Общие задачи

Три игрока $A$, $B$ и $C$ играют в игру следующим образом: на первом этапе $A$ и $B$ играют друг против друга, а $C$ не участвует в игре. Победитель играет против $C$ на втором этапе. Затем победитель второй игры играет против последнего проигравшего, и так далее. Победителем объявляется тот, кто выигрывает две игры подряд. Найдите элементы (элементарные события) пространства элементарных исходов $\Omega$ всех возможных исходов игры. Если вероятность выигрыша каждого игрока в игре равна $1/2$, определите вероятности соответствующих возможных исходов и покажите, что их сумма равна единице.

Симметричную монету подбрасывают до тех пор, пока один и тот же результат не появится дважды подряд. Опишите пространство элементарных исходов через результаты Р («решка») и О («орёл»). Найдите вероятности событий:

Пара игральных костей подбрасывается шесть раз. Какова вероятность того, что все грани появятся дважды?

Колода из 52 карт разделена между четырьмя игроками так, что каждый из них получает по 13 карт (игра в бридж). Найдите вероятность того, что хотя бы у одного игрока будет полная масть (пики, червы, бубны, трефы).

Две монеты $C_{1}$ и $C_{2}$ имеют вероятность выпадения орла $p_{1}$ и $p_{2}$ соответственно. Вы выигрываете пари, если за три подбрасывания получите не менее двух орлов подряд. Вы подбрасываете монеты поочерёдно, начиная с любой из них. Если $p_{1} > p_{2}$, какую монету вам следует выбрать для начала игры?

В шкафу находится десять пар обуви. Наугад выбирают четыре предмета обуви. Найдите вероятность того, что среди четырёх выбранных предметов найдётся хотя бы одна пара.

Пусть $N$ ячеек пронумерованы $1, 2, \ldots , N$. Мы наугад бросаем в них шары. Процесс продолжается до тех пор, пока шар не попадёт в ячейку с номером 1. Какова вероятность того, что:

(Продолжение задачи 132.) Процесс завершается, когда какая-либо из ячеек получает два шара.

Из обычной колоды карт мы вытягиваем карты одну за другой. Какова вероятность того, что:

52 карты обычной колоды выкладываются последовательно одна за другой слева направо. Найдите вероятность того, что тринадцатая пика появится раньше тринадцатой бубны.

Три шара извлекаются наугад один за другим без возвращения из $n$ шаров, пронумерованных $1, 2, \ldots , n$. Найдите вероятность того, что номер первого шара будет меньше номера второго шара.

Урна содержит $m$ видов объектов, все в одинаковой пропорции. Объекты извлекаются с возвращением, один за другим, пока каждый вид не появится хотя бы один раз. Какова вероятность $p_{\nu }$ того, что потребуется $\nu$ объектов?

Продавец газет получает каждый день $n$ экземпляров для продажи. Число $X$ проданных экземпляров — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром $\lambda$. За каждый проданный экземпляр он зарабатывает 1 цент, за каждый непроданный — теряет $b$ центов. Пусть $Y$ обозначает чистый выигрыш продавца. Найдите:

Три числа выбираются наугад одно за другим без возвращения из $n$ чисел $1, 2, \ldots , n$. Какова вероятность того, что первое выбранное число окажется наименьшим, а второе — наибольшим?

События $A$, $B$ и $C$ независимы, причём $\mathbb {P}\left(A\right) = 0.2$, $\mathbb {P}\left(B\right) = 0.3$ и $\mathbb {P}\left(C\right) = 0.1$. Найдите вероятность того, что произойдут хотя бы два из трёх событий.

Мы одновременно бросаем четыре монеты, а затем повторяем бросок ещё раз. Какова вероятность того, что второй бросок даст ту же конфигурацию, что и первый, если монеты:

Урна содержит $w$ белых шаров и $b$ чёрных шаров. Мы извлекаем шары последовательно и без возвращения один за другим, пока белый шар не появится впервые. Пусть $X$ — требуемое число извлечений. Найдите:

(Продолжение задачи 142.) Пусть $w = b = N$, и шары извлекаются последовательно и без возвращения один за другим, пока не будут извлечены все $2 N$ шаров. Какова вероятность того, что на каком-то этапе эксперимента будет извлечено одинаковое число белых и чёрных шаров?

Пусть $B_{1}, \ldots , B_{\nu }, \ldots ,$ — разбиение пространства элементарных исходов $\Omega$, и $\mathbb {P}\left(C\right) > 0$. Покажите следующую теорему полной вероятности:

Каждая из трёх девушек Т.— Рена, Ника и Галатея — хочет отправиться со мной в поездку. Поскольку я не могу взять всех, я предлагаю следующую игру: я говорю им: «Я загадаю одно из чисел 1, 2, 3. Рена, угадывай первой. Если угадаешь верно, поедешь со мной; в противном случае следующей угадывает Ника. Если она угадает верно, поедет со мной. Иначе меня будет сопровождать Галатея». Галатея жалуется, что игра несправедлива. Права ли она? Предположим, что каждая из них записывает на листке бумаги число, которое, по её мнению, я загадал, и я следую указанной последовательности, проверяя сначала число Рены и т.д. Это повторяется, пока не будет выбрана та, что поедет со мной. На этот раз протестуют Галатея и Ника. Правы ли они?

