Счётно-аддитивная вероятность

Покажите, что если $P$ счётно-аддитивна, то она также конечно-аддитивна; то есть $\mathbb {P}\left(A \cup B\right)=\mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)$ для любых $A, B \in \mathcal{F}$ таких, что $A \cap B =\varnothing$.

Пусть $\mathcal{F}$ — конечное поле. Покажите, что если $P$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой на $\mathcal{F}$, то она также счётно-аддитивна.

Пусть $\Omega =\mathbb {N}$ и пусть $\mathcal{F}$ — семейство всех подмножеств $\Omega$. Можно ли $\mathbb {P}\left(\{ i\} \right)= \frac{1}{i}, i=1,2, \ldots$, продолжить до вероятностной меры на $\mathcal{F}$?

Пусть $\Omega =\mathbb {N}$, и пусть $\mathcal{F}$ — семейство всех подмножеств $\Omega$. Положим $\mathbb {P}\left(\{ i\} \right)= \alpha_{i}, i=1,2, \ldots$. Продолжите $P$ до вероятностной меры, заданной на $\mathcal{F}$. Какие условия нужно наложить на числа $\alpha_{i}$? Можно ли выбрать их все одинаковыми?

Пусть $\Omega =\mathbb {N}$ и пусть $\mathcal{F}$ — семейство всех подмножеств $\Omega$. Можно ли $\mathbb {P}\left(\{ i\} \right)= 2^{-i}, i=1,2, \ldots$, продолжить до вероятностной меры на $\mathcal{F}$?

Пусть $\Omega =\mathbb {N}$ и пусть $\mathcal{F}$ — семейство всех подмножеств $\Omega$. Можете ли вы найти такое значение $c$, что $\mathbb {P}\left(\{ i\} \right)=\frac{c}{i!}, i=1,2, \ldots$, можно продолжить до вероятностной меры на $\mathcal{F}$?

Пусть $\Omega =\mathbb {N}$ и пусть $\mathcal{F}$ — семейство всех подмножеств $\Omega$. Является ли

вероятностной мерой на $\mathcal{F}$?

Покажите, что если $A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset \cdots$ (это называется расширяющейся или возрастающей последовательностью множеств), то

Покажите, что если $A_{1} \supset A_{2} \supset A_{3} \supset \cdots$ (это называется сужающейся или убывающей последовательностью множеств), то

Если $\mathbb {P}\left(A_{n}\right)=0$ при $n=1,2, \ldots$, то $\mathbb {P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}\right)=0$.

Если $\mathbb {P}\left(A_{n}\right)=1$ при $n=1,2, \ldots$, то $\mathbb {P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n}\right)=1$.

Если $\mathbb {P}\left(A_{n} \triangle A\right) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, то $\mathbb {P}\left(A_{n}\right) \rightarrow \mathbb {P}\left(A\right)$ при $n \rightarrow \infty$.

Докажите теорему 6.1. (Она называется первой леммой Бореля–Кантелли.)

Убедитесь, что

Найдите $m\left(\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)\right), m\left(\left(\frac{1}{5}, \frac{1}{3}\right]\right), m(\{ 1\} ), m\left(\left\{ \frac{1}{n}: n=1,2, \ldots \right\} \right)$ и $m(\mathbb {N})$.

Найдите $m\left(\left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]\right), m\left(\left\{ 0, \frac{1}{2}, 1\right\} \right)$ и $m(\mathbb {Q} \cap [0,1])$ ($\mathbb {Q}$ обозначает множество всех рациональных чисел).

Найдите $m\left(\left\{ x:\left|x-n\right|<\frac{1}{2^{n}} \text{ for some } n \in \mathbb {N}\right\} \right)$.

Найдите $m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}}\right]\right)$.

Найдите $m(C)$, где $C$ — канторово множество (определение канторова множества см. в задаче 5.23).

$f(x)=c \; \mathbb {1}_{[1,3]}(x)$.

