Функциональные уравнения

Доказать, что единственная непрерывная функция $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, удовлетворяющая для всех вещественных значений $x$ и $y$ уравнению

есть линейная однородная $f(x)=ax$, где $a=f(1)$ — произвольная константа.

Доказать, что монотонная функция $f(x)$, удовлетворяющая уравнению (1) (см.задачу 809), есть линейная однородная.

Доказать, что функция $f(x)$, удовлетворяющая уравнению (1) (см.задачу 809) и ограниченная в сколь угодно малом интервале $(-\varepsilon ,\varepsilon )$, есть линейная однородная.

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, удовлетворяющая для всех значений $x$ и $y$ уравнению

есть показательная $f(x)=a^{x}$, где $a=f(1)$ — положительная постоянная.

Доказать, что не равная нулю тождественно функция $f(x)$, ограниченная в интервале $(0,\varepsilon )$ и удовлетворяющая уравнению (2) (см.задачу 812), есть показательная.

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция $f(x)$ $(0<x<+\infty )$, удовлетворяющая для всех положительных значений $x$ и $y$ уравнению

есть логарифмическая $f(x)=\log_{a}x$, где $a$ — положительная константа $(a \neq 1)$.

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция $f(x)$ $(0<x<+\infty )$, удовлетворяющая для всех положительных значений $x$ и $y$ уравнению

есть степенная $f(x)=x^{\alpha }$, где $\alpha$ — постоянная.

Найти все непрерывные функции $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, удовлетворяющие для всех вещественных значений $x$ и $y$ уравнению (3) (см.задачу 815).

Показать, что разрывная функция $f(x)=\operatorname {sign} x$ удовлетворяет уравнению (3) (см.задачу 815).

Найти все непрерывные функции $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, удовлетворяющие для всех вещественных значений $x$ и $y$ уравнению

Найти все непрерывные ограниченные функции $f(x)$ и $g(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, удовлетворяющие для всех вещественных значений $x$ и $y$ системе уравнений:

и, сверх того, условиям нормировки:

Пусть $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$ и $\Delta^{2}f(x)=\Delta \left\{ \Delta f(x)\right\}$ суть конечные разности функции $f(x)$ соответственно первого и второго порядков.

Доказать, что если функция $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ непрерывная и $\Delta^{2}f(x) \equiv 0$, то эта функция линейная, т.е. $f(x)=ax+b$, где $a$ и $b$ — постоянные.