Понятие функции

Определить область существования функции $y=\dfrac {x^{3}}{1+x}$.

Определить область существования функции $y=\sqrt{3x-x^{3}}$.

Определить область существования функции $y=(x-2)\sqrt{\dfrac {1+x}{1-x}}$.

Определить область существования функции:

Определить область существования функции $y=\sqrt{\sin (\sqrt{x})}$.

Определить область существования функции $y=\sqrt{\cos x^{2}}$.

Определить область существования функции $y=\lg \left(\sin \dfrac {\pi }{x}\right)$.

Определить область существования функции $y=\dfrac {\sqrt{x}}{\sin \pi x}$.

Определить область существования функции $y=\arcsin \dfrac {2x}{1+x}$.

Определить область существования функции $y=\arccos (2\sin x)$.

Определить область существования функции $y=\lg \left[\cos (\lg x)\right]$.

Определить область существования функции $y=(x+\left|x\right|)\sqrt{x\sin^{2}\pi x}$.

Определить область существования функции $y=\ctg \pi x+\arccos (2^{x})$.

Определить область существования функции $y=\arcsin (1-x)+\lg (\lg x)$.

Определить область существования функции $y=(2x)!$.

Определить область существования функции $y=\log_{2}\log_{3}\log_{4}x$.

Определить область существования функции $y=\sqrt[4]{\lg \tg x}$.

Определить область существования функции $y=\sqrt{\sin 2x}+\sqrt{\sin 3x}$ $(0 \leqslant x \leqslant 2\pi )$.

Определить область существования и множество значений функции $y=\sqrt{2+x-x^{2}}$.

Определить область существования и множество значений функции $y=\lg (1-2\cos x)$.

Определить область существования и множество значений функции $y=\arccos \dfrac {2x}{1+x^{2}}$.

Определить область существования и множество значений функции $y=\arcsin \left(\lg \dfrac {x}{10}\right)$.

Определить область существования и множество значений функции $y=(-1)^{x}$.

В треугольник $ABC$, основание которого $AC=b$ и высота $BD=h$, вписан прямоугольник $KLMN$, высота которого $NM=x$. Выразить периметр $P$ прямоугольника $KLMN$ и его площадь $S$ как функции от $x$. Построить графики функций $P=P(x)$ и $S=S(x)$.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB=6$ см, сторона $AC=8$ см и угол $BAC=x$. Выразить $BC=a$ и площадь $ABC=S$ как функции переменной $x$. Построить графики функций $a=a(x)$ и $S=S(x)$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$, основания которой $AD=a$ и $BC=b$ $(a>b)$, а высота $HB=h$, проведена прямая $MN \parallel HB$ и отстоящая от вершины $A$ на расстоянии $AM=x$. Выразить площадь $S$ фигуры $ABNMA$ как функцию переменной $x$. Построить график функции: $S=S(x)$.

На сегменте $0 \leqslant x \leqslant 1$ оси $Ox$ равномерно распределена масса, равная 2 г, а в точках этой оси $x=2$ и $x=3$ находятся сосредоточенные массы по 1 г в каждой. Составить аналитическое выражение функции $m=m(x)$ $(-\infty < x < +\infty )$, численно равной массе, находящейся в интервале $(-\infty , x)$, и построить график этой функции.

Функция $y=\operatorname {sign} x$ определяется следующим образом:

Построить график этой функции. Показать, что

Функция $y=\left[x\right]$ (целая часть числа $x$) определяется следующим образом: если $x=n+r$, где $n$ — целое число и $0 \leqslant r < 1$, то $\left[x\right]=n$.

Построить график этой функции.

Пусть $y=\pi (x)$ $(x>0)$ обозначает число простых чисел, не превышающих числа $x$. Построить график этой функции для значений аргумента $0 \leqslant x \leqslant 20$.

На какое множество $E_{y}$ отображает множество $E_{x}$ функция $y=f(x)$, если $y=x^{2}$, $E_{x}=\left\{ -1 \leqslant x \leqslant 2\right\}$?

На какое множество $E_{y}$ отображает множество $E_{x}$ функция $y=f(x)$, если $y=\lg x$, $E_{x}=\left\{ 10<x<1000\right\}$?

