Сигма-алгебры

Покажите, что $\sigma$-поле также является полем.

Если поле $\mathcal{F}$ конечно, то оно также является $\sigma$-полем.

Покажите, что семейство всех подмножеств $\Omega$ является $\sigma$-полем.

Является ли семейство $\mathcal{F}$, состоящее из всех конечных подмножеств $\Omega$ и их дополнений, всегда $\sigma$-полем?

Является ли семейство $\mathcal{F}$, состоящее из всех счётных подмножеств $\Omega$ и их дополнений, всегда $\sigma$-полем?

Пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле на $\Omega =[0,1]$ такое, что $\left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right] \in \mathcal{F}$ при $n= 1,2, \ldots$. Покажите, что

Пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле. Покажите, что если $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{F}$, то

Пусть $\Omega$ и $\tilde{\Omega }$ — произвольные множества, и пусть $X: \tilde{\Omega } \rightarrow \Omega$ — произвольная функция. Покажите, что если $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле на $\Omega$, то $\tilde{\mathcal{F}}=\left\{ X^{-1}(A): A \in \mathcal{F}\right\}$ — $\sigma$-поле на $\tilde{\Omega }$.

Пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле на $\Omega$, и пусть $A \subset \Omega$. Покажите, что $\tilde{\mathcal{F}}=\{ A \cap B$ : $B \in \mathcal{F}\}$ — $\sigma$-поле на $A$.

Пусть $\tilde{\Omega }$ и $\Omega$ — произвольные множества, и пусть $X: \tilde{\Omega } \rightarrow \Omega$ — произвольная функция. Покажите, что если $\tilde{\mathcal{F}}$ — $\sigma$-поле на $\tilde{\Omega }$, то $\mathcal{F}=\left\{ A \subset \Omega : X^{-1}(A) \in \tilde{\mathcal{F}}\right\}$ — $\sigma$-поле на $\Omega$.

Найдите пример функции $X: \tilde{\Omega } \rightarrow \Omega$ и $\sigma$-поля $\tilde{\mathcal{F}}$ на $\tilde{\Omega }$ такие, что $\{ X(A): A \in \tilde{\mathcal{F}}\}$ не является $\sigma$-полем.

Является ли поле периодических подмножеств $\mathbb {Z}$ из задачи 3.20 $\sigma$-полем?

Найдите два $\sigma$-поля, объединение которых не является $\sigma$-полем.

Докажите, что если $\mathcal{F}_{1}$ и $\mathcal{F}_{2}$ — $\sigma$-поля на $\Omega$, то $\mathcal{F}_{1} \cap \mathcal{F}_{2}$ также является $\sigma$-полем.

Покажите, что если $\left\{ \mathcal{F}_{j}\right\}_{j \in J}$ — произвольный набор $\sigma$-полей, заданных на одном и том же множестве $\Omega$, то их пересечение $\bigcap_{j \in J} \mathcal{F}_{j}$ также является $\sigma$-полем.

Пусть $\mathcal{A}=\{ [0,1]\} \cup \left\{ \left[\frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}}\right): n=0,1,2, \ldots \right\}$. Какие из следующих множеств принадлежат $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}$:

Покажите, что $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}=\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}$ является $\sigma$-полем.

Пусть $\tilde{\mathcal{F}}$ — $\sigma$-поле, удовлетворяющее условиям

1. $\mathcal{A} \subset \tilde{\mathcal{F}}$;

2. если $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле и $\mathcal{A} \subset \mathcal{F}$, то $\tilde{\mathcal{F}} \subset \mathcal{F}$.

Покажите, что $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}=\tilde{\mathcal{F}}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — семейство всех конечных подмножеств $\Omega$. Покажите, что $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}$ — это $\sigma$-поле, состоящее из всех счётных подмножеств $\Omega$ и их дополнений, введённое в задаче 5.5.

Если $\mathcal{C} \subset \mathcal{D}$, то $\mathcal{F}_{\mathcal{C}} \subset \mathcal{F}_{\mathcal{D}}$.

Покажите, что следующие множества являются борелевскими (то есть принадлежат $\mathcal{B}$):

Покажите, что $(-\infty , a],[a,+\infty ),[a, b),(a, b]$ и множество $\mathbb {Z}$ целых чисел являются борелевскими.

Чтобы построить канторово множество, мы удаляем открытый интервал $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ из интервала $[0,1]$. Затем мы делим каждый из оставшихся двух интервалов на три равных подынтервала и удаляем средние из них, $\left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right)$ и $\left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right)$. Таким образом мы продолжаем до бесконечности; см. рис. 5.1, на котором показаны первые пять шагов построения. Канторово множество — это то, что остаётся после этого бесконечного процесса.

Убедитесь, что канторово множество является борелевским множеством.

: РИСУНОК 5.1. Построение канторова множества

Покажите, что $\sigma$-поле $\mathcal{B}$ борелевских множеств совпадает с $\sigma$-полем, порождённым семейством открытых множеств в $\mathbb {R}$.

Покажите, что если $\mathcal{A}$ в определении 5.3 заменить семейством $\mathcal{C}$ замкнутых интервалов, то получившееся $\sigma$-поле также будет равно $\mathcal{B}$.

Покажите, что прообраз борелевского множества относительно непрерывной функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является борелевским.

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{F}$, где $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле. Покажите, что

Покажите, что

Найдите $\limsup_{n \rightarrow \infty } A_{n}$ и $\liminf_{n \rightarrow \infty } A_{n}$, где

Покажите, что $\liminf_{n \rightarrow \infty } A_{n} \subset \limsup_{n \rightarrow \infty } A_{n}$.