Разные упражнения

Для любых двух событий $A$, $B$ покажите, что следующие соотношения эквивалентны: $A \subset B$, $A' \supset B'$, $A \cup B = B$ и $A \cap B' = \emptyset$.

Покажите, что $(A \triangle B)' = (AB) \cup (A'B')$ и $\mathbb {P}\left(A \triangle B\right) = \mathbb {P}\left(A\right) + \mathbb {P}\left(B\right) - 2\mathbb {P}\left(AB\right)$, где $\triangle$ — симметрическая разность, определённая в задаче 34.

Пусть $n$ — число элементов пространства элементарных событий $\Omega$, а $N(E)$ — число элементов события $E$. Покажите, что данные: $N = 1{,}000$, $N(A) = 525$, $N(B) = 312$, $N(C) = 470$, $N(AB) = 42$, $N(AC) = 147$, $N(BC) = 86$ и $N(ABC) = 25$ противоречивы.

(Lewis Caroll, A Tangled Tale, 1881). В жестоком сражении по крайней мере 70 солдат потеряли глаз, по крайней мере 74 потеряли ухо, по крайней мере 80 потеряли руку и по крайней мере 85 потеряли ногу. Какова наименьшая возможная доля солдат, потерявших одновременно и глаз, и ухо, и руку, и ногу?

В маркетинговом исследовании из выборки 1000 курильщиков 811 сказали, что предпочитают марку $A$'', 752 предпочитают $B$'', а 418 — $C$''. Кроме того, 570 сказали, что им нравятся и $A$'', и $B$'', 356 — что им нравятся и $A$'', и $C$'', 348 — что им нравятся и $B$'', и ``$C$'', а 297 — что им нравятся все три марки. Как исследователь обнаружил, что результаты противоречивы?

Бросаем две игральные кости один раз. Пусть $A$: дубль, $B$: хотя бы на одной кости выпало 5 или 6, $C$: сумма выпавших очков на двух костях меньше 6.

Три спортсмена участвуют в марафоне. Их шансы финишировать быстрее чем за 2 часа равны $1/3$, $1/5$ и $1/12$ соответственно. Их время прохождения дистанции независимо. Какова вероятность того, что хотя бы один финиширует менее чем за 2 часа?

Лошадь имеет вероятность $p$ перепрыгнуть через определённое препятствие. Если известно, что из 5 попыток она преуспела 3 раза, какова условная вероятность того, что она преуспела в первой попытке?

В вагоне поезда 3 места расположены лицом вперёд, а 3 — лицом назад. Две женщины и трое мужчин садятся в вагон и рассаживаются случайным образом. Какова вероятность:

На основании следующих данных исследуйте связь между наличием карих глаз у отца (событие $A$) и наличием карих глаз у сына (событие $B$). Наблюдались следующие проценты: $AB$: 5, $AB'$: 7,9, $A'B$: 8,9 и $A'B'$: 78,2.

Бросаем три игральные кости. Какова вероятность того, что появится хотя бы одна шестёрка, при условии, что все три выпавших числа были различны? Обобщите результат на случай правильной многогранной кости.

Девяносто процентов населения имеют телевизор (событие $A$), тогда как 80 имеют автомобиль (событие $B$). Какова минимальная доля населения, имеющего автомобиль, среди которой также есть телевизор?

Пусть $\mathbb {P}\left(A\right) = \alpha$ и $\mathbb {P}\left(B\right) = 1 - \varepsilon$, где $\varepsilon$ — малое число. Приведите верхнюю и нижнюю границы $\mathbb {P}\left( A \mid B \right)$.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — независимые случайные бернуллиевские величины с одним и тем же параметром $p$, и пусть $Y = 0$, если $X_{1} + X_{2} =$ чётно, и $Y = 1$, если $X_{1} + X_{2} =$ нечётно.

Бросаем три игральные кости дважды. Какова вероятность получить тот же результат во второй раз, если кости, (а) неразличимы? (б) различимы?

