1.2

Теория последовательностей

[111/100%]
Показать
LaTeX
Задача 41

Пусть

xn=nn+1(n=1,2,…). x_{n}=\frac{n}{n+1} \quad (n=1,2,\ldots ).

Доказать, что

lim⁡n→∞xn=1, \lim _{n \to \infty } x_{n}=1,

определив для каждого ε>0\varepsilon > 0 число N=N(ε)N=N(\varepsilon ) такое, что ∣xn−1∣<ε\left|x_{n}-1\right| < \varepsilon, если n>Nn > N. Заполнить следующую таблицу:

ε\varepsilon0,10{,}10,010{,}010,0010{,}0010,00010{,}0001…\ldots
NN
?
Задача 42

Доказать, что xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого ε>0\varepsilon > 0 число N=N(ε)N=N(\varepsilon ) такое, что ∣xn∣<ε\left|x_{n}\right| < \varepsilon при n>Nn > N, если:

?
(а)

xn=(−1)n+1nx_{n}=\dfrac {(-1)^{n+1}}{n};

(б)

xn=2nn2+1x_{n}=\dfrac {2n}{n^{2}+1};

(в)

xn=1n!x_{n}=\dfrac {1}{n!};

(г)

xn=(−1)n⋅0,999nx_{n}=(-1)^{n}\cdot 0{,}999^{n}.

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

ε\varepsilon0,10{,}10,0010{,}0010,00010{,}0001…\ldots
NN
Задача 43

Доказать, что последовательности

?
(а)

xn=(−1)nnx_{n}=(-1)^{n}n;

(б)

xn=2nx_{n}=2^{\sqrt{n}};

(в)

xn=lg⁡(lg⁡n)(n⩾2)x_{n}=\lg (\lg n) \quad (n \geqslant 2)

имеют бесконечный предел при n→∞n \to \infty (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого E>0E > 0 число N=N(E)N=N(E) такое, что ∣xn∣>E\left|x_{n}\right| > E при n>Nn > N. Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

EE10101001001 0001\, 00010 00010\, 000…\ldots
NN
Задача 44

Показать, что xn=n(−1)nx_{n}=n^{(-1)^{n}} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) не ограничена, однако не является бесконечно большой при n→∞n \to \infty.

?
Задача 45

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

?
(а)

lim⁡n→∞xn=∞\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=\infty;

(б)

lim⁡n→∞xn=−∞\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=-\infty;

(в)

lim⁡n→∞xn=+∞\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=+\infty.

Задача 46

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞10 000nn2+1. \lim _{n \to \infty }\frac{10\, 000n}{n^{2}+1}.
?
Задача 47

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞(n+1−n). \lim _{n \to \infty }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).
?
Задача 48

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞n23sin⁡n!n+1. \lim _{n \to \infty }\frac{\sqrt[3]{n^{2}}\sin n!}{n+1}.
?
Задача 49

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞(−2)n+3n(−2)n+1+3n+1. \lim _{n \to \infty }\frac{(-2)^{n}+3^{n}}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}.
?
Задача 50

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞1+a+a2+…+an1+b+b2+…+bn(∣a∣<1, ∣b∣<1). \lim _{n \to \infty }\frac{1+a+a^{2}+\ldots +a^{n}}{1+b+b^{2}+\ldots +b^{n}} \quad (\left|a\right| < 1, \ \left|b\right| < 1).
?
Задача 51

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞(1n2+2n2+…+n−1n2). \lim _{n \to \infty }\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\ldots +\frac{n-1}{n^{2}}\right).
?
Задача 52

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞∣1n−2n+3n−…+(−1)n−1nn∣. \lim _{n \to \infty }\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\ldots +\frac{(-1)^{n-1}n}{n}\right|.
?
Задача 53

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞[12n3+22n3+…+(n−1)2n3]. \lim _{n \to \infty }\left[\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+\ldots +\frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}\right].
?
Задача 54

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞[12n3+32n3+…+(2n−1)2n3]. \lim _{n \to \infty }\left[\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{3^{2}}{n^{3}}+\ldots +\frac{(2n-1)^{2}}{n^{3}}\right].
?
Задача 55