На какое множество $E_{y}$ отображает множество $E_{x}$ функция $y=f(x)$, если $y=\dfrac {1}{\pi }\arctg x$, $E_{x}=\left\{ -\infty <x<+\infty \right\}$?

На какое множество $E_{y}$ отображает множество $E_{x}$ функция $y=f(x)$, если $y=\ctg \dfrac {\pi x}{4}$, $E_{x}=\left\{ 0<\left|x\right| \leqslant 1\right\}$?

На какое множество $E_{y}$ отображает множество $E_{x}$ функция $y=f(x)$, если $y=\left|x\right|$, $E_{x}=\left\{ 1 \leqslant \left|x\right| \leqslant 2\right\}$?

Переменная $x$ пробегает интервал $0<x<1$. Какое множество пробегает переменная $y$, если $y=a+(b-a)x$?

Переменная $x$ пробегает интервал $0<x<1$. Какое множество пробегает переменная $y$, если $y=\dfrac {1}{1-x}$?

Переменная $x$ пробегает интервал $0<x<1$. Какое множество пробегает переменная $y$, если $y=\dfrac {x}{2x-1}$?

Переменная $x$ пробегает интервал $0<x<1$. Какое множество пробегает переменная $y$, если $y=\sqrt{x-x^{2}}$?

Переменная $x$ пробегает интервал $0<x<1$. Какое множество пробегает переменная $y$, если $y=\ctg \pi x$?

Переменная $x$ пробегает интервал $0<x<1$. Какое множество пробегает переменная $y$, если $y=x+\left[2x\right]$?

Найти $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, если $f(x)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x$.

Найти $f(-1)$, $f(-0{,}001)$, $f(100)$, если $f(x)=\lg (x^{2})$.

Найти $f(0{,}9)$, $f(0{,}99)$, $f(0{,}999)$, $f(1)$, если $f(x)=1+\left[x\right]$.

Найти $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, если

Найти $f(0)$, $f(-x)$, $f(x+1)$, $f(x)+1$, $f\left(\dfrac {1}{x}\right)$, $\dfrac {1}{f(x)}$, если

Найти значения $x$, для которых: 1) $f(x)=0$; 2) $f(x)>0$; 3) $f(x)<0$, если:

Найти $\varphi (x)=\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}$, если:

Пусть $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Показать, что

Найти целую линейную функцию $f(x)=ax+b$, если $f(0)=-2$ и $f(3)=5$.

Чему равны $f(1)$ и $f(2)$ (линейная интерполяция)?

Найти целую рациональную функцию второй степени: $f(x)=ax^{2}+bx+c$, если

Чему равны $f(-1)$ и $f(0{,}5)$ (квадратичная интерполяция)?

Найти целую рациональную функцию третьей степени:

если $f(-1)=0$, $f(0)=2$, $f(1)=-3$, $f(2)=5$.

Найти функцию вида $f(x)=a+bc^{x}$, если $f(0)=15$, $f(2)=30$, $f(4)=90$.

Доказать, что если для линейной функции

значения аргумента $x=x_{n}$ $(n=1,2,\ldots )$ образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции $y_{n}=f(x_{n})$ $(n=1,2,\ldots )$ образуют также арифметическую прогрессию.

Доказать, что если для показательной функции

значения аргумента $x=x_{n}$ $(n=1,2,\ldots )$ образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции $y_{n}=f(x_{n})$ $(n=1,2,\ldots )$ образуют геометрическую прогрессию.

Пусть функция $f(u)$ определена при $0<u<1$. Найти области определения функций:

Пусть $f(x)=\dfrac {1}{2}(a^{x}+a^{-x})$ $(a>0)$. Показать, что

Пусть $f(x)+f(y)=f(z)$. Определить $z$, если:

Найти $\varphi \left[\varphi (x)\right]$, $\psi \left[\psi (x)\right]$, $\varphi \left[\psi (x)\right]$ и $\psi \left[\varphi (x)\right]$, если $\varphi (x)=x^{2}$ и $\psi (x)=2^{x}$.

Найти $\varphi \left[\varphi (x)\right]$, $\psi \left[\psi (x)\right]$, $\varphi \left[\psi (x)\right]$ и $\psi \left[\varphi (x)\right]$, если $\varphi (x)=\operatorname {sign} x$ и $\psi (x)=\dfrac {1}{x}$.

