Условная вероятность и независимость

Правильную игральную кость с гранями 1, 2 и 3, окрашенными в зелёный цвет, и гранями 4, 5 и 6, окрашенными в красный цвет, подбрасывают один раз.

Предположим, что кость из Задачи 7.1 несимметрична, причём

Бросают две правильные игральные кости, и результат держат в секрете. Вы жизненно (в финансовом отношении) заинтересованы в выпавшей сумме.

Вы слышали, что у старого друга двое детей, один из которых девочка, но вы не знаете пол другого ребёнка. Какова вероятность того, что это мальчик?

Покажите, что $\mathbb {P}\left( A \mid \Omega \right)=\mathbb {P}\left(A\right)$.

Покажите, что если $B \subset A$ и $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$, то $\mathbb {P}\left( A \mid B \right)=1$.

Покажите, что если $A \cap B=\varnothing$ и $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$, то $\mathbb {P}\left( A \mid B \right)=0$.

Покажите, что если $A \cap B=\varnothing$ и $\mathbb {P}\left(C\right) \neq 0$, то $\mathbb {P}\left( A \cup B \mid C \right)=\mathbb {P}\left( A \mid C \right)+\mathbb {P}\left( B \mid C \right)$.

$A \mapsto \mathbb {P}\left( A \mid B \right)$ является вероятностной мерой на $\mathcal{F}$.

$(B,\{ A \cap B: A \in \mathcal{F}\} , \mathbb {P}\left( \cdot \mid B \right))$ является вероятностным пространством.

Если $\mathbb {P}\left(A \cap B\right) \neq 0$, то $\mathbb {P}\left(A \cap B \cap C\right)=\mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left( B \mid A \right) \mathbb {P}\left( C \mid A \cap B \right)$.

Если $\mathbb {P}\left(A_{1} \cap \cdots \cap A_{n-1}\right) \neq 0$, то

Если $\mathbb {P}\left(B \cap C\right) \neq 0$, то $\mathbb {P}\left( A \mid B \cap C \right) \mathbb {P}\left( B \mid C \right)=\mathbb {P}\left( A \cap B \mid C \right)$.

Если $\mathbb {P}\left(A\right) \neq 0$ и $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$, то $\mathbb {P}\left( A \mid B \right) \geqslant \mathbb {P}\left(A\right)$ эквивалентно $\mathbb {P}\left( B \mid A \right) \geqslant \mathbb {P}\left(B\right)$.

Предполагая, что $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$ и $\mathbb {P}\left(\Omega \backslash B\right) \neq 0$, если $\mathbb {P}\left( A \mid B \right) \geqslant \mathbb {P}\left(A\right)$, то $\mathbb {P}\left( A \mid \Omega \backslash B \right) \leqslant \mathbb {P}\left(A\right)$.

Студенту предстоит сдавать экзамен, состоящий из 3 вопросов, случайно выбранных из списка в 100 вопросов. Чтобы сдать экзамен, он должен ответить на все три вопроса. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он знает ответы на 90 вопросов из этого списка?

Миссис Джонс испекла пирог с мясом и почками для своих двух сыновей. Если съесть больше половины пирога, у любого начнётся несварение желудка. Пока она отсутствует, пьёт чай у соседки, старший сын берёт себе кусок пирога. Затем приходит младший сын и берёт кусок от того, что осталось. Когда миссис Джонс возвращается, она обнаруживает, что съедено больше половины пирога.

Предполагая, что размер каждого из двух съеденных кусков случаен и равномерно распределён по тому, что доступно в данный момент, какова вероятность того, что ни один из сыновей миссис Джонс не получит несварения желудка?

Наощупь в темноте мы открываем один из двух ящиков комода и наугад берём предмет одежды. Какова вероятность того, что это носок, если в одном ящике лежат 6 носков и 6 трусов, а в другом — 2 носка и 4 носовых платка?