На вечеринке $A$ знакомят с 6 женщинами и 4 мужчинами. Какова вероятность того, что он правильно определит все пары, если он знает, что там присутствует, (а) 4 пары, (б) 3 пары?

Молодой человек, ведущий мотоцикл по шоссе с 4 полосами, меняет полосу каждые 15 секунд. Какова вероятность $p$ того, что он окажется на той полосе, с которой начал, спустя 1 минуту?

В городе $A$ дожди идут в половине дней года, и прогноз погоды оказывается верным с вероятностью $2/3$. Господин Шугар, беспокоясь о том, что промокнет, всегда берёт зонт, когда прогноз обещает дождь, и с вероятностью $1/3$ — в противном случае. Найдите вероятность того, что:

Телеграфные сигналы $(\cdot )$ и $(-)$ передаются в соотношении $3\! :\! 4$. Из-за помех при передаче точка $(\cdot )$ превращается в $(-)$ с вероятностью $1/3$. Если сигнал был принят как $(\cdot )$, какова вероятность того, что он был передан правильно?

Игральную кость бросают 10 раз; пусть максимальный результат равен $M$, а минимальный $m$. Найдите $\mathbb {P}\left(m = 2, M = 5\right)$.

Урна содержит $b$ чёрных шаров и $w$ белых шаров. Из урны случайно извлекают $n$ шаров, не замечая их цвет, затем извлекают ещё $m$ шаров. Покажите, что вероятность того, что среди $m$ шаров окажется $k$ чёрных, такая же, как если бы $m$ шаров были выбраны с самого начала (т.е. до извлечения $n$ шаров).

Иными словами, при выборке из конечной совокупности итоговые (гипергеометрические) вероятности не зависят от состава первоначальной выборки, если этот состав нам неизвестен. Очевидно, что если известен состав первой выборки (т.е. цвета $n$ шаров), то, вообще говоря, вероятности изменяются.

После землетрясения книги большой библиотеки падают на пол, и служитель, не умеющий читать, расставляет их обратно на полки в произвольном порядке.

Джон Смит в 1693 году поставил следующую задачу: одинакова ли вероятность выигрыша для каждого из трёх игроков, если: первый должен получить хотя бы одну единицу, бросив 6 костей, второй — хотя бы две единицы, бросив 12 костей, а третий — хотя бы три единицы, бросив 18 костей? Ньютон и Толлет обнаружили, что у первого игрока шансы лучше, чем у второго, а у второго — лучше, чем у третьего.

Однородную и правильную игральную кость с $v$ гранями бросают $n$ раз. Пусть $p(n, k)$ — вероятность того, что заданная грань появится менее $k$ раз. Покажите, что:

Массачусетская государственная лотерея выпускает 1 миллион билетов. Первый выигрышный билет приносит $50000, следующие 9 выигрышных билетов приносят по $2500 каждый, следующие 90 билетов приносят по $250 каждый, а 900 билетов приносят по $25 каждый. Каков ожидаемый выигрыш человека, купившего, (а) один билет? (б) десять билетов?

(Продолжение задачи I-25.) Каков будет ответ на (а) и (б), если:

1. штат выпускает 2 миллиона билетов?

2. выигрышные билеты приносят вдвое больше?

В исследовании жилищной проблемы из каждого из 4 домов выбираются по 2 квартиры (в каждом доме есть как квартиры, занимаемые собственниками, так и сдаваемые внаём). Если известно, что:

Каково ожидаемое число квартир, занимаемых собственниками, в указанной выборке?

Из 365 человек:

Продолжительность $T$ телефонного разговора удовлетворяет следующему уравнению:

где $0 \leq p \leq 1$, $\lambda > 0$, $\mu > 0$. Найдите $\mathbb {E}\left[T\right]$ и $\operatorname {Var}\left[T\right]$.