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞(12+322+523+…+2n−12n). \lim _{n \to \infty }\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\ldots +\frac{2n-1}{2^{n}}\right).
?
Задача 56

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞[11⋅2+12⋅3+…+1n(n+1)]. \lim _{n \to \infty }\left[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots +\frac{1}{n(n+1)}\right].
?
Задача 57

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражения

lim⁡n→∞(22428…22n). \lim _{n \to \infty }\left(\sqrt{2}\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}\ldots \sqrt[2^{n}]{2}\right).
?
Задача 58

Доказать следующее равенство:

lim⁡n→∞n2n=0. \lim _{n \to \infty }\frac{n}{2^{n}}=0.
?
Задача 59

Доказать следующее равенство:

lim⁡n→∞2nn!=0. \lim _{n \to \infty }\frac{2^{n}}{n!}=0.
?
Задача 60

Доказать следующее равенство:

lim⁡n→∞nkan=0(a>1). \lim _{n \to \infty }\frac{n^{k}}{a^{n}}=0 \quad (a > 1).
?
Задача 61

Доказать следующее равенство:

lim⁡n→∞ann!=0. \lim _{n \to \infty }\frac{a^{n}}{n!}=0.
?
Задача 62

Доказать, что lim⁡n→∞nqn=0\lim \limits_{n \to \infty } nq^{n}=0, если ∣q∣<1\left|q\right| < 1.

?
Задача 63

Доказать, что lim⁡n→∞an=1(a>0)\lim \limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{a}=1 \quad (a > 0).

?
Задача 64

Доказать, что lim⁡n→∞log⁡ann=0(a>1)\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {\log_{a}n}{n}=0 \quad (a > 1).

?
Задача 65

Доказать, что lim⁡n→∞nn=1\lim \limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1.

?
Задача 66

Доказать, что lim⁡n→∞1n!n=0\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {1}{\sqrt[n]{n!}}=0.

?
Задача 67

Какое выражение больше при достаточно больших nn:

?
(а)

100n+200100n+200 или 0,01n20{,}01n^{2}?

(б)

2n2^{n} или n1000n^{1000}?

(в)

1000n1000^{n} или n!n!?

Задача 68

Доказать, что

lim⁡n→∞(12⋅34⋯2n−12n)=0. \lim _{n \to \infty }\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n}\right)=0.
?
Примечание.
?

См. задачу 10.

Задача 69

Доказать, что последовательность

xn=(1+1n)n(n=1,2,…) x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \quad (n=1,2,\ldots )

монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность

yn=(1+1n)n+1(n=1,2,…) y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \quad (n=1,2,\ldots )

монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел

lim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→∞(1+1n)n+1=e. \lim _{n \to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\lim _{n \to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=e.
?
Примечание.
?

Составить отношения xn+1xn,ynyn−1\dfrac {x_{n+1}}{x_{n}}, \dfrac {y_{n}}{y_{n-1}} и воспользоваться неравенством задачи 7.

Задача 70

Доказать, что

0<e−(1+1n)n<3n(n=1,2,…). 0 < e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} < \frac{3}{n} \quad (n=1,2,\ldots ).

При каких значениях показателя nn выражение (1+1n)n\left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{n} будет отличаться от числа ee меньше чем на 0,0010{,}001?

?
Задача 71

Пусть pnp_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +∞+\infty, и qnq_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к −∞-\infty (pn,qn∉[−1,0])(p_{n}, q_{n} \notin \left[-1,0\right]). Доказать, что

lim⁡n→∞(1+1pn)pn=lim⁡n→∞(1+1qn)qn=e. \lim _{n \to \infty }\left(1+\frac{1}{p_{n}}\right)^{p_{n}}=\lim _{n \to \infty }\left(1+\frac{1}{q_{n}}\right)^{q_{n}}=e.
?
Задача 72

Зная, что lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim \limits_{n \to \infty }\left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{n}=e, доказать, что

lim⁡n→∞(1+1+12!+13!+…+1n!)=e. \lim _{n \to \infty }\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}\right)=e.

