Математическое ожидание. Дисперсия. Моменты

Покажите, что интеграл $\int_{-\infty }^{+\infty } \left|x - m\right| f(x)\, dx$ достигает минимума, когда $m$ — медиана распределения с плотностью $f$.

Пусть $f(x)$ обозначает плотность случайной величины $X$. Предположим, что $X$ имеет распределение, симметричное относительно $a$, то есть $f(x + a) = f(a - x)$ для всех $x$. Покажите, что среднее значение $\mathbb {E}\left[X\right]$ равно $a$, при условии, что оно существует.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[XY\right]^{2} \leq \mathbb {E}\left[X^{2}\right] \mathbb {E}\left[Y^{2}\right]$, при условии, что вторые моменты существуют.

Покажите, что $\left|\mathbb {E}\left[X\right]\right| \leq \mathbb {E}\left[\left|X\right|\right]$.

Для каждого множества $A$ вещественных чисел определим индикаторную функцию

Покажите, что

Если $\mathbb {E}\left[X\right] = \mathbb {E}\left[X^{2}\right] = 0$, покажите, что $\mathbb {P}\left(X = 0\right) = 1$.

Покажите, что среднее значение $\mu$ случайной величины $X$ обладает свойством

Покажите, что для непрерывной случайной величины $X$ с плотностью $f$ и функцией распределения $F$

Следовательно, на приведённом ниже графике $\mu = \operatorname {area}(A) - \operatorname {area}(B)$.

Если $n$-й момент случайной величины $X$ с функцией распределения $F$ существует, покажите, что

Покажите, что первые $n$ моментов определяют первые $n$ центральных моментов и, обратно, что первые $n$ центральных моментов вместе со средним определяют первые $n$ моментов.

Если $X$ ограничена, т.е. существует такая константа $k < \infty$, что $\mathbb {P}\left(\left|X\right| \leq k\right) = 1$, то $X$ имеет моменты любого порядка.

Если момент $n$-го порядка $\mu_{n}'$ существует, покажите, что существуют все $\mu_{k}'$ ($k = 1, 2, \ldots , n - 1$).

Покажите, что необходимым условием существования среднего случайной величины с функцией распределения $F$ является

В лотерее выбирается $n$ чисел из $N$ чисел $1, 2, \ldots , N$. Найдите дисперсию суммы $S_{n}$ выбранных чисел.

Урна содержит $N_{1}$ белых шаров и $N_{2}$ чёрных шаров; $n$ шаров извлекаются наугад,

Студент сдаёт тест с выбором ответа, состоящий из двух задач. В первой имеется 3 возможных ответа, а во второй — 5. Студент наугад выбирает по одному ответу как верный из каждой из двух задач. Найдите:

В лотерее, где продаётся 3000 билетов, первый лот выигрывает $1000, второй — $500, а следующие за ними пять лотов выигрывают по $100 каждый. Каково математическое ожидание выигрыша человека, заплатившего 1 доллар за билет?

Игральную кость бросают до тех пор, пока результат «единица или чётное число» не появится три раза. Найдите математическое ожидание числа бросков:

$A$ платит 1 доллар за каждое участие в следующей игре: бросаются три игральные кости; если выпадает одна единица, он получает 1 доллар, если выпадают две единицы — 2 доллара, а если выпадают три единицы — 8 долларов; в противном случае он не получает ничего. Является ли игра справедливой, т.е. равно ли математическое ожидание выигрыша игрока нулю? Если нет, сколько должен получать игрок при выпадении трёх единиц, чтобы игра стала справедливой?

У игрока есть 15 долларов. Если при первом броске выпадает орёл, он получает 1 доллар и выходит из игры. Если выпадает решка, он ставит 2 доллара, и если выигрывает второй бросок, выходит из игры; в противном случае он продолжает играть со ставкой 4 доллара. Если он проигрывает, он ставит оставшуюся сумму — 8 долларов. Каково математическое ожидание выигрыша игрока?

Из посылок, отправленных за границу, 10 никогда не достигают адресата. Две книги можно отправить по отдельности или в одной посылке. Каждая книга стоит $2. Почтовые расходы за каждую книгу, отправленную отдельно, составляют 10¢, а за обе книги в одной посылке — 15¢. Для каждого из двух способов отправки найдите:

Пусть $X$ — случайная величина с функцией распределения

Постройте график $F(x)$, а затем вычислите $\mathbb {E}\left[X\right]$. Приведите пример случайной величины $X$, имеющей указанное распределение.

Если случайная величина $X$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(\mu , 1\right)$, покажите, что случайная величина $Y = [1 - \Phi (X)]/\varphi (X)$, где $\Phi$ и $\varphi$ обозначают функцию распределения и плотность $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$ соответственно, имеет математическое ожидание $1/\mu$.

Усечённое распределение Пуассона с отсутствующим нулевым классом имеет функцию вероятности

Найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$.