Случайные величины и их распределения

Покажите, что $X: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ является случайной величиной тогда и только тогда, когда прообраз $\{ X \in B\}$ принадлежит $\mathcal{F}$ для каждого борелевского множества $B \subset \mathbb {R}$.

Если $X$ обозначает сумму, выигранную (или проигранную) в игре, описанной в начале этой главы, каковы вероятности $\mathbb {P}\left(\{ X>0\} \right)$ и $\mathbb {P}\left(\{ X<0\} \right)$?

Бросают две кости. Пусть $X$ — большее из двух выпавших чисел. Вычислите $\mathbb {P}\left(\{ X \in [2,4]\} \right)$.

Пусть $\Omega =[0,1]$ с борелевскими множествами и мерой Лебега. Найдите $\mathbb {P}\left(\{ X \in \left[0, \frac{1}{2}\right)\} \right)$ для $X(x)=x^{2}$.

Пусть $X$ — число подбрасываний правильной монеты вплоть до первого выпадения орла включительно. Найдите $\mathbb {P}\left(\{ X \in 2 \mathbb {N}\} \right)$, где $2 \mathbb {N}=\{ 2 n: n= 1,2, \ldots \}$ — множество чётных целых чисел.

Покажите, что если $X$ — постоянная функция, то она является случайной величиной относительно любой $\sigma$-алгебры.

Пусть $\Omega =\{ 1,2,3,4\}$ и $\mathcal{F}=\{ \varnothing , \Omega ,\{ 1\} ,\{ 2,3,4\} \}$. Является ли $X(\omega )=1+\omega$ случайной величиной относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$? Если нет, приведите пример непостоянной функции, которая является таковой.

Для каждой из приведённых ниже функций найдите наименьшую $\sigma$-алгебру на $\Omega = \{ -2,-1,0,1,2\}$, относительно которой данная функция является случайной величиной:

Найдите наименьшие $\sigma$-алгебры на $\Omega =\{ -2,-1,0,1,2\}$, такие что следующие функции являются случайными величинами:

Рассмотрим $\Omega =[0,1]$ с $\sigma$-алгеброй $\mathcal{F}$ борелевских множеств $B$, содержащихся в $[0,1]$.

Пусть $\Omega =[0,1]$ с $\sigma$-алгеброй $\mathcal{G}$ борелевских множеств $B$, содержащихся в $[0,1]$, таких что $B=1-B$. (Через $1-B$ мы обозначаем множество $\{ 1-x: x \in B\}$.)

Каково наименьшее число элементов $\sigma$-алгебры, если функция $X: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$, принимающая ровно $n$ различных значений, должна быть случайной величиной относительно этой $\sigma$-алгебры?

Покажите, что если $X$ — случайная величина относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F} \subset \mathcal{G}$ для некоторой $\sigma$-алгебры $\mathcal{G}$, то $X$ является случайной величиной относительно $\mathcal{G}$.

Пусть $X$ — случайная величина. Покажите, что отображение

является вероятностной мерой на $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}$ борелевских множеств в $\mathbb {R}$.

Найдите пример двух различных случайных величин $X$ и $X^{\prime }$ с одним и тем же распределением $P_{X}=P_{X^{\prime }}$.

Пусть $X$ — сумма, выигранная (или проигранная) в игре, описанной в начале этой главы. Найдите $\mathbb {P}_{X}\left((0,+\infty )\right)$ и $\mathbb {P}_{X}\left((-\infty , 0)\right)$.

Бросают две кости. Пусть $X$ — большее из двух выпавших чисел. Вычислите $\mathbb {P}_{X}\left([2,4]\right)$.

Пусть $\Omega =[0,1]$ с борелевскими множествами и мерой Лебега. Найдите $\mathbb {P}_{X}\left(\left[0, \frac{1}{2}\right)\right)$, если $X(x)=x^{2}$.