Вывести отсюда формулу

e=2+12!+13!+…+1n!+θnn! n,(*) e=2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\frac{\theta _{n}}{n!\, n}, \tag {*}

где 0<θn<10 < \theta_{n} < 1, и вычислить число ee с точностью до 10−510^{-5}.

?
Задача 73

Доказать, что число ee иррационально.

?
Примечание.
?

Использовать формулу (∗)(*) из задачи 72.

Задача 74

Доказать неравенство

(ne)n<n!<e(n2)n. \left(\frac{n}{e}\right)^{n} < n! < e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}.
?
Задача 75

Доказать неравенства:

?
(а)

1n+1<ln⁡(1+1n)<1n\dfrac {1}{n+1} < \ln \left(1+\dfrac {1}{n}\right) < \dfrac {1}{n}, где nn — любое натуральное число;

(б)

1+α<eα1+\alpha < e^{\alpha }, где α\alpha — вещественное число, отличное от нуля.

Задача 76

Доказать, что lim⁡n→∞n(a1/n−1)=ln⁡a(a>0)\lim \limits_{n \to \infty } n(a^{1/n}-1)=\ln a \quad (a > 0), где ln⁡a\ln a есть логарифм числа aa при основании e=2,718…e=2{,}718\ldots

?
Задача 77

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности

xn=p0+p110+…+pn10n(n=1,2,…), x_{n}=p_{0}+\frac{p_{1}}{10}+\ldots +\frac{p_{n}}{10^{n}} \quad (n=1,2,\ldots ),

где pip_{i} (i=0,1,2,…)(i=0,1,2,\ldots ) — целые неотрицательные числа, не превышающие 9, начиная с p1p_{1}.

?
Задача 78

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности

xn=101⋅113⋯n+92n−1. x_{n}=\frac{10}{1}\cdot \frac{11}{3}\cdots \frac{n+9}{2n-1}.
?
Задача 79

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности

xn=(1−12)(1−14)⋯(1−12n). x_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{2^{n}}\right).
?
Задача 80

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности

xn=(1+12)(1+14)⋯(1+12n). x_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{2^{n}}\right).
?
Задача 81

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности

x1=2,x2=2+2,…,xn=2+2+…+2⏟n корней,… x_{1}=\sqrt{2}, \quad x_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \ldots , \quad x_{n}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots +\sqrt{2}}}}_{n \text{ корней}}, \quad \ldots
?
Задача 82

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn=a0+a1q+…+anqn, x_{n}=a_{0}+a_{1}q+\ldots +a_{n}q^{n},

где ∣ak∣<M(k=0,1,2,…)\left|a_{k}\right| < M \quad (k=0,1,2,\ldots ) и ∣q∣<1\left|q\right| < 1.

?
Задача 83

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn=sin⁡12+sin⁡222+…+sin⁡n2n. x_{n}=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^{2}}+\ldots +\frac{\sin n}{2^{n}}.
?
Задача 84

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn=cos⁡1!1⋅2+cos⁡2!2⋅3+…+cos⁡n!n(n+1). x_{n}=\frac{\cos 1!}{1\cdot 2}+\frac{\cos 2!}{2\cdot 3}+\ldots +\frac{\cos n!}{n(n+1)}.
?
Задача 85

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn=1+122+132+…+1n2. x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots +\frac{1}{n^{2}}.
?
Примечание.
?

Воспользоваться неравенством 1n2<1n−1−1n(n=2,3,…)\dfrac {1}{n^{2}} < \dfrac {1}{n-1}-\dfrac {1}{n} \quad (n=2,3,\ldots ).

Задача 86

Говорят, что последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) имеет ограниченное изменение, если существует число CC такое, что

∣x2−x1∣+∣x3−x2∣+…+∣xn−xn−1∣<C(n=2,3,…). \left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|x_{3}-x_{2}\right|+\ldots +\left|x_{n}-x_{n-1}\right| < C \quad (n=2,3,\ldots ).

Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.

Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

?
Задача 87

Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.

?
Задача 88

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

xn=1+12+13+…+1n. x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}.
?
Задача 89

Доказать, что если последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) сходится, то любая ее подпоследовательность xpnx_{p_{n}} также сходится и имеет тот же самый предел:

lim⁡n→∞xpn=lim⁡n→∞xn. \lim _{n \to \infty } x_{p_{n}}=\lim _{n \to \infty } x_{n}.
?
Задача 90

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

?
Задача 91

Доказать, что если lim⁡n→∞xn=a\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=a, то

lim⁡n→∞∣xn∣=∣a∣. \lim _{n \to \infty }\left|x_{n}\right|=\left|a\right|.
?
Задача 92

Если xn→ax_{n} \to a, то что можно сказать о пределе

lim⁡n→∞xn+1xn? \lim _{n \to \infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}}?
?
Задача 93

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.

?
Задача 94

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры последовательностей всех трех типов.

?
Задача 95

Доказать, что числовая последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), стремящаяся к +∞+\infty, обязательно достигает своей нижней грани.

?
Задача 96

Найти наибольший член последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), если xn=n32nx_{n}=\dfrac {n^{3}}{2^{n}}.

?
Задача 97

Найти наибольший член последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), если xn=n100+nx_{n}=\dfrac {\sqrt{n}}{100+n}.

?
Задача 98

Найти наибольший член последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), если xn=1000nn!x_{n}=\dfrac {1000^{n}}{n!}.

?
Задача 99

Найти наименьший член последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), если xn=n2−9n−100x_{n}=n^{2}-9n-100.

?
Задача 100

Найти наименьший член последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), если xn=n+100nx_{n}=n+\dfrac {100}{n}.

?
Задача 101

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=1−1n. x_{n}=1-\frac{1}{n}.
?
Задача 101.1

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=(−1)n−1(2+3n). x_{n}=(-1)^{n-1}\left(2+\frac{3}{n}\right).
?
Задача 102

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=(−1)nn+1+(−1)n2. x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1+(-1)^{n}}{2}.
?
Задача 103

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=1+nn+1cos⁡nπ2. x_{n}=1+\frac{n}{n+1}\cos \frac{n\pi }{2}.
?
Задача 104

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=1+2(−1)n+1+3⋅(−1)n(n−1)2. x_{n}=1+2(-1)^{n+1}+3\cdot (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}.
?
Задача 105

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=n−1n+1cos⁡2nπ3. x_{n}=\frac{n-1}{n+1}\cos \frac{2n\pi }{3}.
?
Задача 106

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=(−1)nn. x_{n}=(-1)^{n}n.
?
Задача 107

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=−n[2+(−1)n]. x_{n}=-n\left[2+(-1)^{n}\right].
?
Задача 108

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=n(−1)n. x_{n}=n^{(-1)^{n}}.
?
Задача 109

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=1+nsin⁡nπ2. x_{n}=1+n\sin \frac{n\pi }{2}.
?
Задача 110

Для последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) найти inf⁡xn\inf x_{n}, sup⁡xn\sup x_{n}, lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=1n−10,2. x_{n}=\frac{1}{n-10{,}2}.
?
Задача 111

Найти lim‾⁡n→∞xn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=n21+ncos⁡2nπ3. x_{n}=\frac{n^{2}}{1+n}\cos \frac{2n\pi }{3}.
?
Задача 112

Найти lim‾⁡n→∞xn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=(1+1n)n⋅(−1)n+sin⁡nπ4. x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot (-1)^{n}+\sin \frac{n\pi }{4}.
?
Задача 113

Найти lim‾⁡n→∞xn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=nn+1sin⁡2nπ4. x_{n}=\frac{n}{n+1}\sin ^{2}\frac{n\pi }{4}.
?
Задача 114

Найти lim‾⁡n→∞xn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=1+2n⋅(−1)nn. x_{n}=\sqrt[n]{1+2^{n\cdot (-1)^{n}}}.
?
Задача 115