Игральную кость бросают $\nu$ раз. Найдите вероятность того, что каждая из $k$ ($1 \leq k \leq 6$) заданных граней кости появится хотя бы один раз.

Свёрнутое нормальное распределение имеет плотность

Определите константу $c$, а затем вычислите математическое ожидание этого распределения.

Предположим, что срок службы электрической лампы определённого типа подчиняется нормальному закону со средним $\mu = 180$ часов и стандартным отклонением $\sigma = 20$. В случайной выборке из четырёх ламп:

Игра «крэпс» играется следующим образом. Игрок бросает две игральные кости. Если при первом броске выпадает 7 или 11, он выигрывает, а если выпадает 2, 3 или 12, он проигрывает. При каждой из остальных сумм игра продолжается одним из двух способов:

Два игрока $A$ и $B$ договариваются играть следующим образом. Они бросают две кости, и если сумма $S$ результатов $< 10$, $B$ получает $S$ долларов от $A$, в противном случае $B$ платит $A$ $x$ долларов. Определите $x$ так, чтобы игра была справедливой.

Урна содержит $n$ белых шаров и $n$ красных шаров. Мы извлекаем сначала два шара, затем ещё два, и так далее, пока не будут извлечены все шары. Найдите вероятность того, что каждая из выбранных пар состоит из белого и красного шара.

Каждая из двух урн $A$ и $B$ содержит $n$ шаров, пронумерованных от 1 до $n$. Мы извлекаем по одному шару из каждой урны. Найдите вероятность того, что номер шара, извлечённого из $A$, меньше номера шара, извлечённого из $B$.

Распространители слухов (см. Feller, 1957, с. 55). В городе с $N+1$ жителями один человек рассказывает слух второму, тот в свою очередь пересказывает его третьему, и так далее. На каждом шаге получатель слуха выбирается наугад из $N$ доступных жителей.

1. Найдите вероятность того, что слух будет рассказан $n$ раз, не (а) вернувшись к тому, кто его пустил, (б) не будучи пересказан одному и тому же человеку повторно. Решите ту же задачу, если на каждом шаге слух рассказывается $k$ лицам.

2. В большом городе, где распространители слухов составляют $100 p \%$ населения, какова вероятность того, что слух не вернётся к тому, кто его пустил?

Задача Паскаля. В игре, где подбрасывается правильная монета, побеждает тот, кто первым получит $n$ успехов (орлов или решек). Покажите, что игра справедлива (т.е. вероятность выигрыша каждого игрока равна $1/2$). Предположим, что игра была прервана, когда первый игрок выиграл $k$ бросков, а второй игрок выиграл $m$ бросков ($0 \leq k, m < n$). Вычислите для каждого игрока вероятность выигрыша, если игра будет продолжена. Отсюда выведите, как следует разделить ставку после прерывания игры.

Задача Чебышева. Найдите вероятность того, что заданная дробь $m/n$ (где $m$ и $n$ — целые числа) несократима.

Пусть $\varphi (n)$ обозначает функцию Эйлера, т.е. число (положительных) целых чисел, взаимно простых с $n$ и меньших $n$. Используя вероятностные рассуждения, покажите, что

где произведение берётся по всем простым делителям $p$ числа $n$.

Предположим, что число колоний насекомых на некоторой территории имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$, а число насекомых в колонии имеет логарифмическое распределение с параметром $p$. Покажите, что общее число насекомых на территории имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами $q = 1-p$ и $-\lambda / \log (1-p)$.

Электронные лампы поставляются в упаковках, каждая из которых содержит $N$ ламп. Пусть $p_{k}$ обозначает вероятность того, что упаковка содержит $k$ бракованных ламп ($0 \leq k \leq m$). Из упаковки берётся выборка из $n$ ламп, и обнаруживается, что $r \leq m$ ламп бракованные.

Вероятность $p_{n}$ того, что $n$ покупателей посетят супермаркет за день, равна $p_{n} = p^{n} q$, $n = 0, 1, \ldots$. В среднем двое из трёх покупателей приобретают определённый вид товара. Вероятность того, что товар бракованный, равна $1/4$.

Производитель продаёт изделие за $1. Если вес изделия меньше $W_{0}$, оно не может быть продано и представляет собой полную потерю. Вес $W$ изделия имеет нормальное распределение $\mathscr {N}\left(\mu , 1\right)$; себестоимость $c$ одного изделия задаётся как $c = \alpha +\beta W$ ($\alpha$, $\beta$ — положительные константы). Определите среднее $\mu$ так, чтобы ожидаемая прибыль была максимальной.