Два игрока $A$ и $B$ играют серию независимых партий, в каждой из которых $A$ имеет вероятность $p$ выиграть, а $B$ — вероятность $q = 1 - p$ выиграть. Предположим, что в некоторый момент серия партий прерывается, и $A$ нужно ещё $m$ очков, а $B$ нужно ещё $n$ очков, чтобы стать победителем. Ставку следует разделить между $A$ и $B$ в отношении $\mathbb {P}\left(A\right):\mathbb {P}\left(B\right)$, где $\mathbb {P}\left(A\right) = 1 - \mathbb {P}\left(B\right)$ — вероятность того, что $A$ в конце концов выиграет. Покажите, что

Примечание: приведённое выше решение впервые получил Монмор (1675--1719). Объясните идею, стоящую за каждым слагаемым в выражениях для $P_{A}$. Попробуйте показать равенство этих двух выражений для $P_{A}$, используя свойства биномиальных коэффициентов (см. главу 1).

Служащий выходит из дома между 7:30 и 8:00 утра, чтобы отправиться в свой офис, и ему нужно 20--30 минут, чтобы добраться до железнодорожной станции. Время выхода и продолжительность пути распределены независимо и равномерно на соответствующих интервалах. Он может сесть на один из следующих двух поездов: первый отправляется в 8:05 утра и идёт 35 минут; второй отправляется в 8:25 утра и идёт 30 минут.

Покажите, что если $X$ и $Y$ независимы, то (ср. задачу 328)

Сделайте вывод, что если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ полностью независимы со средними, равными нулю, то

Бросаем правильную монету до тех пор, пока не выпадут два орла или две решки подряд. Какова вероятность того, что потребуется чётное число бросков?

$s$ различимых шаров случайным образом раскладываются по $n$ различным ячейкам. Найдите вероятность того, что ровно $r$ ячеек окажутся занятыми.

Большая доска разделена на равные квадраты со стороной $a$. Монета диаметром $2r < a$ случайно бросается на доску. Найдите вероятность того, что монета пересекается:

1. ровно с одним квадратом;

2. ровно с двумя квадратами.

Квадрат со стороной $a$ вписан в окружность. Найдите вероятность того, что:

1. произвольно выбранная точка круга окажется внутренней точкой квадрата.

2. из восьми случайно выбранных точек в круге три попадут внутрь квадрата, две — в одну из четырёх оставшихся частей круга, а по одной — в каждую из трёх других частей круга.

Расстояние между двумя последовательными автомобилями на шоссе подчиняется показательному распределению со средним $20\, \text{м}$. Найдите вероятность того, что на участке шоссе длиной 2 км находится от 90 до 110 автомобилей.

Число автомобилей, пересекающих платный мост, подчиняется распределению Пуассона со средним 30 автомобилей в минуту. Найдите вероятность того, что за 200 секунд проедет не более 100 автомобилей.

(Продолжение задачи I-38.) Установите соотношение

между функцией распределения Эрланга и функцией распределения Пуассона.

(Продолжение задачи I-39.) Покажите, что

Определим $\Phi (a; b) = \Phi (b) - \Phi (a)$ для $0 < a < b$, где $\Phi$ — функция распределения $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$. Покажите, что $\Phi (0; 1) > \Phi (1; 2)$. Обобщите этот результат на любые равные интервалы.

Используя тот факт, что если $X$ подчиняется нормальному распределению $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$, то

заключите, что

Вероятность поразить цель одним выстрелом равна $p_{1}$, а вероятность уничтожить цель $k$ ($k \geq 1$) выстрелами равна $1 - p_{2}^{k}$. Найдите вероятность уничтожения цели после $n$ выстрелов.

Пусть $X$ подчиняется распределению Пуассона с параметром $\lambda$. Выберем $N$ случайных точек из интервала $[0, 1]$. Пусть $X_{i}$ — число точек в интервале $[(i-1)/n, i/n]$ ($i = 1, \ldots , n$). Покажите, что случайные величины $X_{i}$ независимы и одинаково распределены.