Пусть $\Omega =H_{1} \cup H_{2}$ и $H_{1} \cap H_{2}=\varnothing$. Предполагая, что известны $\mathbb {P}\left( A \mid H_{1} \right)$, $\mathbb {P}\left( A \mid H_{2} \right), \mathbb {P}\left(H_{1}\right) \neq 0$ и $\mathbb {P}\left(H_{2}\right) \neq 0$, найдите выражение для $\mathbb {P}\left(A\right)$.

Пусть $H_{1}, \ldots , H_{n}$ — попарно непересекающиеся события ($H_{i} \cap H_{j}=\varnothing$ при $i \neq j$), такие что $\Omega =H_{1} \cup \cdots \cup H_{n}$ и $\mathbb {P}\left(H_{i}\right) \neq 0$ для $i=1, \ldots , n$. Покажите, что для любого события $A$

Докажите теорему 7.1.

Проводится опрос с целью выяснить процент мужчин, которые поют в ванной. Поскольку некоторые люди могут стесняться открыто в этом признаться, каждого опрашиваемого просят тайно бросить кубик и ответить НЕТ, если выпало число 1, и ДА, если выпало 6, независимо от того, каков истинный ответ, но говорить правду (ДА или НЕТ), если выпало 2, 3, 4 или 5. Поскольку выпавшее число не разглашается, по данному ответу невозможно определить, поёт ли этот человек в ванной или нет.

Предположим, что вероятность ответа ДА в этом опросе оказалась равной $\frac{2}{3}$. Какова тогда вероятность того, что опрашиваемый поёт в ванной?

У нас есть две игральные кости, красная и белая. Красная кость подделана так, что вероятность выпадения 6 равна $\frac{1}{3}$, а остальные исходы равновероятны между собой. Белая кость честная. Мы можем выбрать одну кость, оставив другую сопернику. Кости бросаются, и выигрывает игрок с большим результатом. В случае равенства результатов побеждает игрок с белой костью. Какую кость нужно выбрать, чтобы иметь больше шансов выиграть игру?

Предмет одежды наугад берётся из одного из двух ящиков в тёмной комнате, как описано в задаче 7.18. В первом ящике лежат 6 носков и 6 трусов, а в другом — 2 носка и 4 носовых платка. Какова вероятность того, что предмет взят из первого ящика, если он оказался носком?

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — непересекающиеся события, такие что $H_{1} \cup H_{2}=\Omega$. Выразите $\mathbb {P}\left( H_{1} \mid A \right)$ через $\mathbb {P}\left(H_{1}\right), \mathbb {P}\left(H_{2}\right), \mathbb {P}\left( A \mid H_{1} \right)$ и $\mathbb {P}\left( A \mid H_{2} \right)$.

Обобщите задачу 7.25 на случай $n$ событий $H_{1}, \ldots , H_{n}$.

Докажите формулу Байеса в теореме 7.2.

У вас есть две монеты: честная, с вероятностью выпадения орла $\frac{1}{2}$, и нечестная, с вероятностью выпадения орла $\frac{1}{3}$, но в остальном идентичная. Монета выбирается наугад и подбрасывается, выпадает орлом вверх. Насколько вероятно, что это честная монета?

У вас в кармане три монеты, две честные, а третья смещённая, с вероятностью орла $p$ и решки $1-p$. Одна наугад выбранная монета падает на пол, выпадая орлом вверх. Насколько вероятно, что это одна из честных монет?

В опросе из задачи 7.22 вероятность того, что человек поёт в ванной, найдена равной $\frac{3}{4}$. Насколько вероятно, что человек, ответивший ДА, действительно поёт в ванной? Насколько вероятно, что человек, ответивший НЕТ, поёт в ванной?

Из стандартной колоды в 52 игральные карты наугад вытягивается карта. Пусть $A$ обозначает событие, состоящее в том, что карта — туз, а $B$ — событие, состоящее в том, что карта — пика. Покажите, что $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left( A \mid B \right)$.

Предположим, что $\mathbb {P}\left(A\right) \neq 0$ и $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$. Покажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left( A \mid B \right)$,

2. $\mathbb {P}\left(B\right)=\mathbb {P}\left( B \mid A \right)$,

3. $\mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right)=\mathbb {P}\left(A \cap B\right)$.

