Характеристические функции

Найдите характеристическую функцию случайной величины $X$, такой что $\mathbb {P}\left(\{ X=1\} \right)=\mathbb {P}\left(\{ X=-1\} \right)=\frac{1}{2}$.

Найдите характеристическую функцию случайной величины $X$, такой что $\mathbb {P}\left(\{ X=1\} \right)=p$ и $\mathbb {P}\left(\{ X=0\} \right)=q$, где $p+q=1$ (распределение Бернулли).

Найдите характеристическую функцию случайной величины $X$, такой что $\mathbb {P}\left(\{ X=k\} \right)=2^{-k}, k=1,2, \ldots$.

Найдите характеристическую функцию случайной величины $X$ с распределением Пуассона. Можете ли вы изобразить график $\phi_{X}(t)$?

Найдите характеристическую функцию случайной величины $X$ с равномерным распределением на отрезке $[-1,1]$. Изобразите график этой характеристической функции.

Найдите характеристическую функцию $\phi_{X}(t)$ случайной величины $X$, имеющей распределение с плотностью

Найдите характеристическую функцию $\phi_{X}(t)$ случайной величины $X$ с распределением

Какова характеристическая функция $\phi_{X}(t)$ случайной величины $X$ с показательным распределением? Изобразите график $\phi_{X}(t)$.

Какова характеристическая функция $\phi_{X}(t)$ нормально распределённой случайной величины $X$ с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1?

Покажите, что для любой случайной величины $X$

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины, такие что $Y=a X+b$, где $a, b \in \mathbb {R}$. Покажите, что

Используя формулу из Задачи 11.11 и характеристическую функцию нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, полученную в Задаче 11.9, найдите характеристическую функцию нормального распределения с произвольным математическим ожиданием $m$ и дисперсией $\sigma^{2}>0$.

Пусть $X$ — случайная величина, такая что $\mathbb {P}\left(\{ X \in \mathbb {Z}\} \right)=1$. Покажите, что $\phi_{X}(t)$ — периодическая функция с периодом $2 \pi$; то есть $\phi_{X}(t+2 \pi )=\phi_{X}(t)$ для всех $t$.

Верно ли, что если $\phi_{X}(2 \pi )=1$, то $\mathbb {P}\left(\{ X \in \mathbb {Z}\} \right)=1$?

Пусть $X$ — случайная величина и $a \neq 0$. Покажите, что следующие условия эквивалентны:

Если $X$ — случайная величина с плотностью, то $\phi_{X}(t)<1$ для всех $t \neq 0$.

Пусть $X$ — случайная величина, принимающая значения в конечном множестве. Проверьте, что моменты $\mathbb {E}\left[X^{n}\right]$ величины $X$ задаются формулой

Используя формулу из Теоремы 11.1, получите выражение для дисперсии $X$ через характеристическую функцию $\phi_{X}$ и её производные в нуле.

Используя Теорему 11.1, вычислите математическое ожидание $\mathbb {E}\left[X\right]$ и второй момент $\mathbb {E}\left[X^{2}\right]$ случайной величины $X$ с распределением Пуассона.

Используя Теорему 11.1, вычислите математическое ожидание $\mathbb {E}\left[X\right]$ и второй момент $\mathbb {E}\left[X^{2}\right]$ случайной величины $X$ с нормальным распределением.

Пусть $X$ — случайная величина, такая что $\mathbb {P}\left(\{ X \in \mathbb {Z}\} \right)=1$. Покажите, что для всех $n \in \mathbb {Z}$,

Каково распределение случайной величины $X$ с характеристической функцией

Найдите распределение случайной величины $X$ с характеристической функцией

Найдите распределение случайной величины $X$ с характеристической функцией

Найдите распределение случайной величины с характеристической функцией $e^{-\left|t\right|}$.

Каково распределение случайной величины с характеристической функцией $e^{-t^{2} / 2}$?

Найдите распределение случайной величины с характеристической функцией $\frac{1}{1+t^{2}}$.

Найдите распределение случайной величины с характеристической функцией $\frac{1}{3} e^{i t \sqrt{2}}+\frac{2}{3} e^{i t \sqrt{3}}$.

Каково распределение случайной величины с характеристической функцией $\frac{1}{2} e^{-t^{2} / 2}+\frac{1}{2}$ ?

Докажите теорему 11.4.

Используя теорему 11.4, найдите характеристическую функцию случайной величины с биномиальным распределением.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением Пуассона. Проверьте, что $X+Y$ также является случайной величиной с распределением Пуассона. Если $\lambda$ и $\mu$ — параметры $X$ и $Y$ соответственно, каков параметр $X+Y$ ?

Пусть $X$ и $Y$ — нормально распределённые независимые случайные величины. Покажите, что $X+Y$ также имеет нормальное распределение. Если $X$ имеет среднее $m$ и дисперсию $\sigma^{2}$, а $Y$ имеет среднее $\tilde{m}$ и дисперсию $\tilde{\sigma }^{2}$, каковы среднее и дисперсия $X+Y$ ?