Если $X$ и $Y$ независимы, причём $\mathbb {P}\left(X = 0\right) = \mathbb {P}\left(X = 1\right) = 1/2$ и $\mathbb {P}\left(Y \leq y\right) = y$ ($0 \leq y \leq 1$), найдите распределение следующих случайных величин $W$, $Z$, где:

1. $W = X + Y$;

2. $Z = XY$.

Пусть $X$ — равномерная случайная величина на интервале $(-a, a)$, а $Y$ — случайная величина, независимая от $X$, с функцией распределения $F(y)$. Покажите, что функция распределения $G = X + Y$ равна

Пусть $X$ равномерно распределена на интервале $(0, 1)$. Найдите функцию плотности вероятности:

1. $Y = aX + b$; $a, b$ — константы ($a > 0$);

2. $Z = 1/X$;

3. $W = g(X)$, где $g$ — непрерывная и монотонная функция $x$ на $(0, 1)$.

Каждый из трёх игроков $A$, $B$ и $C$ имеет вероятность $1/3$ поразить мишень лучше, чем двое других. В каждом раунде игры каждый стреляет по мишени один раз. Победителем становится первый игрок, выигравший шесть раундов. Они ставят по 10 дукатов каждый. Однако в определённый момент, когда у $A$ 4 победы, у $B$ 3 победы, а у $C$ 2 победы, им приходится прекратить игру. Как им следует разделить ставку? (ср. задачу 30).

$A$ и $B$ играют в игру, в которой каждый из них бросает две обычные игральные кости. $A$ выигрывает, если у него выпадает сумма 6, а $B$ выигрывает, если у него выпадает сумма 7. Сначала $A$ бросает кости один раз, затем $B$ бросает кости дважды, и они продолжают чередоваться после каждого броска, пока один из них не выиграет. Какова вероятность выигрыша для каждого из них?

Примечание: Гюйгенс и Спиноза дали одинаковый ответ:

(ср. задачу 67).

Колода из сорока карт состоит из 10 красных, 10 чёрных, 10 синих и 10 зелёных карт. Наугад без возвращения вытягивают четыре карты. Какова вероятность того, что появятся все цвета?

(Гюйгенс дал ответ $1{,}000/9{,}129 = 0{,}109$; верен ли он?)

Урна содержит 8 чёрных шаров и 4 белых шара. Каждый из трёх игроков $A$, $B$ и $C$ (именно в этом порядке) вытягивает шар без возвращения, и первый, кто вытянет белый шар, побеждает. Какова вероятность выигрыша для каждого из них?

Трое игроков $A$, $B$ и $C$ играют в следующую игру. Они играют три раунда, в каждом из которых у каждого из них есть вероятность $1/3$ выиграть. $A$ побеждает в игре, если он выигрывает раунд раньше, чем $B$ или $C$ выигрывают два раунда; $B$ побеждает, если он выигрывает два раунда раньше, чем игрок $A$ выигрывает один раунд, или $C$ выигрывает два раунда; $C$ выигрывает аналогично $B$. Какова вероятность выигрыша для каждого из них?

(Монмор дал $\mathbb {P}\left(A\right) = 15/27$, $\mathbb {P}\left(B\right) = \mathbb {P}\left(C\right) = 5/27$).

Контейнер содержит $2N$ карточек, пронумерованных так, что каждое из чисел $1, 2, \ldots , N$ встречается дважды. Наугад извлекают $2N - n$ карточек. Каково ожидаемое число пар карточек, оставшихся в контейнере?

(Бернулли получил $n(n-1)/(4N-2)$).

$N$ лотерейных билетов пронумерованы от 1 до $N$. Наугад выбирается $n$ билетов. Какова вероятность того, что будет выбрано $r$ последовательных номеров ($r = 1, 2, \ldots , n$)?

Вероятность события $A$ равна $p$. Какова вероятность того, что:

В лотерее с $N$ билетами $n$ номеров выбираются как выигрышные. Какова вероятность $p$ того, что за $k$ розыгрышей лотереи появятся все $N$ номеров?

(Лаплас для $N = 90$, $n = 5$ и $k = 85$ получил $p = 1/2$).