Пусть $0 \neq \mathbb {P}\left(B\right) \neq 1$. Покажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left( A \mid B \right)$,

2. $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left( A \mid \Omega \backslash B \right)$,

3. $\mathbb {P}\left( A \mid B \right)=\mathbb {P}\left( A \mid \Omega \backslash B \right)$.

Покажите, что для любых событий $A$ и $B$ следующие условия эквивалентны:

1. $A$ и $B$ независимы,

2. $\Omega \backslash A$ и $B$ независимы,

3. $\Omega \backslash A$ и $\Omega \backslash B$ независимы.

Пусть $\Omega =\{ 1,2,3,4\}$ с равномерной вероятностью и пусть $A=\{ 1,2\}$. Перечислите все $B \subset \Omega$, такие что $A$ и $B$ независимы.

Пусть $\Omega =\{ 1,2,3,4,5,6\}$ с равномерной вероятностью. Покажите, что если $A, B \subset \Omega$ независимы и $A$ содержит 4 элемента, то $B$ должно содержать 0, 3 или 6 элементов.

Пусть $\Omega$ — множество из $n$ элементов с равномерной вероятностью, и пусть $A, B \subset \Omega$ независимы. Покажите, что если $A$ содержит $i$ элементов, то $B$ должно содержать

элементов, где $k \in \{ 0,1, \ldots , \operatorname {gcd}(i, n)\}$. Здесь $\operatorname {gcd}(i, n)$ — наибольший общий делитель $i, n$.

Покажите, что если $A=B$ и $A, B$ независимы (то есть $A$ независимо само от себя), то $\mathbb {P}\left(A\right)=0$ или 1.

Пусть $A$ — событие. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $A, B$ независимы для любого события $B$,

2. $\mathbb {P}\left(A\right)=0$ или 1.

Правильную монету подбрасывают три раза и рассматривают следующие события: $A=$ 1-й и 2-й броски дают разные исходы, $B=$ 2-й и 3-й броски дают разные исходы, $C=$ 3-й и 1-й броски дают разные исходы. Покажите, что $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left( A \mid B \right)=\mathbb {P}\left( A \mid C \right)$, но $\mathbb {P}\left(A\right) \neq \mathbb {P}\left( A \mid B \cap C \right)$.

Покажите, что события $A, B, C$ из задачи 7.40 попарно независимы; то есть $A, B$ независимы в смысле определения 7.3, и так же независимы $B, C$ и $C, A$.

Покажите, что если $A, B$ и $C$ — попарно независимые события и $\mathbb {P}\left(B \cap C\right) \neq 0$, то следующие условия эквивалентны:

1. $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left( A \mid B \cap C \right)$,

2. $\mathbb {P}\left(A \cap B \cap C\right)=\mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right) \mathbb {P}\left(C\right)$.

Пусть $A, B, C$ — независимые события. Покажите, что

Пусть $A, B$ и $C$ — независимые события. Покажите, что если $D$ — любое событие в $\sigma$-алгебре $\mathcal{F}_{\{ B, C\} }$, порождённой $\{ B, C\}$, то $A$ и $D$ независимы.

Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $A, B, C$ независимы,

2. $\Omega \backslash A, B, C$ независимы,

3. $\Omega \backslash A, \Omega \backslash B, C$ независимы,

4. $\Omega \backslash A, \Omega \backslash B, \Omega \backslash C$ независимы.

Пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}, B$ — $n+1$ независимых событий. Покажите, что $B$ и $C$ независимы для любого события $C$ в $\sigma$-алгебре $\mathcal{F}_{\left\{ A_{1}, \ldots , A_{n}\right\} }$, порождённой $\left\{ A_{1}, \ldots , A_{n}\right\}$.

Пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}, B_{1}, \ldots , B_{m}$ — $n+m$ независимых событий. Покажите, что для любого $C$ из $\mathcal{F}_{\left\{ A_{1}, \ldots , A_{n}\right\} }$ и любого $D$ из $\mathcal{F}_{\left\{ B_{1}, \ldots , B_{m}\right\} }$ события $C$ и $D$ независимы.