Пусть $X$ — число подбрасываний правильной монеты вплоть до и включая первое выпадение орла. Найдите $\mathbb {P}_{X}\left(2 \mathbb {N}\right)$, где $2 \mathbb {N}=\{ 2 n: n= 1,2, \ldots \}$ — множество чётных целых чисел.

$X(\omega ) \equiv c$ (постоянная случайная величина, тождественно равная $c$).

$X(\omega )=1$ для $\omega \in A$ и $X(\omega )=2$ в остальных случаях, где $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{3}$.

$X(\omega )=c_{k}$ с вероятностью $\alpha_{k}$ для $k=1, \ldots , n$, где $c_{1}<c_{2}< \cdots <c_{n}$ и $\alpha_{1}+\cdots +\alpha_{n}=1$.

$X(\omega )=1$ для $\omega \in A, X(\omega )=-2$ для $\omega \in B$, и $X(\omega )=2$ в остальных случаях, где $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{3}, \mathbb {P}\left(B\right)=\frac{1}{2}$, и $A \cap B=\varnothing$.

$\Omega =[0,1]$ с мерой Лебега, $X(x)=2 x-1$.

Пусть $X$ — число подбрасываний правильной монеты вплоть до и включая первое выпадение орла. Вычислите и изобразите функцию распределения $F_{X}$.

$F_{X}$ не убывает, т.е. если $y_{1} \leqslant y_{2}$, то $F_{X}\left(y_{1}\right) \leqslant F_{X}\left(y_{2}\right)$.

$\lim_{y \rightarrow +\infty } F_{X}(y)=1$.

$\lim_{y \rightarrow -\infty } F_{X}(y)=0$.

Покажите, что если все значения $X$ лежат в промежутке $[a, b]$, где $a<b$, то $F_{X}(y)=0$ для всех $y<a$ и $F_{X}(y)=1$ для всех $y \geqslant b$.

$F_{X}$ непрерывна справа.

$F_{X}$ непрерывна в точке $y$ тогда и только тогда, когда $P_{X}(\{ y\} )=0$.

Пусть $a<b$. Найдите выражения для следующих вероятностей через $F_{X}$:

Найдите $F_{X}$, если $\Omega =[0,1] \times [0,1]$ — единичный квадрат с равномерной мерой (измеряющей площадь поверхности), а $X(\omega )$ — расстояние между $\omega \in \Omega$ и ближайшим краем квадрата.

Подбрасывают монету. Если выпадает орёл, вы платите 2 доллара. Если выпадает решка, вы крутите колесо, которое даёт сумму выигрыша, распределённую равномерно между 0 и 10 долларами. Ваш выигрыш (или проигрыш) — случайная величина $X$. Найдите функцию распределения и с её помощью вычислите вероятность того, что вы не выиграете хотя бы 5 долларов.

Ваша машина сломалась в полдень. Вы вызвали ремонтную бригаду, которая выехала в 12:00 из места, находящегося в 100 милях от вас. Они едут со скоростью 100 миль в час. Тем временем вы сами пытаетесь починить машину. Шансы на успех равномерно распределены на промежутке времени между 12 и 1 часом с суммарной вероятностью $\frac{1}{2}$. Если вам удастся, вы поедете навстречу ремонтной бригаде со скоростью 100 миль в час. Пусть $X$ — расстояние, пройденное бригадой до встречи с вами (плата, которую вы платите, зависит от него). Найдите $F_{X}$.

Два города A и B находятся на расстоянии 50 миль друг от друга. Машина 1 выезжает из города A, а машина 2 выезжает из города B независимо друг от друга. Время отправления каждой машины случайно и равномерно распределено между 12 и 1 часом. Скорость каждой машины составляет 100 миль в час, и они едут прямо навстречу друг другу. Обозначим через $X$ расстояние между точкой встречи и A. Найдите $F_{X}$.