Клерк живёт в $A$ и работает в $C$, начиная работу в 9 утра. Клерк всегда едет поездом из $A$ в $B$, который должен прибывать в $B$ в 8:40 утра. Автобусы из $B$ в $C$ отправляются каждые 15 минут, и автобус, отправляющийся в 8:45 утра, должен прибывать в 8:56 утра.

Поезд в среднем опаздывает на 2 минуты со стандартным отклонением 4 минуты. Автобус всегда отправляется вовремя, но прибывает в среднем с опозданием на 2 минуты со стандартным отклонением 3 минуты. Какова вероятность того, что клерк опоздает? Начальник клерка едет в офис на машине; он выезжает в 8:45 утра, и время поездки до офиса имеет среднее значение 12 минут со стандартным отклонением 2 минуты. Найдите вероятность того, что:

Контроль качества. В непрерывном производственном процессе доля бракованных изделий равна $p$. Чтобы поддерживать качество продукции на определённом уровне, изделия проверяются одно за другим до тех пор, пока не появится последовательность фиксированной длины $r$ без бракованных изделий. Тогда сплошной контроль прекращается, и только определённая доля $f$ продукции выбирается случайным образом для проверки, пока не появится бракованное изделие, после чего описанный процесс 100-ного контроля возобновляется. При данной схеме выборочного контроля найдите:

Дилемма заключённого. Трое заключённых $A$, $B$ и $C$ подают прошение об условно-досрочном освобождении, и комиссия решает освободить двоих из них. Заключённых уведомляют об этом решении, но не сообщают, кто именно из двоих будет освобождён. Охранник, друг $A$, знает, каких заключённых собираются освободить. $A$ понимает, что было бы неправильно спрашивать охранника о своей собственной судьбе, но думает, что мог бы попросить назвать имя одного из двух других, кто будет освобождён. Он полагает, что до того, как он спросит, вероятность его освобождения равна $2/3$, а когда охранник отвечает, что помилован, например, $B$, вероятность того, что он будет освобождён, снижается до $1/2$, поскольку либо освободят $A$ и $B$, либо $B$ и $C$. Обдумав это, $A$ боится спрашивать охранника. Оправдан ли его страх?

Коллекционирование купонов. В каждой коробке некоего товара находится купон с номером от 1 до 6. Если домохозяйке удаётся собрать серию 1--6, она получает бесплатную коробку товара. Сколько коробок ей нужно купить в среднем, прежде чем она получит бесплатную?

В ряду из 19 мест в амфитеатре случайным образом рассаживаются 10 студентов и 9 студенток. Найдите ожидаемое число соседних пар мест, в которых сидят студент и студентка.

$A$, $B$ и $C$ собираются сыграть в следующую роковую игру. У каждого есть пистолет, и они будут стрелять в свою цель --- $A$, $B$ и $C$ стреляют по очереди друг в друга в этом порядке --- причём предполагается, что тот, кто получил ранение, больше не подвергается обстрелу. Выстрелы, один за другим, продолжаются до тех пор, пока не останется невредимым только один из игроков. Какой стратегии следует придерживаться $A$?

Сэмюэл Пипс (который собирался сделать ставку) спросил Ньютона, какое из следующих событий $A$, $B$ или $C$ более вероятно: $A$ --- хотя бы одна шестёрка при броске 6 костей; $B$ --- хотя бы две шестёрки при броске 12 костей; и $C$ --- хотя бы три шестёрки при броске 18 костей. Какой ответ (правильный) дал Ньютон?

Дни рождения как выходные. Трудовой кодекс Эревона объявляет выходным днём любой день, в течение которого хотя бы один работник определённой фабрики отмечает день рождения. Все остальные дни являются рабочими. Сколько работников должна нанять фабрика, чтобы максимизировать число человеко-дней работы за год?

Парадокс Бертрана. Хорда $AB$ случайным образом выбирается в круге радиуса $r$. Какова вероятность того, что длина $AB$ меньше $r$?

Новичок на скачках. На скачках новичок-игрок, который собирается сделать ставку определённой суммы, хочет выбрать лучшую лошадь. Предполагается, что никакие две лошади не одинаковы. Игрок смотрит на лошадей, проходящих одна за другой, и может выбрать в качестве победителя любую из них, но не может поставить на лошадь, которую он уже пропустил. Более того, он может сказать, лучше или хуже любая проходящая лошадь по сравнению с предыдущими. Предположим, что в скачках участвуют $n$ лошадей. Как ему следует действовать, чтобы выбрать лошадь для ставки и максимизировать вероятность выигрыша? Какую долю лошадей ему следует пропустить, прежде чем сделать ставку, при большом $n$? (Предполагается, что лошади проходят перед новичком в случайном порядке.)