Математическое ожидание и дисперсия

Пусть $X$ — число, выпавшее при броске одной игральной кости (сумма, выигранная в игре выше). Найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$.

Чему равно математическое ожидание случайной величины с распределением Бернулли?

Ваш друг забыл 8-значный пароль, необходимый для входа в его компьютер. Если он перебирает все возможные пароли совершенно случайным образом, отбрасывая неудачные, каково ожидаемое число попыток, необходимых для нахождения правильного пароля?

Игральная кость бросается дважды. Чему равно математическое ожидание суммы результатов?

Чему равно математическое ожидание случайной величины с биномиальным распределением?

Линейность. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X+Y\right]=\mathbb {E}\left[X\right]+\mathbb {E}\left[Y\right]$ и $\mathbb {E}\left[c X\right]= c \mathbb {E}\left[X\right]$ для любых простых случайных величин $X$ и $Y$ и любого $c \in \mathbb {R}$.

Положительность. Покажите, что если $X$ — простая случайная величина и $X \geqslant 0$, то $\mathbb {E}\left[X\right] \geqslant 0$.

Монотонность. Если $X$ и $Y$ — простые случайные величины такие, что $X \leqslant Y$, то $\mathbb {E}\left[X\right] \leqslant \mathbb {E}\left[Y\right]$.

Покажите, что $\left|\mathbb {E}\left[X\right]\right| \leqslant \mathbb {E}\left[\left|X\right|\right]$ для любой простой случайной величины.

Пусть $X$ — простая случайная величина такая, что $X \geqslant 0$. Покажите, что если $\mathbb {E}\left[X\right]=0$, то $\mathbb {P}\left(\{ X=0\} \right)=1$.

Пусть $X$ — простая случайная величина с $n$ различными значениями $x_{1}, \ldots$, $x_{n}$. Покажите, что для любой функции $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

где $f(x)=\mathbb {P}\left(\{ X=x\} \right)$ — функция вероятности.

Пусть $X$ и $Y$ — простые случайные величины. Проверьте неравенство Шварца

Для простых случайных величин $X$ и $Y$ докажите неравенство треугольника

Докажите следующее неравенство Йенсена: если $X$ — простая случайная величина со значениями в интервале $(a, b)$, а $h:(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ — выпуклая функция, то

Покажите, что $\mathbb {E}\left[\; \mathbb {1}_{A}\right]=\mathbb {P}\left(A\right)$ для любого события $A$.

Проверьте тождество $1-\; \mathbb {1}_{A \cup B}=\left(1-\; \mathbb {1}_{A}\right)\left(1-\; \mathbb {1}_{B}\right)$ и используйте его, чтобы доказать, что $\mathbb {P}\left(A \cup B\right)=\mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)-\mathbb {P}\left(A \cap B\right)$.

Проверьте тождество

и используйте его, чтобы доказать формулу включений-исключений, приведённую в Решении 4.20.

Для любых независимых простых случайных величин $X$ и $Y$ покажите, что

Покажите, что для любой простой случайной величины $X$

Вычислите дисперсию случайной величины с распределением Бернулли.

Покажите, что если $\operatorname {Var}\left[X\right]=0$, то $\mathbb {P}\left(\{ X=a\} \right)=1$ для некоторого $a \in \mathbb {R}$.

Покажите, что $\operatorname {Var}\left[X+a\right]=\operatorname {Var}\left[X\right]$ для любого $a \in \mathbb {R}$.

Покажите, что $\operatorname {Var}\left[b X+a\right]=b^{2} \operatorname {Var}\left[X\right]$ для любых $a, b \in \mathbb {R}$.

Покажите, что

если $X$ и $Y$ — независимые простые случайные величины.

Вычислите дисперсию случайной величины с биномиальным распределением.

Найдите пример дискретной случайной величины, математическое ожидание которой не определено.

Несимметричная монета с вероятностью выпадения орла $p$ и решки $1-p$ подбрасывается многократно. Пусть $X$ — число подбрасываний до первого выпадения орла. Вычислите математическое ожидание $X$. (Распределение $X$ называется геометрическим распределением.)

Монета подбрасывается многократно, пока не выпадет решка, и вы выигрываете $a^{k}$ долларов, где $k$ — число орлов до первой решки, а $a>0$. Какую сумму вы бы сочли справедливой заплатить за участие в этой игре?

