Конечно-аддитивная вероятность

Является ли $P$ конечно-аддитивной вероятностной мерой? $\Omega =\{ 1,2\} , \mathcal{F}=\{ \varnothing , \Omega ,\{ 1\} ,\{ 2\} \}$,

Является ли $P$ конечно-аддитивной вероятностной мерой? $\Omega =\{ 1,2,3,4\} , \mathcal{F}=\{ \emptyset , \Omega ,\{ 1,2\} ,\{ 3,4\} \}$, $\mathbb {P}\left(\varnothing \right)=0, \mathbb {P}\left(\Omega \right)=1, \mathbb {P}\left(\{ 1,2\} \right)=\frac{5}{8}, \mathbb {P}\left(\{ 3,4\} \right)=\frac{5}{8}$.

Является ли $P$ конечно-аддитивной вероятностной мерой? $\Omega =\{ 1,2,3,4\}$, $\mathcal{F}=\{ \varnothing , \Omega ,\{ 1\} ,\{ 4\} ,\{ 2,3\} ,\{ 1,4\} ,\{ 1,2,3\} ,\{ 2,3,4\} \}$, $\mathbb {P}\left(\varnothing \right)=0, \mathbb {P}\left(\Omega \right)=1, \mathbb {P}\left(\{ 1\} \right)=\frac{1}{8}, \mathbb {P}\left(\{ 4\} \right)=\frac{3}{8}, \mathbb {P}\left(\{ 2,3\} \right)=\frac{1}{2}$, $\mathbb {P}\left(\{ 1,4\} \right)=\frac{1}{2}, \mathbb {P}\left(\{ 1,2,3\} \right)=\frac{5}{8}, \mathbb {P}\left(\{ 2,3,4\} \right)=\frac{7}{8}$.

Является ли $P$ конечно-аддитивной вероятностной мерой? $\Omega =\{ 1,2,3,4\}$, $\mathcal{F}=\{ \varnothing , \Omega ,\{ 1,2\} ,\{ 3,4\} ,\{ 3\} ,\{ 4\} ,\{ 1,2,3\} ,\{ 1,2,4\} \}$, $\mathbb {P}\left(\varnothing \right)=0, \mathbb {P}\left(\Omega \right)=1, \mathbb {P}\left(\{ 1,2\} \right)=\frac{1}{2}, \mathbb {P}\left(\{ 3,4\} \right)=\frac{1}{2}$, $\mathbb {P}\left(\{ 3\} \right)=\frac{1}{3}, \mathbb {P}\left(\{ 4\} \right)=\frac{1}{6}, \mathbb {P}\left(\{ 1,2,3\} \right)=\frac{5}{8}, \mathbb {P}\left(\{ 1,2,4\} \right)=\frac{2}{3}$.

Найдите $\alpha$ такое, что $P$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой, где $\Omega =\{ 1,2,3\} , \mathcal{F}$ состоит из всех подмножеств $\Omega$, и $\mathbb {P}\left(\{ 1\} \right)=\frac{1}{3}$, $\mathbb {P}\left(\{ 2\} \right)=\frac{1}{6}, \mathbb {P}\left(\{ 3\} \right)=\alpha$. Вычислите $\mathbb {P}\left(\{ 1,2\} \right), \mathbb {P}\left(\{ 1,3\} \right)$ и $\mathbb {P}\left(\{ 2,3\} \right)$.

Найдите $\alpha$ такое, что $P$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой, где $\Omega =\{ 1,2,3,4\}$, $\mathcal{F}=\{ \varnothing , \Omega ,\{ 1\} ,\{ 2,3\} ,\{ 4\} ,\{ 1,2,3\} ,\{ 2,3,4\} ,\{ 1,4\} \}$, $\mathbb {P}\left(\{ 1\} \right)=\frac{1}{4}, \mathbb {P}\left(\{ 2,3\} \right)=\frac{1}{2}, \mathbb {P}\left(\{ 4\} \right)=\alpha$. Вычислите $\mathbb {P}\left(\{ 1,2,3\} \right), \mathbb {P}\left(\{ 2,3,4\} \right)$ и $\mathbb {P}\left(\{ 1,4\} \right)$.

