Алгебры множеств

Покажите, что $\{ \varnothing , \Omega \}$ является полем.

Покажите, что семейство всех подмножеств конечного множества $\Omega$ является полем.

Покажите, что если $A \subset \Omega$, то $\{ \emptyset , \Omega , A, \Omega \backslash A\}$ является полем.

Пусть $\Omega =\{ 1,2,3,4\}$. Является ли какое-либо из следующих семейств множеств полем:

Пусть $\Omega =(0,1)$. Является ли какое-либо из следующих семейств множеств полем:

Пусть $\Omega =[0,1]$. Добавив как можно меньше множеств, дополните семейство множеств $\left\{ \varnothing ,\left[0, \frac{1}{2}\right),\{ 1\} \right\}$ до поля.

Пусть $\Omega =\{ 1,2,3\}$. Дополните $\{ \{ 2\} ,\{ 3\} \}$ до поля. Добавьте как можно меньше множеств.

Если $\mathcal{F}$ — поле, покажите, что $\varnothing \in \mathcal{F}$.

Если $\mathcal{F}$ — поле, покажите, что если $A, B, C \in \mathcal{F}$, то $A \cup B \cup C \in \mathcal{F}$.

Если $\mathcal{F}$ — поле, покажите, что для каждого натурального числа $n$, если $A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathcal{F}$, то $A_{1} \cup \cdots \cup A_{n} \in \mathcal{F}$.

Если $\mathcal{F}$ — поле, покажите, что если $A, B \in \mathcal{F}$, то $A \cap B \in \mathcal{F}$.

Если $\mathcal{F}$ — поле, покажите, что для каждого натурального числа $n$, если $A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathcal{F}$, то $A_{1} \cap \cdots \cap A_{n} \in \mathcal{F}$.

Если $\mathcal{F}$ — поле, покажите, что если $A, B \in \mathcal{F}$, то $A \backslash B \in \mathcal{F}$.

Если $\mathcal{F}$ — поле, покажите, что если $A, B \in \mathcal{F}$, то их симметрическая разность $A \triangle B$ также принадлежит $\mathcal{F}$.

Докажите, что если $\mathcal{F}_{1}$ и $\mathcal{F}_{2}$ — поля подмножеств $\Omega$, то $\mathcal{F}_{1} \cap \mathcal{F}_{2}$ также является полем.

Найдите два поля, объединение которых не является полем.

Является ли $\mathcal{F}=\{ A \subset \Omega : A$ — конечное множество$\}$ полем всегда?

Пусть $I_{0}=\varnothing$ и $I_{n}=\{ 1, \ldots , n\}$ при $n \geqslant 1$. Является ли $\mathcal{F}=\left\{ I_{n}\right\}_{n=0}^{\infty } \cup \left\{ \mathbb {N} \backslash I_{n}\right\}_{n=0}^{\infty }$ полем?

Пусть $\Omega$ — (возможно, бесконечное) множество. Покажите, что семейство $\mathcal{F}$, состоящее из всех конечных подмножеств $\Omega$ и всех подмножеств $\Omega$ с конечным дополнением, является полем.

Мы говорим, что $A \subset \mathbb {Z}$ является периодическим множеством, если существуют положительное целое число $i$ и множество $I \subset \{ 1, \ldots , i\}$ такие, что

где $I+l i=\{ n+l i: n \in I\}$. Покажите, что

является полем на $\mathbb {Z}$.

Каковы атомы в полях

Каковы атомы в поле всех подмножеств конечного множества $\Omega$?

Покажите, что различные атомы обязательно не пересекаются.

Покажите, что если $\mathcal{F}$ — конечное поле, то каждое непустое событие $A \in \mathcal{F}$ содержит атом.

Покажите, что если $\mathcal{F}$ — конечное поле, то каждое событие $A$ из $\mathcal{F}$ является объединением конечного числа атомов.

Покажите, что это представление единственно; то есть множество атомов $\left\{ A_{1}, \ldots , A_{k}\right\}$, такое что $A=A_{1} \cup \cdots \cup A_{k}$, единственно для каждого события $A$ из $\mathcal{F}$.

Покажите, что каждое конечное поле имеет $2^{n}$ элементов для некоторого $n \in \mathbb {N}$.

Какое из следующих семейств множеств является полем:

Покажите, что поле периодических множеств из задачи 3.20 не имеет атомов.