Предельные теоремы

Лучница целится в круглую мишень радиусом 20 дюймов. Её стрелы попадают в среднем на 5 дюймов от центра, причём каждый выстрел независим. Покажите, что следующая стрела не попадёт в мишень с вероятностью не более $\frac{1}{4}$.

Покажите, что $\frac{1}{4}$ — наилучшая возможная оценка вероятности промаха по мишени в задаче 12.1; то есть, при определённых обстоятельствах, эта вероятность может быть равна $\frac{1}{4}$ или сколь угодно близка к ней.

Покажите, что если неотрицательная случайная величина имеет конечное математическое ожидание $\mathbb {E}\left[X\right]$, то

для любого $C>0$.

Докажите следующую теорему, известную как неравенство Чебышёва. - Теорема 12.1 Пусть $X$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием $\mathbb {E}\left[X\right]$ и конечной дисперсией $\operatorname {Var}\left[X\right]$. Тогда

для любого $C>0$. Неравенство Чебышёва даёт весьма грубую оценку, сила которой заключается в его универсальности. Оно позволяет нам оценить вероятность отклонения случайной величины $X$ от её среднего значения $\mathbb {E}\left[X\right]$, даже если о распределении $X$ ничего не известно.

Честная монета подбрасывается независимо $n$ раз. Пусть $S_{n}$ — число выпавших орлов. Используя неравенство Чебышёва, найдите нижнюю оценку вероятности того, что $\frac{S_{n}}{n}$ отличается от $\frac{1}{2}$ менее чем на 0.1, когда а) $n=100$, б) $n=10 000$, и в) $n=100 000$.

Найдите нижнюю оценку Чебышёва для вероятности того, что $\frac{S_{n}}{n}$ из задачи 12.5 отличается от $\frac{1}{2}$ менее чем на 0.01, когда а) $n=100$, б) $n=$ 10 000, и в) $n=100 000$.

В тех же условиях, что и в задаче 12.5, покажите, что

для любого $\varepsilon >0$.

Рассмотрим нечестную монету с вероятностью $p$ выпадения орла. Пусть $S_{n}$ — число выпавших орлов, когда монета подбрасывается независимо $n$ раз. Запишите предел, аналогичный тому, что в задаче 12.7, и докажите его.

Мы независимо бросаем $n$ игральных костей и складываем выпавшие очки, обозначая сумму через $S_{n}$. Распространите результаты задач 12.7 и 12.8 на этот случай.

Докажите следующий закон больших чисел в слабой форме. - Теорема 12.2 Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечными математическим ожиданием и дисперсией, и пусть $S_{n}=X_{1}+\cdots + X_{n}$. Положим $a=\mathbb {E}\left[X_{i}\right]$ — эта величина одна и та же для каждого $i$. Тогда

для любого $\varepsilon >0$.

Используя слабый закон больших чисел, докажите, что для всякой непрерывной функции $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$

равномерно по $x \in [0,1]$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $S_{n}(x)$ обозначает число единиц среди первых $n$ цифр двоичного разложения числа $x \in [0,1]$. Покажите, что

для всех $x$ из некоторого множества меры Лебега 1 на $[0,1]$.

Покажите, что если $X$ имеет конечное математическое ожидание, то $\mathbb {E}\left[a_{n}\right]=\mathbb {E}\left[X\right]$ и

с вероятностью 1.

Покажите, что

Покажите, что если $X$ имеет конечные математическое ожидание и дисперсию, то $\mathbb {E}\left[\sigma_{n}^{2}\right]= \operatorname {Var}\left[X\right]$ и

с вероятностью 1.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ — вероятностное пространство, где $\Omega$ есть множество всех возможных исходов случайного эксперимента. Возьмём два события $A, B \in \mathcal{F}$ с $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$. Если случайный эксперимент независимо повторяется $n$ раз, пусть $S_{n}$ — число раз, когда исход принадлежит $B$. Среди этих $S_{n}$ исходов, принадлежащих $B$, найдётся $R_{n}$ исходов, которые также принадлежат $A$. Покажите, что

с вероятностью 1.

Докажите, что если последовательность случайных величин $X_{n}$ сходится почти наверное к $X$, то она сходится к $X$ по вероятности.

Докажите, что если последовательность случайных величин $X_{n}$ сходится к $X$ по вероятности, то она сходится к $X$ по распределению.

Покажите, что для всякого вещественного числа $x$

Оцените вероятность того, что число выпадений орла при 10 000 независимых подбрасываниях правильной монеты отличается от 5000 менее чем на $1\%$.

Какова вероятность того, что число выпадений орла будет больше 5100?

Сколько требуется независимых подбрасываний правильной монеты, чтобы вероятность того, что среднее число выпадений орла отличается от 0.5 менее чем на $1\%$, была не меньше 0.99?

Три кандидата $A$, $B$ и $C$ баллотируются на пост президента. Чтобы предсказать исход выборов, некоторое число людей, каждый из которых выбирается случайно и независимо от остальных, опрашивается об их выборе. Предсказанный процент $p_{X}$ голосов за каждого кандидата $X \in \{ A, B, C\}$ вычисляется путём деления числа людей в выборке, которые собираются голосовать за $X$, на общее число людей в выборке. Сколько человек должно быть в выборке, чтобы обосновать следующее утверждение: для каждого кандидата $X$ вероятность того, что предсказанный процент $p_{X}$ верен с точностью до $1\%$, не меньше 0.95?

Какой размер выборки позволит сделать то же самое утверждение, если кандидатов всего два? А если кандидатов $n$? (Исключите $n=1$, хотя такой случай нередок в некоторых политических системах.)

Предположим, что выборка, состоящая из $n$ мужчин, используется в опросе, описанном в задаче 7.22, чтобы установить вероятность быть "поющим в ванной". Каждого человека просят бросить кость и ответить ДА или НЕТ. Вероятность $\mathbb {P}\left(Y\right)$ ответа ДА оценивается средним числом $P_{n} Y$ ответов ДА (то есть числом ответов ДА, делённым на $n$). Поскольку $\mathbb {P}\left(Y\right)$ связана с вероятностью $\mathbb {P}\left(S\right)$ быть "поющим в ванной" соотношением $\mathbb {P}\left(Y\right)=\frac{1}{6}+\frac{2}{3} \mathbb {P}\left(S\right)$ (см. решение 7.22), оценка $P_{n} S$ величины $\mathbb {P}\left(S\right)$ тогда вычисляется по формуле

Оцените вероятность того, что $P_{n} S$ отличается от $\mathbb {P}\left(S\right)$ более чем на $\varepsilon >0$. Затем найдите, насколько большой должна быть выборка, чтобы гарантировать, что $P_{n} S$ отличается от $\mathbb {P}\left(S\right)$ не более чем на 0.01 с вероятностью не менее 0.95? Сравните это с размером выборки, необходимым, если на вопрос опроса отвечают напрямую, без бросания кости.