Пусть $\Omega =\{ 1, \ldots , n\}$, и пусть $\mathcal{F}$ — семейство всех подмножеств $\Omega$ с $\mathbb {P}\left(\{ i\} \right)=\alpha_{i}, i=1, \ldots , n$. Продолжите функцию $P$ до конечно-аддитивной вероятностной меры, определённой на всём поле $\mathcal{F}$. Какие условия нужно наложить на числа $\alpha_{i}$?

Пусть $\mathcal{F}$ — конечное поле с атомами $A_{1}, \ldots , A_{n}$, и пусть $\mathbb {P}\left(A_{i}\right)=\alpha_{i}$, $i=1, \ldots , n$. Продолжите функцию $P$ до конечно-аддитивной вероятностной меры, определённой на всём поле $\mathcal{F}$. Какие условия нужно наложить на числа $\alpha_{i}$?

$\mathbb {P}\left(\varnothing \right)=0$.

Если $A \subset B$, то $\mathbb {P}\left(B \backslash A\right)=\mathbb {P}\left(B\right)-\mathbb {P}\left(A\right)$.

$\mathbb {P}\left(\Omega \backslash A\right)=1-\mathbb {P}\left(A\right)$.

Если $A \subset B$, то $\mathbb {P}\left(A\right) \leqslant \mathbb {P}\left(B\right)$.

Если $A \cap B=\emptyset , A \cap C=\emptyset$ и $B \cap C=\emptyset$, то $\mathbb {P}\left(A \cup B \cup C\right)= \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)+\mathbb {P}\left(C\right)$.

Если $A_{1}, \ldots , A_{n}$ попарно не пересекаются (т.е. $A_{i} \cap A_{j}=\emptyset$ при $i \neq j$), то

Покажите, что

Приведите пример, для которого $\mathbb {P}\left(A \cup B\right)<\mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)$.

Покажите, что

Покажите, что

Найдите выражение для $\mathbb {P}\left(A \cup B \cup C\right)$ в духе задачи 4.18.

Обобщите задачу 4.18, найдя выражение для $\mathbb {P}\left(A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}\right)$.

Предположим, что $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{2}$ и $\mathbb {P}\left(B\right)=\frac{2}{3}$. Покажите, что $\frac{1}{6} \leqslant \mathbb {P}\left(A \cap B\right) \leqslant \frac{1}{2}$. Приведите примеры, демонстрирующие, что крайние значения $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{2}$ могут достигаться.

Предположим, что $\mathbb {P}\left(A\right)=\frac{1}{2}$ и $\mathbb {P}\left(B\right)=\frac{1}{3}$. Покажите, что $\frac{1}{2} \leqslant \mathbb {P}\left(A \cup B\right) \leqslant \frac{5}{6}$. Приведите примеры, показывающие, что крайние значения $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{6}$ могут достигаться.

Покажите, что $\mathbb {P}\left(A \triangle B\right)=\mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)-2 \mathbb {P}\left(A \cap B\right)$.

Покажите, что $\left|\mathbb {P}\left(A\right)-\mathbb {P}\left(B\right)\right| \leqslant \mathbb {P}\left(A \triangle B\right)$.

Проверьте неравенство $\mathbb {P}\left(A \triangle C\right) \leqslant \mathbb {P}\left(A \triangle B\right)+\mathbb {P}\left(B \triangle C\right)$.

Докажите, что если $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left(B\right)=0$, то $\mathbb {P}\left(A \cup B\right)=0$.

Докажите, что если $\mathbb {P}\left(A\right)=\mathbb {P}\left(B\right)=1$, то $\mathbb {P}\left(A \cap B\right)=1$.

Пусть $\Omega$ — бесконечное множество, а $\mathcal{F}$ — поле конечных подмножеств $\Omega$ и их дополнений, введённое в задаче 3.19. Покажите, что

является конечно-аддитивной вероятностной мерой.

Для любого периодического множества $A$, как оно определено в задаче 3.20, положим

если $A$ может быть представлено в виде (3.1) для некоторого положительного целого $i$ и некоторого $I \subset \{ 1, \ldots , i\}$. Покажите, что $P$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой на поле периодических множеств.