Покажите, что $X$ — дискретная случайная величина тогда и только тогда, когда распределение $P_{X}$ является дискретной вероятностной мерой на $\mathbb {R}$ в смысле определения 6.7.

Говорят, что случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение $B(n, p)$, где $n=1,2, \ldots$ и $p \in [0,1]$, если

для $k=0,1, \ldots , n$. Проверьте, что такая случайная величина дискретна.

Покажите, что индикаторная функция $\; \mathbb {1}_{A}$ события $A$ имеет биномиальное распределение $B(n, p)$ с $n=1$ и $p=\mathbb {P}\left(A\right)$. (Это иногда называют распределением Бернулли.)

Пусть $X$ имеет биномиальное распределение $B(n, p)$. Покажите, что для любого $k=1, \ldots , n$

(Эту формулу можно использовать на практике для вычисления $\mathbb {P}_{X}\left(\{ k\} \right)$ по индукции, начиная с $\mathbb {P}_{X}\left(\{ 0\} \right)=(1-p)^{n}$, или обратной индукцией, начиная с $\mathbb {P}_{X}\left(\{ n\} \right)=p^{n}$.)

Пусть $X$ имеет биномиальное распределение $B(n, p)$, а $Y$ имеет биномиальное распределение $B(n, 1-p)$. Проверьте, что для любого $k=0,1, \ldots , n$

Несимметричную монету с вероятностью орла $p$ и решки $1-p$ подбрасывают $n$ раз. Пусть $X$ обозначает число выпавших орлов. Каково распределение $X$?

Несимметричную монету с вероятностью орла $p$ и решки $1-p$ подбрасывают до тех пор, пока не выпадет $k$ орлов.

Пусть $X_{n}$ — последовательность случайных величин с биномиальным распределением $B\left(n, \frac{\lambda }{n}\right)$ для некоторого $\lambda >0$. Покажите, что

Говорят, что случайная величина $X$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda >0$, если

для $k=0,1,2, \ldots$. Покажите, что $X$ — дискретная случайная величина.

Устройство безопасности в лаборатории настроено на срабатывание сигнализации, если оно регистрирует пять или более радиоактивных частиц в течение одной секунды. Если фоновая радиация такова, что число частиц, попадающих на устройство, имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda =0.5$, какова вероятность того, что сигнализация сработает в течение заданного 1-секундного периода?

Пусть $X$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Проверьте, что

для каждого $k=0,1,2, \ldots$. (Эта формула может использоваться для вычисления $\mathbb {P}_{X}\left(\{ k\} \right)$ по индукции, начиная с $\mathbb {P}_{X}\left(\{ 0\} \right)=e^{-\lambda }$.)

Покажите, что $\int_{-\infty }^{\infty } f_{X}(x) \mathrm{d} x=1$.

Покажите, что $P_{X}(\{ y\} )=0$ для любого $y \in \mathbb {R}$.

Дайте формулу для $F_{X}(y)$ через $f_{X}$.

Покажите, что для любой абсолютно непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна.

Покажите, что если функция распределения $F_{X}$ дифференцируема с непрерывной производной, то $X$ — абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью $f_{X}(x)=\frac{d F_{X}(x)}{d x}$.

Случайная величина $X$ имеет нормальное распределение $N\left(m, \sigma^{2}\right)$, где $m, \sigma \in \mathbb {R}$, если она является абсолютно непрерывной случайной величиной с плотностью

Проверьте, что $f_{X}$ действительно является плотностью.

Пусть $X$ — случайная величина с нормальным распределением $N(0,1)$. Покажите, что $a+b X$, где $a, b \in \mathbb {R}$, имеет нормальное распределение $N\left(a, b^{2}\right)$.

Пусть $X$ — случайная величина с нормальным распределением $N(0,1)$. Найдите плотность $Y=e^{X}$. (Распределение $Y$ называется логнормальным распределением.)