Найти lim‾⁡n→∞xn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n} и lim‾⁡n→∞xn\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}, если

xn=cos⁡n2nπ3. x_{n}=\cos ^{n}\frac{2n\pi }{3}.
?
Задача 116

Найти частичные пределы следующей последовательности:

12, 12, 14, 34, 18, 78, …, 12n, 2n−12n, … \frac{1}{2}, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \frac{7}{8}, \ \ldots , \ \frac{1}{2^{n}}, \ \frac{2^{n}-1}{2^{n}}, \ \ldots
?
Задача 117

Найти частичные пределы следующей последовательности:

1, 12, 1+12, 13, 1+13, 12+13, 14, 1+14, 12+14, 13+14, 15, …, 1, \ \frac{1}{2}, \ 1+\frac{1}{2}, \ \frac{1}{3}, \ 1+\frac{1}{3}, \ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}, \ \frac{1}{4}, \ 1+\frac{1}{4}, \ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}, \ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}, \ \frac{1}{5}, \ \ldots , …, 1n, 1+1n, 12+1n, …, 1n−1+1n, 1n+1, … \ldots , \ \frac{1}{n}, \ 1+\frac{1}{n}, \ \frac{1}{2}+\frac{1}{n}, \ \ldots , \ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}, \ \frac{1}{n+1}, \ \ldots
?
Задача 118

Найти частичные пределы следующей последовательности:

12, 13, 23, 14, 24, 34, 15, 25, 35, 45, … \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{2}{4}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{1}{5}, \ \frac{2}{5}, \ \frac{3}{5}, \ \frac{4}{5}, \ \ldots
?
Задача 119

Найти частичные пределы последовательности

xn=3(1−1n)+2(−1)n. x_{n}=3\left(1-\frac{1}{n}\right)+2(-1)^{n}.
?
Задача 120

Найти частичные пределы последовательности

xn=12[(a+b)+(−1)n(a−b)]. x_{n}=\frac{1}{2}\left[(a+b)+(-1)^{n}(a-b)\right].
?
Задача 121

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числа

a1,a2,…,ap. a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{p}.
?
Задача 122

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности

a1,a2,…,an,… a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots

являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

?
Задача 123

Построить пример последовательности:

?
(а)

не имеющей конечных частичных пределов;

(б)

имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;

(в)

имеющей бесконечное множество частичных пределов;

(г)

имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Задача 124

Доказать, что последовательности xnx_{n} и yn=xnnny_{n}=x_{n}\sqrt[n]{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) имеют одни и те же частичные пределы.

?
Задача 125

Доказать, что из ограниченной последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность xpnx_{p_{n}} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ).

?
Задача 126

Доказать, что если последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) не ограничена, то существует подпоследовательность xpnx_{p_{n}} такая, что lim⁡n→∞xpn=∞\lim \limits_{n \to \infty } x_{p_{n}}=\infty.

?
Задача 127

Пусть последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) сходится, а последовательность yny_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

?
(а)

xn+ynx_{n}+y_{n};

(б)

xnynx_{n}y_{n}?

Привести соответствующие примеры.

Задача 128

Пусть последовательности xnx_{n} и yny_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности

?
(а)

xn+ynx_{n}+y_{n};

(б)

xnynx_{n}y_{n}

также расходятся? Привести соответствующие примеры.

Задача 129

Пусть lim⁡n→∞xn=0\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=0, и yny_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что lim⁡n→∞xnyn=0\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}y_{n}=0? Привести соответствующие примеры.

?
Задача 130

Пусть

lim⁡n→∞xnyn=0. \lim _{n \to \infty } x_{n}y_{n}=0.

Следует ли отсюда, что либо lim⁡n→∞xn=0\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=0, либо lim⁡n→∞yn=0\lim \limits_{n \to \infty } y_{n}=0? Рассмотреть пример: xn=1+(−1)n2x_{n}=\dfrac {1+(-1)^{n}}{2}, yn=1−(−1)n2y_{n}=\dfrac {1-(-1)^{n}}{2} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ).

?
Задача 131

Доказать, что

?
(а)

lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn⩽lim‾⁡n→∞(xn+yn)⩽lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n}+\varliminf \limits_{n \to \infty } y_{n} \leqslant \varliminf \limits_{n \to \infty }(x_{n}+y_{n}) \leqslant \varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n}+\varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n}

(б)

lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn⩽lim‾⁡n→∞(xn+yn)⩽lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n}+\varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n} \leqslant \varlimsup \limits_{n \to \infty }(x_{n}+y_{n}) \leqslant \varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}+\varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n}.

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Задача 132

Пусть xn⩾0x_{n} \geqslant 0 и yn⩾0y_{n} \geqslant 0 (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ). Доказать, что

?
(а)

lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn⩽lim‾⁡n→∞(xnyn)⩽lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n}\cdot \varliminf \limits_{n \to \infty } y_{n} \leqslant \varliminf \limits_{n \to \infty }(x_{n}y_{n}) \leqslant \varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n}\cdot \varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n}

(б)

lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn⩽lim‾⁡n→∞(xnyn)⩽lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn\varliminf \limits_{n \to \infty } x_{n}\cdot \varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n} \leqslant \varlimsup \limits_{n \to \infty }(x_{n}y_{n}) \leqslant \varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}\cdot \varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n}.

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Задача 133

Доказать, что если lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n} существует, то, какова бы ни была последовательность yny_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), имеем:

?
(а)

lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\varlimsup \limits_{n \to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}+\varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n}

(б)

lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn(xn⩾0)\varlimsup \limits_{n \to \infty }(x_{n}y_{n})=\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}\cdot \varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n} \quad (x_{n} \geqslant 0).

Задача 134

Доказать, что если для некоторой последовательности xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), какова бы ни была последовательность yny_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), имеет место по меньшей мере одно из равенств:

?
(а)

lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\varlimsup \limits_{n \to \infty }(x_{n}+y_{n})=\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}+\varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n}

(б)

lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn(xn⩾0)\varlimsup \limits_{n \to \infty }(x_{n}y_{n})=\varlimsup \limits_{n \to \infty } x_{n}\cdot \varlimsup \limits_{n \to \infty } y_{n} \quad (x_{n} \geqslant 0),

то последовательность xnx_{n} — сходящаяся.

Задача 135

Доказать, что если xn>0x_{n} > 0 (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) и

lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞1xn=1, \varlimsup _{n \to \infty } x_{n}\cdot \varlimsup _{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=1,

то последовательность xnx_{n} — сходящаяся.

?
Задача 136

Доказать, что если последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) ограничена и lim⁡n→∞(xn+1−xn)=0\lim \limits_{n \to \infty }(x_{n+1}-x_{n})=0, то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

l=lim‾⁡n→∞xnиL=lim‾⁡n→∞xn, l=\varliminf _{n \to \infty } x_{n} \quad \text{и} \quad L=\varlimsup _{n \to \infty } x_{n},

то есть любое число из отрезка [l,L][l,L] является частичным пределом данной последовательности.

?
Задача 137

Пусть числовая последовательность x1,x2,…,xn,…x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots удовлетворяет условию

0⩽xm+n⩽xm+xn(m,n=1,2,…). 0 \leqslant x_{m+n} \leqslant x_{m}+x_{n} \quad (m,n=1,2,\ldots ).

Доказать, что lim⁡n→∞xnn\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {x_{n}}{n} существует.

?
Задача 138

Доказать, что если последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) сходится, то последовательность средних арифметических

ξn=1n(x1+x2+…+xn)(n=1,2,…) \xi _{n}=\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}) \quad (n=1,2,\ldots )

также сходится и

lim⁡n→∞x1+x2+…+xnn=lim⁡n→∞xn. \lim _{n \to \infty }\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}=\lim _{n \to \infty } x_{n}.

Обратное утверждение неверно: построить пример.