$f(x)=c \; \mathbb {1}_{[a, b]}(x)$.

$f(x)=c x^{n}$ для $x \in (0,1)$ и ноль в остальных случаях, где $n \in \mathbb {N}$.

$f(x)=c e^{-\lambda x}$ для $x>0$ и ноль в остальных случаях.

$f(x)=c x(1-x)$ для $x \in [0,1]$ и ноль в остальных случаях.

$f(x)=c(x-[x])$ для $x \in [0,2]$ и ноль в остальных случаях ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

$f(x)=x^{2} \; \mathbb {1}_{[0, c]}(x)$.

Докажите теорему 6.2.

$f(x)=\frac{1}{2} \; \mathbb {1}_{[1,3]}(x)$, $A=[0,2)$.

$f(x)=x-[x]$ для $x \in [0,2]$ и ноль в остальных случаях, $A=\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

$f(x)=e^{-x}$ для $x \geqslant 0$ и ноль в остальных случаях, $A=\mathbb {N}$.

$f(x)=\frac{1}{5} \; \mathbb {1}_{[-2,3]}(x)$, $A=(0,1)$.

$f(x)=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$ для $x \in (0,1)$ и ноль в остальных случаях, $A=\left(0, \frac{1}{2}\right)$.

Покажите, что $\delta_{\omega }$ является вероятностной мерой. Каково наибольшее множество меры 0? Каково наименьшее множество меры 1?

Пусть $\omega_{1}, \omega_{2} \in \Omega$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{2} \delta_{\omega_{1}}(A)+\frac{1}{2} \delta_{\omega_{2}}(A)$ является вероятностной мерой. Какие множества имеют меру 0?

Каковы условия на $\alpha_{k}$, при которых $P=\sum_{k=1}^{\infty } \alpha_{k} \delta_{\omega_{k}}$ является вероятностной мерой? Какие множества имеют меру 0?

Если $P_{1}$ и $P_{2}$ — вероятностные меры, то $\mathbb {P}\left(A\right)=\alpha_{1} \mathbb {P}_{1}\left(A\right)+ \alpha_{2} \mathbb {P}_{2}\left(A\right)$ также является вероятностной мерой при условии, что $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ неотрицательны и $\alpha_{1}+\alpha_{2}=1$.

Если $P_{k}, k=1,2, \ldots$ — вероятностные меры, $\alpha_{k} \geqslant 0$ для всех $k$, и $\sum_{k=1}^{\infty } \alpha_{k}=1$, то $\mathbb {P}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{\infty } \alpha_{k} \mathbb {P}_{k}\left(A\right)$ является вероятностной мерой.

Определим $P$ формулой $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{3} \delta_{0}(A)+\frac{2}{3} \mathbb {P}_{2}\left(A\right)$, где $P_{2}$ имеет плотность $f(x)= \frac{1}{2} \; \mathbb {1}_{[1,3]}(x)$. Вычислите $\mathbb {P}\left([0,2]\right)$.

Определим $P$ формулой $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{8} \delta_{1}(A)+\frac{3}{8} \delta_{2}(A)+\frac{1}{2} \mathbb {P}_{3}\left(A\right)$, где $P_{3}$ задаётся плотностью $f(x)=\frac{1}{2} \; \mathbb {1}_{[1,3]}(x)$. Вычислите $\mathbb {P}\left([2,3]\right)$.

Определим $P$ формулой $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{4} \delta_{0}(A)+\frac{1}{2} \delta_{2}(A)+\frac{1}{4} \mathbb {P}_{3}\left(A\right)$, где $P_{3}$ имеет плотность $f(x)=e^{-x} \; \mathbb {1}_{[0,+\infty )}(x)$. Вычислите $\mathbb {P}\left([0,1]\right)$.

Покажите, что если $X$ — несчётное множество положительных действительных чисел, то существует последовательность $x_{1}, x_{2}, \ldots \in X$ такая, что $\sum_{i=1}^{\infty } x_{i}=\infty$.