Пусть $X$ — абсолютно непрерывная случайная величина с равномерным распределением на $[0,1]$, т.е. с $f_{X}(x)=1$ для любого $x \in [0,1]$ и $f_{X}(x)=0$ в остальных случаях. Найдите функцию $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такую, что $g(X)$ имеет нормальное распределение $N(0,1)$.

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, P)$. Покажите, что $\{ (X, Y) \in B\}$ принадлежит $\mathcal{F}$ для любого борелевского множества $B$ в $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве. Покажите, что распределение $P_{X}$ величины $X$ и $P_{Y}$ величины $Y$ можно получить из совместного распределения следующим образом:

для любого борелевского множества $B$ в $\mathbb {R}$.

Две одинаковые монеты подбрасываются одновременно. Пусть $X$ — число выпавших орлов, а $Y$ — число выпавших решек. Каково совместное распределение $X$ и $Y$? Каковы маргинальные распределения?

Бросают пару игральных костей. Пусть $X$ — большее, а $Y$ — меньшее из выпавших чисел. Найдите совместное распределение и маргинальные распределения $X$ и $Y$.

Из урны, содержащей один жёлтый, два красных и три синих шара, вынимают два шара. Пусть $X$ — число вынутых красных шаров, а $Y$ — число вынутых синих шаров. Найдите совместное распределение и маргинальные распределения $X$ и $Y$.

Докажите, что случайные величины $X$ и $Y$ совместно дискретны тогда и только тогда, когда обе они дискретны.

Правильную монету подбрасывают многократно. Предположим, что орёл впервые появляется после $X$ подбрасываний, а решка впервые появляется после $Y$ подбрасываний. Покажите, что $X$ и $Y$ — совместно дискретные случайные величины, и найдите их совместное распределение. Отсюда, или иным способом, вычислите маргинальные распределения $X$ и $Y$.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместное распределение

для $m, n=1,2, \ldots$. Вычислите маргинальные распределения $P_{X}$ и $P_{Y}$.

Покажите, что если $X$ и $Y$ — совместно непрерывные случайные величины, то и $X$, и $Y$ абсолютно непрерывны с плотностью, соответственно,

Выраженные таким образом, $f_{X}$ и $f_{Y}$ называются маргинальными плотностями.

Найдите две абсолютно непрерывные случайные величины $X$ и $Y$, которые не являются совместно непрерывными.

Если $X$ и $Y$ — совместно непрерывные случайные величины, покажите, что $U= X+Y$ и $V=X-Y$ также совместно непрерывны с совместной плотностью

Покажите, что $X$ и $Y$ — независимые случайные величины тогда и только тогда, когда события $\{ X \in A\}$ и $\{ Y \in B\}$ независимы для любых борелевских множеств $A, B \subset \mathbb {R}$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины. Покажите, что $f(X)$ и $g(Y)$ независимы для любых борелевских функций $f$ и $g$. (Через $f(X)$ мы обозначаем случайную величину $\Omega \ni \omega \mapsto f(X(\omega )) \in \mathbb {R}$, а через $g(Y)$ — случайную величину $\Omega \ni \omega \mapsto g(Y(\omega )) \in \mathbb {R}$.)

Покажите, что совместно непрерывные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда для всех $x, y \in \mathbb {R}$,

Предположим, что $X$ и $Y$ — совместно непрерывные случайные величины с совместной плотностью $f_{X, Y}(x, y)=c e^{x+y}$ для $x, y \in (-\infty , 0]$ и $f_{X, Y}(x, y)= 0$ в остальных случаях.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с биномиальным распределением $B(m, p)$ и $B(n, p)$ соответственно. Каково распределение $X+Y$?

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, имеющие распределение Пуассона с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Найдите распределение $X+Y$.

Предположим, что $X$ и $Y$ — совместно непрерывные независимые случайные величины. Покажите, что плотность суммы $X+Y$ является свёрткой маргинальных плотностей: