=x^{2}(1-x^{2})$ .

?

Задача 352

Построить график функции $y=\dfrac {1}{f(x)}$ , если $f(x)=x(1-x)^{2}$ .

?

Задача 353

Построить график функции $y=\dfrac {1}{f(x)}$ , если $f(x)=\sin^{2}x$ .

?

Задача 354

Построить график функции $y=\dfrac {1}{f(x)}$ , если $f(x)=\ln x$ .

?

Задача 355

Построить график функции $y=\dfrac {1}{f(x)}$ , если $f(x)=e^{x}\sin x$ .

?

Задача 356

Построить график сложной функции $y=f(u)$ , где $u=2\sin x$ , если:

f(u)=\begin{cases} -1 & \text{при } -\infty <u<-1; \\ u & \text{при } -1 \leqslant u \leqslant 1; \\ 1 & \text{при } 1<u<+\infty . \end{cases}

?

Задача 357

(а)(б)(в)(г)

Пусть

\varphi (x)=\frac{1}{2}(x+\left|x\right|) \quad \text{и} \quad \psi (x)=\begin{cases} x, & \text{если } x<0; \\ x^{2}, & \text{если } x \geqslant 0. \end{cases}

Построить графики функций:

?

(а)

$y=\varphi \left[\varphi (x)\right]$ ;

(б)

$y=\varphi \left[\psi (x)\right]$ ;

(в)

$y=\psi \left[\varphi (x)\right]$ ;

(г)

$y=\psi \left[\psi (x)\right]$ .

Задача 358

(а)(б)(в)(г)

Пусть

\varphi (x)=\begin{cases} 1, & \text{если } \left|x\right| \leqslant 1; \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>1, \end{cases}

и

\psi (x)=\begin{cases} 2-x^{2}, & \text{если } \left|x\right| \leqslant 2; \\ 2, & \text{если } \left|x\right|>2. \end{cases}

Построить графики функций:

?

(а)

$y=\varphi \left[\varphi (x)\right]$ ;

(б)

$y=\varphi \left[\psi (x)\right]$ ;

(в)

$y=\psi \left[\varphi (x)\right]$ ;

(г)

$y=\psi \left[\psi (x)\right]$ .

Задача 359

Функцию $f(x)$ , определенную в положительной области $x>0$ , продолжить в отрицательную область $x<0$ таким образом, чтобы полученная функция была: 1) четной; 2) нечетной, если:

?

(а)

$f(x)=1-x$ ;

(б)

$f(x)=2x-x^{2}$ ;

(в)

$f(x)=\sqrt{x}$ ;

(г)

$f(x)=\sin x$ ;

(д)

$f(x)=e^{x}$ ;

(е)

$f(x)=\ln x$ .

Построить соответствующие графики функций.

Задача 360

(а)(б)(в)(г)

Определить, относительно каких вертикальных осей симметричны графики функций:

?

(а)

$y=ax^{2}+bx+c$ ;

(б)

$y=\dfrac {1}{x^{2}}+\dfrac {1}{(1-x)^{2}}$ ;

(в)

$y=\sqrt{a+x}+\sqrt{b-x} \quad (0<a<b)$ ;

(г)

$y=a+b\cos x$ .

Задача 361

Определить, относительно каких центров симметричны графики функций:

?

(а)

$y=ax+b$ ;

(б)

$y=\dfrac {ax+b}{cx+d}$ ;

(в)

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ;

(г)

$y=\dfrac {1}{x-1}+\dfrac {1}{x-2}+\dfrac {1}{x-3}$ ;

(д)

$y=1+\sqrt[3]{x-2}$ .

Задача 362

Построить графики периодических функций:

?

(а)

$y=\left|\sin x\right|$ ;

(б)

$y=\operatorname {sign}(\cos x)$ ;

(в)

$y=f(x)$ , где $f(x)=A\dfrac {x}{l}\left(2-\dfrac {x}{l}\right)$ , если $0 \leqslant x \leqslant 2l$ и $f(x+2l) \equiv f(x)$ ;

(г)

$y=\left[x\right]-2\left[\dfrac {x}{2}\right]$ ;

(д)

$y=(x)$ , где $(x)$ — расстояние от числа $x$ до ближайшего к нему целого числа.

Задача 363

Доказать, что если график функции $y=f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ симметричен относительно двух вертикальных осей $x=a$ и $x=b$ $(b>a)$ , то функция $f(x)$ — периодическая.

?

Задача 364

Доказать, что если график функции $y=f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ симметричен относительно двух точек $A(a,y_{0})$ и $B(b,y_{1})$ $(b>a)$ , то функция $f(x)$ есть сумма линейной функции и периодической функции. В частности, если $y_{0}=y_{1}$ , то функция $f(x)$ — периодическая.

?

Задача 365

Доказать, что если график функции $y=f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ симметричен относительно точки $A(a,y_{0})$ и прямой $x=b$ $(b \neq a)$ , то функция $f(x)$ — периодическая.

