Условное математическое ожидание

Правильная игральная кость с гранями $1,2,3$, окрашенными в зелёный цвет, и гранями $4,5,6$, окрашенными в красный цвет, бросается один раз. Пусть $X$ — выпавшее число.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[ \; \mathbb {1}_{A} \mid B \right]=\mathbb {P}\left( A \mid B \right)$, если $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$. (Как обычно, $\; \mathbb {1}_{A}$ обозначает индикаторную функцию события $A$.)

Правильная игральная кость бросается дважды. Каково условное математическое ожидание суммы исходов при условии, что при первом броске выпала 1?

Мы подбрасываем монету многократно, пока не выпадет орёл, наугад нажимая клавишу цифровой клавиатуры калькулятора после каждого броска. Найдите условное математическое ожидание набранного числа при условии, что орёл впервые выпадает после $i$-го броска. (Наш калькулятор — особая модель, способная отображать бесконечно много цифр.)

Пусть $X$ — случайная величина с распределением Пуассона. Найдите условное математическое ожидание $X$ при условии, что $X$ — чётное число.

Для любой дискретной случайной величины $X$ и любого события $B$, такого что $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$, покажите, что

где $\; \mathbb {1}_{B}$ — индикаторная функция $B$.

$X$ — сумма выпавших очков при двукратном подбрасывании игральной кости, а $B_{i}$ — событие, состоящее в том, что при первом броске выпало $i$.

$X$ обозначает выпавшую сумму, если подброшены три монеты — 5 центов, 10 центов и 25 центов, а $B_{i}$ обозначает событие, состоящее в том, что $i$ монет упали орлом вверх.

$X$ обозначает число очков, набранных шахматистом в матче против равного по силе противника, где ничьи не учитываются, так что шансы выиграть или проиграть партию равны пятьдесят на пятьдесят, матч заканчивается, как только один из игроков наберёт 3 очка, а $B_{i}$ — событие, состоящее в том, что сыграно $i$ партий.

Пусть $X$ — случайная величина с показательным распределением. Найдите $\mathbb {E}\left[ X \mid \{ X \geqslant t\} \right]$.

Пусть $X$ и $Y$ — совместно непрерывные случайные величины с совместной плотностью

Вычислите условное математическое ожидание $X+Y$ при условии $X<Y$.

Покажите, что если $\mathbb {E}\left[X\right]$ существует, то существует и $\mathbb {E}\left[ X \mid B \right]$ для любого события $B$ такого, что $\mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$.

Игральная кость подбрасывается дважды; $X$ — сумма выпавших очков, а $Y$ — результат первого броска.

Подбрасываются три монеты — 5 центов, 10 центов и 25 центов; $X$ — общая выпавшая сумма, а $Y$ — число орлов.

Из мешка, содержащего четыре шара с номерами $1,2,3$ и 4, вы вытягиваете два. Если хотя бы одно из вытянутых чисел больше 2, вы выигрываете $\$ 1$, а иначе проигрываете $\$ 1$. Пусть $X$ — выигранная или проигранная сумма, а $Y$ — первое вытянутое число.

Пусть $\Omega =\{ 1,2, \ldots \}$ снабжено $\sigma$-полем всех подмножеств $\Omega$ и вероятностной мерой $P$ такой, что $\mathbb {P}\left(\{ k\} \right)=2^{-k}$ для каждого $k=1,2, \ldots$. Найдите $\mathbb {E}\left[ X \mid Y \right]$, если $X(k)=k$ и $Y(k)=(-1)^{k}$ для каждого $k=1,2, \ldots$.

Монета подбрасывается три раза за занавесом, и вы выигрываете сумму $X$, равную числу выпавших орлов. Если, подглядывая за занавес, вы могли бы увидеть результат $Y$ первого броска, как бы вы оценили ваш ожидаемый выигрыш?

Мешок содержит три монеты, но у одной с обеих сторон орёл. Две монеты вытягиваются и подбрасываются. Найдите $\mathbb {E}\left[ X \mid Y \right]$, если $X$ — число орлов, а $Y$ — число настоящих монет среди вытянутых.

Покажите, что если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, а $Y$ дискретна, то $\mathbb {E}\left[ X \mid Y \right]=\mathbb {E}\left[X\right]$.

Покажите, что $\mathcal{F}_{Y}$ — наименьшее $\sigma$-поле, относительно которого $Y$ является случайной величиной.

Игральная кость подбрасывается дважды; $Y$ — первый результат, а $X$ — сумма результатов.

Подбрасываются три монеты — 5 центов, 10 центов и 25 центов, и вы можете забрать те, что выпали орлом; $X$ — общая сумма, которую вы забираете, а $Y$ — число орлов.

Из мешка, содержащего четыре шара с номерами $1,2,3$ и 4, вы вытягиваете два; если хотя бы одно из вытянутых чисел больше 2, вы выигрываете $\$ 1$, а иначе проигрываете $\$ 1$. Пусть $X$ — выигранная или проигранная сумма, а $Y$ — первое вытянутое число.

Игральная кость подбрасывается дважды; если сумма результатов чётна, вы выигрываете $\$ 1$, а если нечётна, проигрываете $\$ 1 ; X$ — выигранная или проигранная сумма, а $Y$ — результат первого броска.