Найти $\varphi \left[\varphi (x)\right]$, $\psi \left[\psi (x)\right]$, $\varphi \left[\psi (x)\right]$ и $\psi \left[\varphi (x)\right]$, если

Найти $f\left[f(x)\right]$, $f\left\{ f\left[f(x)\right]\right\}$, если

Пусть $f_{n}(x)=\underbrace{f\left(f\left(\ldots f(x)\right)\right)}_{n \text{ раз}}$. Найти $f_{n}(x)$, если

Найти $f(x)$, если $f(x+1)=x^{2}-3x+2$.

Найти $f(x)$, если $f\left(x+\dfrac {1}{x}\right)=x^{2}+\dfrac {1}{x^{2}}$ $(\left|x\right| \geqslant 2)$.

Найти $f(x)$, если $f\left(\dfrac {1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^{2}}$ $(x>0)$.

Найти $f(x)$, если $f\left(\dfrac {x}{x+1}\right)=x^{2}$.

Доказать, что функция $f(x)=x^{2}$ является монотонно возрастающей в промежутке $0 \leqslant x<+\infty$.

Доказать, что функция $f(x)=\sin x$ является монотонно возрастающей в промежутке $-\dfrac {\pi }{2} \leqslant x \leqslant \dfrac {\pi }{2}$.

Доказать, что функция $f(x)=\tg x$ является монотонно возрастающей в промежутке $-\dfrac {\pi }{2}<x<\dfrac {\pi }{2}$.

Доказать, что функция $f(x)=2x+\sin x$ является монотонно возрастающей в промежутке $-\infty <x<+\infty$.

Доказать, что функция $f(x)=x^{2}$ является монотонно убывающей в промежутке $-\infty <x \leqslant 0$.

Доказать, что функция $f(x)=\cos x$ является монотонно убывающей в промежутке $0 \leqslant x \leqslant \pi$.

Доказать, что функция $f(x)=\ctg x$ является монотонно убывающей в промежутке $0<x<\pi$.

Исследовать на монотонность следующие функции:

Можно ли почленно логарифмировать неравенство?

Пусть $\varphi (x)$, $\psi (x)$ и $f(x)$ — монотонно возрастающие функции. Доказать, что если

то

Определить обратную функцию $x=\varphi (y)$ и ее область существования, если $y=2x+3$ $(-\infty <x<+\infty )$.

Определить обратную функцию $x=\varphi (y)$ и ее область существования, если $y=x^{2}$:

Определить обратную функцию $x=\varphi (y)$ и ее область существования, если $y=\dfrac {1-x}{1+x}$ $(x \neq -1)$.

Определить обратную функцию $x=\varphi (y)$ и ее область существования, если $y=\sqrt{1-x^{2}}$:

Определить обратную функцию $x=\varphi (y)$ и ее область существования, если $y=\sh x$, где $\sh x=\dfrac {1}{2}(e^{x}-e^{-x})$ $(-\infty <x<+\infty )$.

Определить обратную функцию $x=\varphi (y)$ и ее область существования, если $y=\th x$, где $\th x=\dfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ $(-\infty <x<+\infty )$.

Определить обратную функцию $x=\varphi (y)$ и ее область существования, если

Функция $f(x)$, определенная в симметричном интервале $(-l,l)$, называется четной, если

и нечетной, если

Определить, какие из данных функций $f(x)$ являются четными, а какие нечетными:

Доказать, что всякую функцию $f(x)$, определенную в симметричном интервале $(-l,l)$, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Функция $f(x)$, определенная на множестве $E$, называется периодической, если существует число $T>0$ (период функции — в широком смысле слова!) такое, что

Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:

Доказать, что для функции Дирихле

периодом является любое рациональное число.

Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.

Функция $f(x)$ называется антипериодической, если

Доказать, что $f(x)$ — периодическая с периодом $2T$.

Доказать, что если для функции $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ выполнено равенство $f(x+T)=kf(x)$, где $k$ и $T$ — положительные постоянные, то $f(x)=a^{x}\varphi (x)$, где $a$ — постоянная, а $\varphi (x)$ — периодическая функция с периодом $T$.