Банк задач по математике

Задача 2.1

Каково число подмножеств $n$ -элементного множества?

?

Задача 2.2

Сколькими способами можно упорядочить $n$ -элементное множество?

?

Задача 2.3

Каково число всех $k$ -элементных подмножеств $n$ -элементного множества?

?

Задача 2.4

Каково число всех взаимно однозначных отображений из $n$ -элементного множества в $m$ -элементное множество?

?

Задача 2.5

Каково число всех отображений из $n$ -элементного множества в $m$ -элементное множество?

?

Задача 2.6

Используя приведённые выше задачи, обоснуйте следующий частный случай биномиальной формулы Ньютона

2^{n}=\sum _{k=0}^{n}\binom {n}{k}

?

Задача 2.7

Докажите формулу Вандермонда

\binom {m+n}{k}=\sum _{i=0}^{k}\binom {m}{i}\binom {n}{k-i} .

?

Задача 2.8

Десять человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Какова вероятность того, что определённая пара сядет рядом друг с другом?

?

Задача 2.9

Если мальчики и девочки рождаются с равной вероятностью, какова вероятность того, что в семье с тремя детьми ровно одна — девочка.

?

Задача 2.10

(a)(b)(c)(d)

Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что общее число очков

?

(a)

равно 7,

(b)

равно 3,

(c)

больше 5,

(d)

чётное число.

Задача 2.11

(a)(b)(c)

В лотерее из 49 номеров вытягивается 6. Найдите вероятность того, что

?

(a)

выпадут $1,2,3,4,5,6$ ,

(b)

выпадут $4,23,24,35,40,45$ ,

(c)

44 — один из выпавших номеров.

Задача 2.12

Какова вероятность того, что среди 25 человек хотя бы у двоих день рождения приходится на один и тот же день года.

?

Задача 2.13

Среди $t=60$ лотерейных билетов $w=20$ выигрышных. Мы покупаем $b=6$ билетов. Какова вероятность того, что $g=2$ из них окажутся выигрышными? Обобщите на случай произвольных чисел $t, w, b, g$ .

?

Задача 2.14

В партии из 1000 лампочек $2\%$ бракованных. Какова вероятность того, что среди 20 купленных лампочек найдутся 2 неисправные?

?

Задача 2.15

Из карточной колоды в 52 карты (бридж) мы вытягиваем 13. Какова вероятность того, что среди них окажется 5 карт пиковой масти?

?

Задача 2.16

Колода из 52 карт (бридж) раздаётся между игроками. Предположим, что у меня 4 пики, а противники показали (посредством торговли), что у них 8 червей. Какова вероятность того, что у моего партнёра есть по крайней мере 3 пики?

?

Примечание.

?

Для игроков в бридж. Эта задача имеет практическое значение. Предположим, что, играя на юге, вы имеете

\text{ * AJ84 } \bigcirc 32 \diamond 54 \text{ \& KQ952 }

и торговля идёт так:

N	E	S	W
	$1 \mathcal{O}$	pass	$2 \mathcal{O}$
pass	pass	$?$

Риск заявки на добор (takeout double) — это ответ $3 \diamond$ . Лучшим контрактом может оказаться 2 中, и здесь важна оценка вероятности полного расхождения (partner holding less than three spades) — когда у партнёра менее трёх пик.

Задача 2.17

Мы вытягиваем 5 карт из колоды в 24 карты. Какова вероятность того, что у нас окажется тройка одного достоинства.

?

Задача 2.18

(a)(b)

В игре в покер с колодой в 24 карты вам приходят AAAKJ.

?

(a)

Какова вероятность получить одного туза, если вы сбросите KJ?

(b)

Какова вероятность получить короля или туза, если вы сбросите J?

Задача 2.19

(a)(b)

В игре в покер с колодой в 24 карты вам приходят AAKJ9.

?

(a)

Какова вероятность получить одного туза или двух тузов, если вы сбросите KJ9?

(b)

Какова вероятность получить короля или туза, если вы сбросите J?

Задача 2.20

Обезьяна три раза наугад ударяет по клавиатуре компьютера. Каков шанс получить трёхбуквенное слово, состоящее из согласной, за которой следуют две гласные? Слово не обязано иметь смысл. Для простоты предположим, что клавиш всего 100.

?

Задача 2.21

Из колоды в 52 карты мы вытягиваем по одной. Какова вероятность того, что туз впервые появится на пятом ходе?

?

Задача 2.22

Насколько вероятно, что при случайном перемешивании букв $\mathrm{A}, \mathrm{A}, \mathrm{A}, \mathrm{A}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{R}, \mathrm{R}$ получится слово ABRACADABRA?

?

Классические вероятностные пространства