Игральная кость подбрасывается дважды; $Y$ — результат первого броска, а $X$ — результат второго броска.

Пусть $Y$ — дискретная случайная величина. Покажите, что для $\mathbb {E}\left[ X \mid Y \right]$, заданной Определением 10.3,

Пусть $Y$ — дискретная случайная величина. Покажите, что

Пусть $Y$ — дискретная случайная величина. Для любого $B \in \mathcal{F}_{Y}$ докажите, что

$X(\omega )=2 \omega , Y(\omega )=2$.

$X(\omega )=2 \omega$ для всех $\omega \in [0,1] ; Y(\omega )=0$, если $\omega \in \left[0, \frac{1}{2}\right)$, и $Y(\omega )=1$, если $\omega \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

$X(\omega )=2 \omega$ и $Y(\omega )=\omega^{2}$.

$X(\omega )=2 \omega ; Y(\omega )=\omega$ если $\omega \in \left[0, \frac{1}{2}\right)$ и $Y(\omega )=\frac{1}{2}$ если $\omega \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

$X=2 \omega -1+\left|2 \omega -1\right|$ и $Y=1-\left|2 \omega -1\right|$.

$X(\omega )=1-\omega ; Y(\omega )=0$ если $\omega \in \left[0, \frac{1}{2}\right)$ и $Y(\omega )=1$ если $\omega \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

$X(\omega )=1-\omega ; Y(\omega )=0$ если $\omega \in \left[0, \frac{1}{2}\right)$ и $Y(\omega )=\omega$ если $\omega \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

Покажите, что для любых $X$ и $Y$

Докажите, что для любых случайных величин $X, Y$ и $Z$, таких что $\mathcal{F}_{Y} \subset \mathcal{F}_{Z}$,

Докажите, что если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, то

Предполагая, что $\mathcal{F}_{Z} \subset \mathcal{F}_{Y}$, докажите, что

Докажите, что

Покажите, не ссылаясь на Задачу 10.38, что $\mathbb {E}\left[ X \mid Y \right]=\mathbb {E}\left[X\right]$, если $X$ и $Y$ совместно непрерывны и независимы.

Найдите $\mathbb {E}\left[ X \mid Y \right]$, если совместная плотность $X$ и $Y$ имеет следующий вид с константой $K$, такой что $\int_{-\infty }^{+\infty } \int_{-\infty }^{+\infty } f_{X, Y}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~ d} y=1$.

$f_{X, Y}(x, y)=K(x+y)$ при $0 \leqslant x, y \leqslant 1$ и нуль в остальных случаях.

$f_{X, Y}(x, y)=K \cos x \cos y$ при $0 \leqslant x, y \leqslant \frac{\pi }{2}$ и нуль в остальных случаях.

$f_{X, Y}(x, y)=K(2 x+y)$ при $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ и нуль в остальных случаях.

$f_{X, Y}(x, y)=K(x+y)^{2}$ при $0 \leqslant x, y \leqslant 1$ и нуль в остальных случаях.

$f_{X, Y}(x, y)=K\left(x+y^{2}\right)$ при $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ и нуль в остальных случаях.

В игре, проходящей на доске из 3 клеток, монету подбрасывают многократно: орёл позволяет игроку переместиться на следующую клетку, а решка — перепрыгнуть через следующую клетку. Если достигнут конец доски, выигрыш составляет $10. Однако на одной из клеток случайно установлена ловушка с равномерным распределением вероятности. Если игрок попадает в ловушку, игра останавливается, и он должен заплатить штраф в размере $10. Пусть $X$ — выигрыш или проигрыш игрока, а $Y$ — номер клетки, содержащей ловушку. Вычислите $\mathbb {E}\left[ X \mid Y \right]$ и $\mathbb {E}\left[X\right]$.

Мы покупаем $Y$ лотерейных билетов, где $Y$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Каждый билет выигрывает приз с вероятностью $p$ независимо от остальных. Найдите условное математическое ожидание числа выигранных призов $X$ при заданном числе купленных билетов $Y$ и вычислите математическое ожидание $X$.

В данный момент на мосту находится $N$ грузовиков. Пусть $Y_{i}$ — вес $i$-го грузовика, а $X$ — общий вес грузовиков. Покажите, что если $N$ и все $Y_{i}$ независимы, $\mathbb {E}\left[Y_{i}\right]=m$ и $\mathbb {E}\left[N\right]=n$, то $\mathbb {E}\left[X\right]=m n$.

Число ошибок, допущенных наборщиком на произвольной странице, является случайной величиной, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$, независимой для каждой страницы. Статья из трёх страниц готовится одним из четырёх наборщиков, для которых значения $\lambda$ равны, соответственно, $1,2,3$ и 4. Наборщик выбирается случайно с равномерным распределением вероятности. Каково ожидаемое число опечаток во всей статье?

Предположим, что число покупателей в магазине за данный день имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Каждый покупатель совершает покупку с вероятностью $p$ независимо от остальных покупателей. Каково ожидаемое число покупателей, которые совершат покупку сегодня?

Число покупателей, посещающих магазин за данный день, имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Ожидаемое число товаров, купленных каждым покупателем, равно 2, причём покупки каждого покупателя независимы. Каково ожидаемое число товаров, которые магазин продаст за день?