Чему равно математическое ожидание случайной величины с распределением Пуассона?

Вычислите математическое ожидание случайной величины с отрицательным биномиальным распределением.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина. Покажите, что для любой борелевской функции $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ случайная величина $g(X)$ также дискретна и, при условии, что ряд ниже абсолютно сходится,

где $x_{1}, x_{2}, \ldots$ — значения $X$ такие, что $x_{i} \neq x_{j}$ при $i \neq j$, а $f(x)=\mathbb {P}\left(\{ X=x\} \right)$ — функция вероятности $X$.

Пусть $X \geqslant 0$ — дискретная случайная величина, и пусть $0 \leqslant X_{1} \leqslant X_{2} \leqslant \cdots$ — неубывающая последовательность дискретных случайных величин такая, что $X_{n} \nearrow X$ при $n \rightarrow \infty$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \nearrow \mathbb {E}\left[X\right]$ при $n \rightarrow \infty$.

Приведите пример дискретной случайной величины, для которой математическое ожидание существует, а дисперсия не определена.

Вычислите дисперсию случайной величины с распределением Пуассона.

Вычислите дисперсию случайной величины с геометрическим распределением; см. Задачу 9.27.

Приведите пример абсолютно непрерывной случайной величины $X$, для которой математическое ожидание не определено.

$X$ имеет равномерное распределение на $[a, b]$ с плотностью $f_{X}(x)=\frac{1}{b-a}$, если $x \in [a, b]$, и 0, если $x \notin [a, b]$.

$X$ имеет показательное распределение с плотностью

$X$ имеет распределение Коши с плотностью

$X$ имеет нормальное распределение с плотностью

где $a \in \mathbb {R}$ и $b>0$ — заданные числа.

Используя Теорему 9.1, вычислите математическое ожидание случайной величины с логнормальным распределением (см. Задачу 8.55, где дано определение логнормального распределения).

Используя Теорему 9.1, покажите, что

для любой абсолютно непрерывной случайной величины $X$, при условии, что оба математических ожидания в правой части существуют.

Вычислите дисперсию случайной величины с показательным распределением.

Вычислите дисперсию случайной величины с нормальным распределением.

$P_{X}(A)=\frac{1}{3} \delta_{0}(A)+\frac{2}{3} P_{2}(A)$, где $P_{2}$ — абсолютно непрерывная вероятностная мера с плотностью $f(x)=\frac{1}{2} \; \mathbb {1}_{[1,3]}$ (см. Задачу 6.39).

$P_{X}(A)=\frac{1}{8} \delta_{1}(A)+\frac{3}{8} \delta_{2}(A)+\frac{1}{2} P_{3}(A)$, где $P_{3}$ — абсолютно непрерывная вероятностная мера с плотностью $f(x)=\frac{1}{2} \; \mathbb {1}_{[1,3]}$ (см. Задачу 6.40).

$P_{X}(A)=\frac{1}{4} \delta_{0}(A)+\frac{1}{2} \delta_{2}(A)+\frac{1}{4} P_{3}(A)$, где $P_{3}$ — абсолютно непрерывная вероятностная мера с плотностью $f(x)=e^{-x} \; \mathbb {1}_{[0,+\infty )}$ (см. Задачу 6.41).

По дороге на работу вам приходится проезжать через оживлённый перекрёсток, где вы можете быть остановлены светофором. Цикл светофора состоит из 2 минут зелёного сигнала, за которыми следуют 3 минуты красного. Каково ожидаемое время задержки в пути, если вы подъезжаете к перекрёстку в случайный момент времени, равномерно распределённый по всему 5-минутному циклу?

Правильная монета подбрасывается многократно. За каждое выпадение орла вы выигрываете $\frac{2}{3^{k}}$, где $k$ — номер броска. За решку вы не выигрываете ничего. Покажите, что выигрыш $X$ после бесконечного числа бросков является сингулярной случайной величиной, т.е. не является ни дискретной, ни абсолютно непрерывной, ни их смесью.

Каков ожидаемый выигрыш $\mathbb {E}\left[X\right]$ после бесконечного числа бросков монеты из Задачи 9.49?