?
Задача 139

Доказать, что если lim⁡n→∞xn=+∞\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=+\infty, то

lim⁡n→∞x1+x2+…+xnn=+∞. \lim _{n \to \infty }\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}=+\infty .
?
Задача 140

Доказать, что если последовательность xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) сходится и xn>0x_{n} > 0, то

lim⁡n→∞x1x2…xnn=lim⁡n→∞xn. \lim _{n \to \infty }\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}=\lim _{n \to \infty } x_{n}.
?
Задача 141

Доказать, что если xn>0x_{n} > 0 (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), то

lim⁡n→∞xnn=lim⁡n→∞xn+1xn, \lim _{n \to \infty }\sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \to \infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}},

предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

?
Задача 142

Доказать, что

lim⁡n→∞nn!n=e. \lim _{n \to \infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e.
?
Задача 143

Доказать теорему Штольца: если

?
(а)

yn+1>yn(n=1,2,…)y_{n+1} > y_{n} \quad (n=1,2,\ldots );

(б)

lim⁡n→∞yn=+∞\lim \limits_{n \to \infty } y_{n}=+\infty,

(в)

существует lim⁡n→∞xn+1−xnyn+1−yn\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}},

то

lim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞xn+1−xnyn+1−yn. \lim _{n \to \infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}=\lim _{n \to \infty }\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}.
Задача 144

Найти:

?
(а)

lim⁡n→+∞n2an(a>1)\lim \limits_{n \to +\infty }\dfrac {n^{2}}{a^{n}} \quad (a > 1);

(б)

lim⁡n→+∞lg⁡nn\lim \limits_{n \to +\infty }\dfrac {\lg n}{n}.

Задача 145

Доказать, что если pp — натуральное число, то

?
(а)

lim⁡n→∞1p+2p+…+npnp+1=1p+1\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {1^{p}+2^{p}+\ldots +n^{p}}{n^{p+1}}=\dfrac {1}{p+1};

(б)

lim⁡n→∞(1p+2p+…+npnp−np+1)=12\lim \limits_{n \to \infty }\left(\dfrac {1^{p}+2^{p}+\ldots +n^{p}}{n^{p}}-\dfrac {n}{p+1}\right)=\dfrac {1}{2};

(в)

lim⁡n→∞1p+3p+…+(2n−1)pnp+1=2pp+1\lim \limits_{n \to \infty }\dfrac {1^{p}+3^{p}+\ldots +(2n-1)^{p}}{n^{p+1}}=\dfrac {2^{p}}{p+1}.

Задача 146

Доказать, что последовательность

xn=1+12+13+…+1n−ln⁡n(n=1,2,…) x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}-\ln n \quad (n=1,2,\ldots )

сходится.

Таким образом, имеет место формула

1+12+13+…+1n=C+ln⁡n+εn, 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}=C+\ln n+\varepsilon _{n},

где C=0,577216…C=0{,}577216\ldots — так называемая постоянная Эйлера и εn→0\varepsilon_{n} \to 0 при n→∞n \to \infty.

?
Задача 147

Найти

lim⁡n→∞(1n+1+1n+2+…+12n). \lim _{n \to \infty }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n}\right).
?
Задача 148

Последовательность чисел xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) определяется следующими формулами:

x1=a,x2=b,xn=xn−1+xn−22(n=3,4,…). x_{1}=a, \quad x_{2}=b, \quad x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2} \quad (n=3,4,\ldots ).

Найти lim⁡n→∞xn\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}.

?
Задача 149

Пусть xnx_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ) — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:

x0>0,xn+1=12(xn+1xn)(n=0,1,2,…). x_{0} > 0, \quad x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right) \quad (n=0,1,2,\ldots ).

Доказать, что lim⁡n→∞xn=1\lim \limits_{n \to \infty } x_{n}=1.

?
Задача 150

Доказать, что последовательности xnx_{n} и yny_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), определяемые следующими формулами:

x1=a,y1=b,xn+1=xnyn,yn+1=xn+yn2, x_{1}=a, \quad y_{1}=b, \quad x_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}}, \quad y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2},

имеют общий предел

μ(a,b)=lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn \mu (a,b)=\lim _{n \to \infty } x_{n}=\lim _{n \to \infty } y_{n}

(арифметико-геометрическое среднее чисел aa и bb).

?