?

Задача 366

Построить график функции $y=f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ , если $f(x+1)=2f(x)$ и $f(x)=x(1-x)$ при $0 \leqslant x \leqslant 1$ .

?

Задача 367

Построить график функции

y=f(x) \quad (-\infty <x<+\infty ),

если $f(x+\pi )=f(x)+\sin x$ и $f(x)=0$ при $0 \leqslant x \leqslant \pi$ .

?

Задача 368

(а)(б)(в)(г)

Построить график функции $y=y(x)$ , если:

?

(а)

$x=y-y^{3}$ ;

(б)

$x=\dfrac {1-y}{1+y^{2}}$ ;

(в)

$x=y-\ln y$ ;

(г)

$x^{2}=\sin y$ .

Задача 369

Построить графики функций $y=y(x)$ , заданных параметрически, если:

?

(а)

$x=1-t$ , $y=1-t^{2}$ ;

(б)

$x=t+\dfrac {1}{t}$ , $y=t+\dfrac {1}{t^{2}}$ ;

(в)

$x=10\cos t$ , $y=\sin t$ (эллипс);

(г)

$x=\ch t$ , $y=\sh t$ (гипербола);

(д)

$x=5\cos^{2}t$ , $y=3\sin^{2}t$ ;

(е)

$x=2(t-\sin t)$ , $y=2(1-\cos t)$ (циклоида);

(ж)

$x=\sqrt[t+1]{t}$ , $y=\sqrt[t]{t+1}$ $(t>0)$ .

Задача 370

Построить графики неявных функций:

?

(а)

(б)

$x^{3}+y^{3}-3xy=0$ (декартов лист);

(в)

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ (парабола);

(г)

$x^{2/3}+y^{2/3}=4$ (астроида);

(д)

$\sin x=\sin y$ ;

(е)

$\cos (\pi x^{2})=\cos (\pi y)$ ;

(ж)

$x^{y}=y^{x} \quad (x>0, y>0)$ ;

(з)

$x-\left|x\right|=y-\left|y\right|$ .

Задача 370.1

(а)(б)(в)(г)

Построить графики неявных функций:

?

(а)

$\min (x,y)=1$ ;

(б)

$\max (x,y)=1$ ;

(в)

$\max (\left|x\right|,\left|y\right|)=1$ ;

(г)

$\min (x^{2},y)=1$ .

Задача 371

Построить графики функций $r=r(\varphi )$ в полярной системе координат $(r,\varphi )$ , если:

?

(а)

(б)

(в)

$r=\dfrac {\varphi }{\varphi +1}$ $(0 \leqslant \varphi <+\infty )$ ;

(г)

$r=2^{\varphi /2\pi }$ (логарифмическая спираль);

(д)

$r=2(1+\cos \varphi )$ (кардиоида);

(е)

$r=10\sin 3\varphi$ (трехлепестковая роза);

(ж)

$r^{2}=36\cos 2\varphi$ (лемниската Бернулли);

(з)

$\varphi =\dfrac {r}{r-1} \quad (r>1)$ ;

(и)

$\varphi =2\pi \sin r$ .

Задача 371.1

(а)(б)(в)

Построить в полярных координатах $r$ и $\varphi$ графики следующих функций:

?

(а)

$\varphi =4r-r^{2}$ ;

(б)

$\varphi =\dfrac {12r}{1+r^{2}}$ ;

(в)

$r^{2}+\varphi^{2}=100$ .

Задача 371.2

(а)(б)

Построить в полярных координатах $r$ и $\varphi$ графики функций, заданных параметрически ( $t \geqslant 0$ — параметр):

?

(а)

$\varphi =t\cos^{2}t$ , $r=t\sin^{2}t$ ;

(б)

$\varphi =1-2^{-t}\sin \dfrac {\pi t}{2}$ , $r=1-2^{-t}\cos \dfrac {\pi r}{2}$ .

Задача 372

Приближенно решить уравнение

x^{3}-3x+1=0,

построив график функции $y=x^{3}-3x+1$ .

?

Задача 373

Графически решить уравнение $x^{3}-4x-1=0$ .

?

Задача 374

Графически решить уравнение $x^{4}-4x+1=0$ .

?

Задача 375

Графически решить уравнение $x=2^{-x}$ .

?

Задача 376

Графически решить уравнение $\lg x=0{,}1x$ .

?

Задача 377

Графически решить уравнение $10^{x}=x^{2}$ .

?

Задача 378

Графически решить уравнение $\lg x=x$ $(0 \leqslant x \leqslant 2\pi )$ .

?

Задача 379

Графически решить систему уравнений

x+y^{2}=1, \quad 16x^{2}+y=4.

?

Задача 380

Графически решить систему уравнений

x^{2}+y^{2}=100, \quad y=10(x^{2}-x-2).

?

Графическое изображение функции